Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 10

Обозначим через тол и твм„ вероятности того, что первая система находится в состоянии, характеризующемся значением величины 7 н н, аналогично, вторая система находится в состоянии, характеризующемся значением величины М„. Вероятности твг. и том являются независимыми. если а вероятность того, что первая система находится в состоянии г', не зависит от того, находится или не находится вторая система в состоянии й. Закон умножения вероятностей устанавливает, что вероятносвгв того, что одновременно первая система находится в гчм состоянии, в котором Л= 7ч, а вторая †й-м состоянии, в котором М = Мв, равна произведению вероятностеи твд, и твм, т. е. (7,4) Закон умножения представляет строгое определение статистической независимости двух систем.

Прежде чем перейти к обсуждению этого положения, поясним его на простом примере. Вновь обратимся к рассмотрению объема о, выделенного в сосуде объема У, наполненном газом. Мы определили вероятность попадания в объем о какой-либо молекулы как величину, равную отношению — . Предположим теперь, У ' что кроме первой молекулы мы выбрали совершенно произвольно вторую молекулу и хотим определить, какова вероятность того, что в объеме о окажутся обе молекулы одновременно.

Для определенна этой вероятности можно рассуждать следующим образом. Если вероятность попадания молекулы в объем о есть †, то У' это аначит, что часть времени Т, равную Т вЂ” , первая молекула У' проводит в объеме о. В течение этого времени вторая молекула может находиться в объеме о, а может находиться и зне этого объйма. Вероятность попадания ее в объем о, так же как и для первой молекулы, равна — . Из промежутка времени Т вЂ” часть его, рав- У ' У ную Т вЂ” ° —, вторая молекула проводит з объбме о, а все У остальное время — вне его.

Таким образом, из всего времени Т его часть, равную Т~ — ), обе молекулы проводят одновременно ц объеме о. Вероятность того, что обе молекулы одновременно будут $8) УСЛОВИЕ НОРМИРОВАНИЯ И СРЕДНИВ ЗНАЧЕНИЯ 43 I о Ъ| находиться в объйме о, равна, очевидно, 1А †), т. е. произведению ~)) вероятностей того, что первая и вторая молекулы попадут в этот объвм. Приведднное рассуждение может быть перенесено на две произвольные независимые физические системы.

Пусть первая из них проводит время Т чое, в состоянии с ь = Е,. Если это время достаточно велико, то можно считать его временем наблюдения за состояниями второй системы. Из всего времени наблюдения за второй системой (Т вве,) она проводит часть, равную (Т ше)гомэ, в состоянии со значением М=М„. Искомая вероятность одновременного нахождения первой системы в состоянии с ь = )и, а второй в состоянии с М = М„равна Тгв гв 11ш ', А = тве том, Т.ь что и поясняет закон умножения.

$ 8. Условие нормирования и средние значения Важным следствием закона сложения вероятностей является весьма очевидное утверждение, что вероятность нахождения системы в произвольном допустимом состоянии равна единице. Это означает, что в каком-либо из состояний мы с достоверностью найдйм нашу систему. Справедливость его видна из того, что ~~,', то, = ~~.', Иш — = 1пп — ' = 1, т т (8,1) поскольку, по определению, Т= ',5~1Р Если величины, характеризующие состояния системы, изменяются непрерывно, то вместо условия (8,1) можно написать: ~ ш=~р(~)дУ.=1.

(8,2) В дальнейшем мы всегда будем считать все вероятности нормированными так, чтобы сумма всех вероятностей была равна единице. В этом случае будем говорить о вероятности, нормированной на единицу. В тех случаях, когда первоначально распределение вероятности задано ненормированным, мы всегда будем его нормировать на единицу. Теперь необходимо дать определение понятия статистического среднего значения некоторой величины, зависящей от состояния системы. Понятие статистического среднего будет играть основную роль во всйм дальнейшем изложении, Понятие статистического 44 ОСНОВНЫВ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЗРОЯТНОСТВй (гл. и среднего является естественным обобщением привычного нам понятия среднего арифметического.

Пусть у нас имеется ряд значений некоторой величины, например скорости какого-либо тела. Под арифметическим средним мы понимаем отношение суммы всех этих значений к полному их числу, т. е. ;5,'~!М! сумму вида —, где !! — аначение величины !., М» — число намерений, приводящих к этому значению, М вЂ” полное число измерений. Статистическим средним величины Е, которое лсы будем обозначать через !, называется предел отношения Х= — Иш "~"Е!д!! !г -ь Поскольку М, = — и М= —, можно написать: т ас аг ' ~!.гг! Х !)ш Т т (8,3) Е = ) !, с(то = ~ !.

р (!.) д!., где интегрирование ведзтся по всем возможным состояниям системы. При вычислении средних значений будем пользоваться следующей простой теоремой: если имеются две величины !. и М, являющиеся функциями состояния, то среднее значение их суммы (!.+М) равно сумме средних !.+М.

Для доказательства заметим, что, по определению, (!. + М) =,~~, (!ч + М!) То, =-,Я~ !что! + лч.', Мсте! = ! + М. 9 9. Флуктуации Предположим, что нам известно распределение вероятностей тол ! того, что величина !. принимает значения уо Тогда с помощью фор- мулы (8,3) мы сможем найти среднее аначение Этой величины Е, где в! — время, з течение которого система находится в с-м состоянии, когда величина !. имеет значение уо Т вЂ” полное время наблюдения и чогч — вероятность того, что величина !. имеет значение !!.

Суммирование ведется по всем состояниям системы. Формула (8,3) является определением статистического среднего. В дальнейшем для краткости будем опускать слово <статистическое» и говорить просто «среднее значениеа. В случае систем, состояния которых изменяются непрерывно, так что вместо вероятности то! мы должны писать с(то, формула (8,3) должна быть переписана в виде $91 ФЛУКТУАЦИИ Так, например, зная распределение вероятностей для различных значений энергии системы, можно вычислить среднее значение энергии этой системы. Возникает естественный вопрос, в какой мере задание среднего значения характеризует реальное значение этой величины. В приведенном примере можно спросить, в какой мере указание средней энергии может характеризовать фактическую энергию системы.

Ясно, что если отклонения величины от своего среднего значения достаточно малы, то всегда можно без большой погрешности заменить истинное значение величины ее средним значением. Для того чтобы дать точный количественный ответ, необходимо ввести некоторую величину, которая характериаовала бы отклонение истинных значений величины Л от ез среднего вначения 1.. На первый взгляд может показаться, что в качестве такого критерия можно выбрать разность 1 †'. Однако это не совсем так. Отклонения величины от своего среднего змачения могут быть велики, но, тем не менее, будут играть незначительную роль, если они происходят достаточно редко.

Если, например, заметные отклонения энергии от ей среднего значения происходят так редко, что время, протекающее между двумя последовательными отклонениями, очень велико по сравнению с временем наблюдения, то такие отклонения вообще не будут проявляться в течение времени наблюдения. Если же отклонения от среднего не очень велики, но происходят часто, то в этом случае указание только среднего значения Е недостаточно характеризует истинное значение величины )..

Можно было бы попытаться в качестве критерия выбрать среднее значение разности А — Е, т. е. Š— Х. Однако эта величина в точности равна нулю: Ы. = л — Х =Т вЂ” Х = О. (Заметим, что вторичное усреднение Ь проводить не нужно, поскольку среднее Е есть некоторая постоянная величина. Но среднее значение постоянной величины равно, очевидно, самой величине.) Равенство нулю величины ь — Т выражает собой тот факт, что отклонения Е от Х в обе стороны †сторону больших и в сторону меньших значений †происход одинаково часто. Для того чтобы отклонения от Е в обе стороны не погашались, а складывались, нужно выбрать в качестве критерия не среднюю разность ЬЬ =ь — А'., а средний квадрат разности (дт.)з. При этом значения (ЦА'.)з будут тем больше.

чем больше отклонения А от А, независимо от знака отклонения, и чем чаще эти отклонения происходят. Величина (Ы.) = = (ь — ь)з носит название квадратичной флукльуайии. Квадратичная флуктуация является существенно положительной величиной. Оиа основныз понятия твогии взгоятностей 1гл.

и принимает наименьшее возможное значение в нуль — только в том случае, когда А всй время точно равна своему среднему значению 1.. Всякое отклонение от среднего вносит свой вклад в значение (п1.)я. Из определения (аь)э имеем: (ЬЛ)э = (Š— Е)э = Еэ — 2(Х+ (Х)э = = 1.Я вЂ” 2ХХ+ (Е)э = (.э — (Е)э. (9,1) (9,2) Для доказательства этой теоремы вычислим величину йв. По опреьг делению аддитивной величины х'. = ~,1.<з1, где Е1ь) — значение велиь=э чины ь для й-й независимой части системы (во избежание недоразумений, индекс, характеризующий часть системы, мы пишем вверху), и суммирование ведется по всем независимым частям, входящим в систему.

х) Адаптивной функцией называют функцию, обладающую тем свойством, что значение этой функции дэя сложной системы равно сумме еэ значений дая всех независимых частей. Ясно, что для малости абсолютной флуктуации необходимо, чтобы большие отклонения ь от Х были маловероятны, т. е. происходили достаточно редко.

Таким образом, величина (аЦз может характеризовать отклонение ь' от своего среднего значения. Если (аь)з мала, то значение величины Е вс6 время близко к своему среднему вначению. При этом среднее значение А может достаточно точно характеризовать значение А. Относительную погрешность, которую мы совершим, заменив Е ей средним значением ь, можно оценить по значению величины йв =, носящей название относительной Ф'(ьц~ У. флуктуации. Если Зл((1, то это оаначает, что величина С в среднем настолько близка к Т, что замена А на Х не вносит сколько-нибудь значительной ошибки. Мы докажем сейчас теорему, имеющую основное значение для всего дальнейшего изложения. Эта теорема гласит: Если имеется система, состоящая из М независимых частей, то относительная флуктуация любой аддитаеной функции ь) состояния системы А обратно пропорциональна корню из числа частей И, т.