Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 8

з, г. левнч Ьвидвнйв запрета нли исключения Паули: в случае частиц с полуцелым спином, волновая функция которых изменяет свой знак при обмене частиц, в каждом квантовом состоянии может находиться только одна частица. Действительно. если дзе частицы попадают в одно и то же состояние, то их волновая функция имеет вид ф(!, Ц). Но из (5,1) следует, что она должна менять знак л н прн обмене частиц.

Отсюда вытекает, $й что волновая функция системы тождественно обращается в нуль. Следо- Рчь ння тождественно равна нулю. Такое состояние системы реализоваться в при- 'Е роде не может. Часто принцип запрета -'Еи — — —— формулируют несколько иначе: в кажУ~ дом квантовом состоянии может нахог диться не более двух электронов с раз'л, Э дал личной ориентацией спина. Эквивалентность обеих формулировок очевидна. Для частиц с целым сливом не е~г существует никакого ограничительного !х положения и число одинаковых частиц ч 'Е в одном квантовом состоянии ничем не ограничено.

Уровни энергии системы, состоящей из большого числа частиц. Рассмотрим некоторую систему, состоящую из ч) одинаковых атомов или молекул, причвм будем считать, что М вЂ большое число. Из общих соображений ясно, что, поскольку система является Рис. 7. макроскопической, внутренняя энергия системы должна изменяться непреры н ывно и квантовые эффекты не должны иметь существенного значения. Мы посмотрим сейчас, каким образом при объединении атомов с дискретными уровнями энергии возникает непрерывное распределение энергетических уровней. Для простоты рассмотрим два атома, расположенных на большом Р асстоянии друг от друга (по сравнению с их размерами) и находящихся в невырожденном состоянии.

На большом расстоянии атомы не взаимодействуют друг с другом и энергия всей системы з равна сумме энергий обоих атомов аз, т. е. а = хао Состояние системы будет, очевидно, двукратно вырожденным. о) НРинцип тождественности элементАРных чАстиц дЬ Сблизим теперь атомы на такое расстояние, чтобы они начали взаимодействовать между собой. расчет показывает, что при возникновении взаимодействия уровень энергии системы расщепляется и распадается на два уровня энергии, лежащих близко друг от друга. Говорят, что взаимодействие сняло вырождение. Если продолжать сближать атомы, обрааующие молекулу, расщепление уровней будет увеличиваться, как это показано на рис. 7, нижний уровень. Очень часто уровни энергии каждого из атомов сами по себе являются вырожденными.

Тогда из одного уровня энергии возникает не два, а большее число уровней системы взаимодействующих частиц (рис. 1, два верхних уровня). Мы видим, что число уровней энергии в системе взаимодействующих частиц оказывается ббльшим, чем в системе разделенных частиц. Вмрождеиие уровней снимается взаимодействием.

Этот результат не является специфическим для системы из двух атомов, но имеет общий характер. Если система представляет собой систему атомов, характеризующихся 7 квантовыми числами, то при образовании системы сильно взаимодействующих частиц, например кристалла, все уровни энергии отдельных атомов расщепляются, распадаясь на отдельные уровни энергии системы как целого.

Последние, вообще говоря, являются невырожденными. Если число атомов в системе (или, точнее, число 7) велико, то полное количество энергетических уровней в системе оказывается огромным. С увеличением энергии они быстро сближаются (как это видно из рис. 7, †сравни первый, второй и третий уровни) и при больших 7" и больших энергиях возбуждения практически полностью сливаются, образуя сплошные полосы дозволенных уровней энергии. Из сказанного ясно, что утверждение о непрерывном изменении энергии макроскопического тела является не вполне точным. Самые нижние уровни энергии являются дискретными. По мере роста энергии происходит быстрое сближение уровней, н энергия системы становится непрерывной. Мы увидим в дальнейшем, что дискретность самых нижних уровней энергии в макроскопических системах существенно сказывается иа их поведении при весьма низких температурах, близких к абсолютному нулю.

ГЛАВА И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ $ 6. Понятие вероятности В практической жизни каждый из нас часто пользуется понятием зерояшнослги, хотя далеко не всегда вполне сознательно. '1асто говорят: «это †маловероятн случай», «весьма вероятно» и т. п. Попыгаемся вникнуть в смысл этих понятий. Предположим, что мы рассматриваем большое число однотипных событий. Для конкретности представим себе, что мы многократно бросаем игральную кость — кубик с метками 1, 2, 3, 4, 6 и 6 на гранях. Под событием в этом случае мы понимаем выпадание той или иной метки. Поставим перед собой такой вопрос: может ли случиться так, что одна из меток, скажем единица, выпадает подряд 10 раз? Каждый из нас сейчас же даст ответ на этот вопрос: такое событие является возможным, но мало вероятным.

Ответ, кажущийся совершенно очевидным, основан на чисто практических наблюдениях. Из повседневного опыта мы знаем, что выпадение одной метки два раза подряд происходит сравнительно часто, три рава подряд в значительно реже, четыре раза †е реже и т. д. Десятикратное выпадение одной метки кажется нам в высшей степени редкой случайностью. Вместе с тем, нет никаких оснований считать подобное событие совершенно исключенным. Принципиально такое событие является вполне возможным, поскольку в нем нет ничего принципиально отличного от двух- или трехкратного повторения одной метки.

Совокупность этих соображений мы и выражаем словами: возможно, но мало вероятно. Зададимся теперь другим вопросом. Можно ли утверждать, что если мы будем повторять наш опыт многократно, то кубик будет падать на все грани равномерно, т. е. что каждая метка будет появляться одинаково часто? Положительный ответ также кажется очевидным. На какую иа граней упадйт кубик при однократном метании, заранее сказать нельзя. Однако, если мы будем повторять опыт 60 нли 600 раз подряд, то все метки будут появляться одинаково часто. Мы скажем, что частота выпадения какой- либо фиксированной метки будет составлять '~ всех опытов. Это не 8У $61 ПОНЯТИВ ВЕРОЯТНОСТИ значит, конечно, что при 60 бросках единица выпадает ровно 10 раз; возможно, что она выпадает 9 или 11 раз, реже она выпадает 8 или 12 раз и т. д. Если увеличивать число опытов, то относительные отклонения частоты выпадения одной метки от '/ будут уменьшаться.

Поэтому, чем больше произведено однотипных опытов, тем увереннее становятся наши предсказания, основанные на соображениях вероятности. Если мы бросаем игральную кость всего шесть раз, то наше утверждение о том, что все грани должны появляться одинаково часто, может легко быть фактически ошибочным. При очень большом числе опытов это утверждение становится почти достоверным.

В ходе предыдущих рассуждений мы говорили о метании игральной кости. Ясно, однако, что все они могут быть перенесены и на любые другие однотипные события. Рассмотрим, например, распределение газовых молекул в некотором сосуде объемом )г, ограниченном непроницаемыми для молекул стенками. Предположим, что газ не находится под действием внешнего поля сил. Тогда все части сосуда будут совершенно равноправными.

Выберем некоторую газовую молекулу и рассмотрим вероятность того, что она будет находиться в некотором объвме о, составляющем часть всего обыма сосуда. Поскольку все части сосуда равноправны (это утверждение совершенно эквивалентно утверждению о равноправности граней игральной кости), мы можем утверждать, что вероятность нахождения молекулы в объеме о равна отношению — . 1г Общий вывод, который может быть сделан из этих рассуждений, сводится к следующему: вероятность данного события определяется относительной частотой его появления.

Чем чаще происходит данное событие, тем оно является более вероятным. Поэтому в качестве меры вероятности события можно ввести его вероятность, определяемую как отношение числа благоприятных случаев к полному числу измерений. Вероятностные суждения являются тем более достоверными, чем к большему числу событий они относятся. Мы не будем излагать теории вероятностей в том виде, как она налагается в математических курсах. Мы с самого начала введйм специальное определение вероятности, которое вполне эквивалентно принятому в математической теории вероятностей, но является более наглядным и удобным при рассмотрении вероятностных процессов в статистической физике.

Определение это тесно связано с представлением о зависимости между вероятностью и частотой появления события, принятым в повседневной практике. Рассмотрим некоторую, совершенно произвольную физическую систему, могущую находиться в различных физических состояниях. Прелположим сперва, что эти состояния образуют дискретный ряд, и условно проиумеруем их цифрами 1, 2, 3, ... Обозначим любую величину, зависящую от состояния системы, через Е. Величина Е кажет 38 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (гл. и представлять, например, энергию, объйм. сжимаемость нли любую другую величину, являющуюся функцией состояния и изменяющуюся с иаменением состояния системы.