Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 6

Оказываетак что в этом втором приближении волновые свойства частиц проявляются очень слабо. Частицы можно считать движущимися по определенным траекториям, таким же, как в классической механике. Однако квантование состояний все ещй проявляется в том, что оказываются возможными не все, а только некоторые из классических траекторий. Такое приближение называется квавиклассическим (в отличие от классического приближения, $3) наовходимыз озздвния из квантовой мзханики 25 в котором квантовые свойства частиц совсем не учитываются). Чтобы представить себе, в чем состоит характер ограничений, накладываемых на классические траектории, вновь обратимся к примеру частицы в одномерном ящике. Будем считать, что можно пользоваться представлениями классической механики и рассматривать частицу как материальную точку, движущуюся между отражающими стенками.

Фазовая диаграмма на рис. 5 изображает последовательность ез состояний. УчтЕм теперь ™ .г.а 3 квантование состояний и выделим из всех возможных состояний те, которые удовлетворяют условию квантования (3,4). Возможными оказываются не все состояния р= сопзц, а отстоящие друг от друга на Рнс. 3.

расстоянии, определяемом соотношением (3,4). На рис. 5 изображено п-е (сплошная линия) и и — 1-е (пунктирная линия) состояния. Число возможных квантовых состояний между р„и р=О равно, очевидно, и. Вычислим теперь площадь 8 на фазовой плоскости, отвечающей этим и состояниям. Очевидно, о = ~ р»х = 2р„а = Ьп. Интеграл ~рг(х означает интеграл от р, взятый по полному периоду движения, т. е. по площади, ограниченной жирными прямыми на рис. 5. Этот интеграл, очевидно, равен о о О ~ра>х= ~ рЫх — ~ рг(х=2 ~ рг)х. о а о Если провести на рисунке линии, отвечающие остальным возможным состояниям, то вся фазовая плоскость разобьзтся на клетки.

Нетрудно видеть, что плошадь всех клеток одинакова и равна )>. Действительно, расстояние между возможными состояниями по оси р равно Площадь клетки (заштрихованная на рисунке) равна й. Таким образом, в квазиклассическом прибли>кении каждому возможному состоянию соответствует клетка в фазовом пространстве, имеющая плошадь )>. Стационарными, возможными состояниями системы являются те, у которых выполнено условие р с>х = пЬ. (ЗД! ) 26 введения Последнее условие совпадает с условием Бора старой квзнтовой теории.

Рассмотренный пример является типичным, и найденное условие (3,11) имеет общий характер. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим другой пример †линейн осциллятор. Примером осциллятора, совершающего малые колебания около положения равновесия, как мы увидим ниже, может служить двухатомная молекула. В квантовой механике, в согласии с опытом, показывается, что состояние осциллятора характеризуется квантовым числом Й, могущим принимать ряд полуцелых значений: 1 3 5 ! 2' ''' +2 (а — целое число). Энергия осцнллятора принимает дискретный ряд значений: .н=Ь( + —,'), (3,12) где ъ — классическая частота колебаний осциллятора.

При переходе осциллятора из данного квантового состояния в соседнее он излучает свет с частотой Е Е ч ыь л равной собственной частоте колебаний классического осциллятора '). Сравнивая (3,12) с формулой (2,8), мы видим, что квантовое условие (3,12) выделяет в качестве возможных те состояния осцнллятора, для которых имеет место соотношение ~ рггт)=)т(п+ 1 ). Каждан возможная орбита изобразительной точки осциллятора отделена от соседней на расстояние, отвечающее заштрихованной площади на рис. 1. Заштрихованная площадь, очевидно, равна: (3,! 4) т) В квантовой механике показываетс~, что у осциалнтора возможны переходы только между соседними состояниями, так что тн = л ш 1.

где индекс означает номер состояния. Мы приходим к выводу, что каждому квантовому состоянию осциллятора отвечает клетка в фазовом пространстве, плошадь которой равна и. Условие (3,13) отличается от условия (3,11) тем, что в нам стоит †. Нужно заметить, что точный расчйт н в первом случае л 2' $ 31 нвовходимыз свздения из квантовой мзханики 27 приводит к условию (3,13), а не (3,11). Существование члена —, л 2 ' называемого нулевой энергией, выражает тот важный факт, что в квантовой механике оказывается невозможным полный покой, неподвижность частицы.

Частица с наименьшей возможной энергией всй же находится в состоянии движения. Неточность формулы (3,! 1) не имеет, однако, для нас значения, поскольку нас интересует только разность фазовых интегралов (3,14), а не их абсолютное значение. Таким образом, в квазиклассическом приближении (при больших квантовых числах или, что то же, коротких волнах, больших массах частиц) условие квантования состояний заключается в том, что каждому квантовому состоянию произвольной системы отвечает клетка, или ячейка, в фазовом пространстве, имеющая площадь л.

Можно показать, что форма ячейки является произвольной. Условию (3,11) можно придать и другой, также наглядный вид. Именно, поскольку движение рассматриваемой частицы является периодическим, можно ввести период движения 7; равный 2л 2ае 7 — — —— я н частоту ! р лл (3,!6) Т 2ат 4п аа С другой стороны, при больших квантовых числах л)) 1 расстояние между соседними уровнями энергии может быть написано з виде Ьз (3,16) Комбинируя (3,16) и (3,15), получаем: Ьа„= 'лж т. е. расстояние между соседними уровнями энергии при л )) ! равно частоте классического движения, умноженной на постоянную Планка.

Поскольку расстояния между двумя последовательными уровнями энергии одинаковы, уровни энергии расположены равномерно, через олинаковые интервалы — эквидистантно. йо сих пор мы ограничивались рассмотрением систем, имеющих одну степень свободы. Однако оказывается, что полученные результаты имеют общий характер и могут быть перенесены на систему произвольным числом г степеней свободы. Состояние подобной системы характеризуется заданием Г квантовых чисел (примеры см.

ниже). Фазовое пространство системы с ~ степенями свободы имеет 2У измерений. Вновь в качестве иллюстративного примера рассмотрим движение свободной частицы в ящике с идеально отражающими с~виками, но имеющем уже три измерения. Для простоты будем 28 ввадзниз считать, что ящик имеет форму куба с ребром а. Поскольку движение во всех трйх направлениях является независимым и все опи принципиально равноправны, для каждой из компонент импульса можно написать: 2 ллз 2а ' Цвижение частицы в трйх измерениях характеризуется тремя квантовыми числами л„ л,, и„„ могущими принимать ряд целых значений. Энергия частицы равна Р +Р~ )Рлз Й а (л1+л,+л1) = 8 я .

(3,18) Она характеризуется числом л = — ф'~~" ,+и', + а„', но не зависит от значения каждого из квантовых чисел ло жю аа в отдельности. Благодаря этому одному и тому же значению энергии может отвечать несколько различных квантовых состояний. Пусть, например, л, = 1, л = 2, аз = 2 и и, = 2, па = 1, а, = 2. В обоих случаях л = 3, так что оба состояния имеют одну и ту же энергию. Если нескольким различным состояниям отвечает одна и та же энергия, то такие состояния называются вырожденными. Число состояний с одной и той же энергией носит название кратности вырождения или статистического веса. Фазовое пространство частицы будет иметь шесть измерений, так что изобразить его графически невозможно.

Однако можно сказать, что оно распадается на три подпространства двух измерений, отвечающие движению вдоль одной оси. Простой подсчет приводит нас тогда к выводу, что каждому состоянию (тройке чисел ию па и ла) частицы отвечает объдм Ьз. Рассмотрим, далее, пространственный ротатор — частицу, движущуюся на заданном расстоянии г от неподвижного центра. Такая частица имеет две степени свободы.

Расчвт показывает, что энергия ротатора равна !Р . , лез 8л~(Г У+ ) 2!' где М вЂ” момент количества движения и /†момент инерции. Значение энергии определяется одним вращательным квантовым числом г', пробегающим ряд целых значений, у=О, 1, 2, 3, ... Помимо энергии, квантованным оказывается также момент количества движения. Его квалрат принимает дискретный ряд значений: (3,20) $4 нзовходимыв сввдзнин из квантовой механики 20 Кроме того, оказывается квантованной проекция момента на произвольно выделенную в пространстве ось г.

Именно: Ит М =р =— т 2в' (3,21) где пг — второе квантовое число задачи, принимающее ряд значений т = — /, ( — г'+1), ... — 1, О, 1, ..., у'. Состояния системы являются 2)+1-кратно вырожденными, поскольку 2г'+1 состояния имеют одно и то же значение энергии ер Вектор момента количества движения в соответствии с (3.21) имеет (2г'+ 1) дискретных ориентаций в пространстве. При переходе к большим значениям квантового числа (квазиклассическому приближению) можно написать: и М= — /, 2л И М вЂ” — т. 2п Поэтому (3,22) в соответствии со сказанным выше. Квантовая ячейка для случая ротатора показана на рис.