Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 7

6. В самом общем случае произвольной системы, имеющей )' степеней свободы, можно показать, что при переходе к квазиклассическому приближению движение системы можно рассматривать так же, как в классической меха- ~г нике, но налагая на возможные состояния ограничение: каждому квантовому состоянию системы с у' степенями свободы в квизиклассическом приближении соответ- Л.7 р ствует ячейка в ей фазовом пространстве, Рис. 6.

имеющая обздм йт. При изложении статистической физики нам придзтся в большинстве случаев рассматривать движение сравнительно тяжйлых частиц (например, молекул), движущихся в макроскопических объймах, а также поведение макроскопических тел, содержащих огромное число молекул. Для таких систем квантовые явления играют сравнительно малую роль. Тем не менее, как выяснится в дальнейшем, ими нельзя полностью пренебрегать. Поэтому мы будем учитывать их в квазиклассическом приближении, основываясь на приведйнном правиле квантования. В остальном же там, где это не оговорено особо, движение систем будет рассматриваться классически. Разумеется, в некоторых случаях, когда масса системы достаточно велика, от квазикласси- 1гл. 1 ввадзнна ческого способа рассмотрения можно перейти к чисто классическому н полностью пренебрегать квантовыми эффектами.

Так мы будем поступать в главе !П. Однако при общих рассужоеннях н выводах будем считать состояния системы дискретными. ф 4. Число квантовых состояний дГ ЬГ = — Ьв = 4клгУ У2тз Ьз. дч (4,2) Число состояний частицы, энергия которых лежит между з и а+Ьз, равно (~(з) ~з — ггз д ~з = з 1 дГ 4ялгУ У 2лгз (4,3) йз де Лз Поскольку все величины в квазиклассическом приближении изменяются почти непрерывно, мы часто вместо Ьз будем в формуле (4,3) писать дз, считая дз бесконечно малой.

Нужно иметь в виду, что при больших значенияхз (больших квантовых числах) число состояний, отвечающих даже очень малому интер- Во всвм дальнейшем изложении важную роль будет играть поня- тие о числе квантовых состояний, отвечающих энергии системы, лежащей в заданном интервале между з и е+ Ьз. Будем обо- значать его через Я(з)дз, Вычислим это число сперва для частицы, свободно движущейся в ящике.

Согласно сказанному выше, каждому состоянию отвечает объем лз фазового пространства. Поэтому искомое число состояний мы майлзом, если вычислим объем фазового пространства, отвечающего энергии частицы, лежащей между з и е + Ьв, и разделим его на йз. При вычислении фазового объема воспользуемся тем, что в квааи- классическом приближении квантовые скачки малы, и будем считать импульс изменяющимся почти непрерывно.

Тогда элемент объвма фазового пространства можно написать в виде (2,11). Объйм фазового пространства, отвечающий энергии частицы, равной данной величине, получается интегрированием выражения (2,11) по всем координатам и всем импульсам, удовлетворяющим соотношению 0 (р <~ 2лгз. Переходя к сферическим координатам, можем нзписать: У~ив Г= 1пхдудг ~ др др„Ир,= 4я1' ~ рэИр= д Уота 4щРУ 1 4я(2ж)э~'ЛУ ч Объйм фазового пространства, отвечающий энергии между е н е+Ьз, равен $4] ЧИСЛО КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ валу Ье, оказывается огромным.

Так, например, при Ье = 0,005 лл.-в, з = 0,025 лл.-а и У= ! смз величина Я дз оказывается равной около 4 1Оаз. Эта величина, таким образом, практически не очень отличается от своего классического предела — бесконечности (й -+ О!). Тем не менее, конечность числа квантовых состояний играет большую рочь. Формула (4,2) обобщается и на случай у степеней свободы: ЬГ = — Ье, дГ да (4,4) где ОА. выражается формулой (2,11). Соответственно для числа состояний имеем: Я (е) г(е = — — де. 1 дГ (4,5) ЬТ дч (4,6) где произведение Ц бервтся по всем частям системы. Воспользуемся этим свойством Я для того, чтобы оценить число состояний системы, состоящей, например, из 100 независимых частиц, движущихся в объвме У= 1 см' с энергией в интервале Ьз = 0,005 лл.-а при в = 0,025 эл.-в и массе, равной массе протона.

Очевидно, имеем: я = (2 ° 1Ояз)газ — 10эззз. Спин. До сих пор, рассматривая отдельную микроскопическую частицу (например, электрон или протон), мы считали, что еЕ состояние полностью характеризуется заданием трЕх квантовых чисел в соответствии с тремя степенями свободы. Оказывается, однако, что для полной характеристики состояния элементарной частицы необходимо указать ещЕ одно квантовое число. В случае системы с большим числом степеней свободы число состояний выражается ещЕ большими цифрами.

Величина Я (з) может быть названа плотностью числа состояний, отнесвнных к единичному интервалу изменения энергии. В дальнейшем для краткости будем условно именовать Я (г) просто числом состояний с данной энергией. Это не должно привести к недоразумениям. Для дальнейшего нам понадобится ещЕ одно довольно очевидное свойство Я (з). Именно, если имеется система, состоящая из двух независимых частей, и число состояний каждой из них равно Яг и Я,, то число состояний сложной системы равно Я = ЯА ° Яя. Действительно, фазовый объвм сложной системы по определению равен г(Г= д1', Л'з, откуда сразу следует указанное свойство Я.

В общем случае навдкний !гЛ. 1 Оказывается, что большая часть частиц помимо момента количества движения для орбитального движения в пространстве обладает дополнительным, собственным моментом количества движения, не связанным с пространственным перемещением. Он получил название слиноеого момента, или, коротко, спина. Спинам элементарной частицы называют наименьший механический момент (момент количества дан>кения), которым она может обладать. Большая часть элементарных частиц обладает спином 8, равным —.

Это означает, й 2' Чта ПРОЕЮ>ИЯ СПИНа Яь На ПРОИЗВОЛЬНУЮ, ВЫДЕЛЕННУЮ В ПРО- lа л странстве ось х может иметь два значения: + — и ††. Говорят, 2 2' 1 1 что спиновая координата принимает два значения: + — и 2 2' Она наряду с пространственной координатой является аргументом волновой функции. В 5. Принцип тождественности элементарных частиц Оказывается, что учет дискретного характера состояний системы и, в частности, дискретных уровней энергии позволяет охватить широкий круг вопросов, остававшихся нерешенными в классической физике. Однако помимо этого необходимо будет учитывать и некоторые другие особенности квантовых систем, су>цественно влияющие на поведение реальных макроскопических систем.

В дальнейшем нам часто придется иметь дело с системами, состоящими из некоторого числа одинаковых частиц (например, электронов или атомов данного типа). Законы поведения таких систем в квантовой механике резко отличаются от классических законов. В классической фиаике, как бы ни были сходны те или иные физические тела по своим свойствам, принципиально всегда можно проследить за их движением и отличить их друг от друга. В квантовой механике положение коренным образом изменяется.

Причина заключается в том, что в квантовой механике имеет место принцип тождественности одинаковых частиц. Согласно этому принципу все одинаковые частицы данного вида (например, электроны), входящие в данную квантовомеханическую систему, являются совершенно тождественными. В системе, состоящей иа частиц одного вида, состояния не изменяются при взаимной замене частиц. Пусть, например, система состоит из двух электронов, причем первый электрон находится в состоянии, характеризующемся совокупностью квантовых чисел л, а второй электрон — в состоянии с квантовыми числами и.. Если поменять состояниями эти электроны, то получим состояние системы с той же энергией. На первый взгляд может возникнуть впечатление, что состояния системы являются двукратно вырожденными.

Оказывается, однако, что это не так, $51 пэинцнп тождественности элвмвнтлвных частиц ЗЗ Совокупность целого ряда данных как основанных на общих положениях квантовой механики, так н следующих из статистических соображений (см. главу Ч15 позволяет утверждать, что это не так. Тождественность частиц одного сорта является настолько полной, что вамена, например, одного электрона в данном состоянии на другой не является физическим событием. Не имеет поэтому смысла говорить, что электрон ля 1 находится в состоянии 1, а электрон М 2 находится в состоянии 2. Следует указать, что система из двух электронов находится в определенном состоянии с данной энергией. Из этого утверждения, непосредственно вытекающего из ряда опытных фактов, получаются весьма важные для статистической физики следствия, с которыми мы познакомимся в главе Ч1 и, особенно, в главе Х!11.

Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц, находящихся в некоторых точках пространства гх и га и имеющих данные значения спинозой координаты. Обозначим совокупность всех координат частиц через Ц и 1а. Предположим, что мы поменяли местами обе частицы, так что вторая частица перешла на место первой и получила ее спиновую координату, н наоборот. С точки зрення принципа тождественности такая замена не является физическим событием, поскольку обе частицы являются абсолютно тождественными н невозможно отличить первую частицу от второй.

Это значит, что волновая функция системы ф(', 1а) если и изменяется при такой замене, то так, что распределение вероятностей остается неизменным. Но распределение вероятностей определяется квадратом модуля волновой фУнкции 1ф(!ы 1а))э. ПоэтомУ единственное изменение, котоРое может происходить с волновой функцией прн замене частиц местами, состоит в том, что она может изменять свой знак, (5,1) Возможно, однако, что н этого изменения с волновой функцией не происходит, т.

е. ф(1. '-з)=фбя 1) (5,2) Для каждого вида частиц поведение волновой функции при нх перестановке имеет вполне определенный характер. Оказывается, что в случае частиц, имеющих полуцелый спин, волновая функция изменяет свой знак; у частиц с целым спинок она остается, неизменной. Спин электронов, позитронов, протонов, нейтронов — полуцелый. Спин сложных частиц определяется количеством входящих в них элементарных частиц и может быть как целым, так н полуцелым. Свойства частиц, у которых волновая функция изменяет и не изменяет свой знак при перестановке частиц, столь существенно отличаются, что, строго рассуждая, нужно говорить о двух различных эндах квантовой механики: для частиц с целым н полуцелым олином. Это видно нз следующего утверждения, носящего название принципа 3 звк 16эз.