Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 3

В этом смысле говорят, что задачей статистической физики (или, как ее часто называют, физической статистики) является исследование поведения и свойств макроскопических систем, находящихся в состоянии равновесия, на основании предположения об их атомной структуре. Задачей физической кинетики является изучение свойств макроскопических систем, состояния которых изменяются во времени и которые не находятся в состоянии равновесия. В этой книге мы ограничимся изложением статистической физики.

Частицами, из которых построены макроскопические системы, могут быть элементарные частицы — электроны, протоны, нейтроны или состоящие из них атомы или молекулы. Большая часть тел в физических условиях, встречающихся на земле, построена из атомов и молекул, как из структурных единиц. Лишь в некоторых случаях, имеющих обычно значение для астрофизики, приходится учитывать возможность диссоциации (распада) атомов на электроны и ядра. Свойства и законы движения элементарных частиц, атомов и молекул изучаются в квантовой механике. В статистической физике они считаются известными и задача состоит в том, чтобы найти свойства систем, содержащих очень большое число частиц с известными свойствами.

Исследования свойств и поведения систем, состоящих из весьма большого числа частиц, позволили выявить важную принципиальную особенность таких систем. Она заключается в том, что поведение подобных систем определяется закономерностями особого типа, получившими название статистических закономерностей. Ниже (5 10) будут даны характеристика статистических закономерностей и сравнение их с закономерностями, определяющими поведение отдельных частиц, — динамическими закономерностями.

9 2. Необходимые сведения из механики Как известно, основной задачей классической механики является изучение перемещения в пространстве взаимодействующих между собой тел. Весьма часто при этом в механике отвлекаются от ряда специфических свойств тел и, в частности, от их протяженности, вводя понятие материальной точки. Положение материальной точки в пространстве характеризуется заданием трвх еЕ координат. Лля полной характеристики состояния материальной точки необходимо задать три координаты и три компоненты еЕ импульса. [гл.

[ !4 вввдвниа Для нахождения закона движения материальной точки, т. е. закона ивменения ез состояния во времени, необходимо знать силы, действующие на материальную точку со стороны других тел, и состояние, в котором она находилась в начальный момент времени. С математической точки зрения задача о нахождении закона движения материальной точки сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений второго порядка (уравнений Ньютона): лахг (2,1) где х, †-я декартова координата частицы, лг — ев масса и Р,— 1-я компонента силы при начальных условиях: хя = х~, м1 при ~= О. х» =хг Очень часто, особенно при изучении движения несвободной материальной точки, удобно характеризовать ев положение при помощи обобщенных координат, в качестве которых можно выбрать любые параметры (напрнмер, углы), характеризующие ее положение по отношению к другим телам.

В случае одной частицы вместо трвх декартовых координат можно задать обобщенные координаты ~у; (1 = 1, 2, 3), например радиус-вектор и два угла в сферической системе координат. Точно так же вместо компонент скорости и импульса можно ввести обобщенные скорости д; и обобшйнные импульсы рп а вместо компонент силы — обобщвнные силы О,. В частности, если обобщенной координатой служит угол ~у, то обобщзнный импульс р = М,= =гл1г, п),. В обобщенных координатах закон движения выражается уравнениями Лагранжа или уравнениями Гамильтона, которые эквивалентны уравнениям Ньютона, но в обобшянных координатах имеют более простой вид. Уравнения Гамильтона особенно просты с принципиальной стороны и имеют вид (2,2) где Н вЂ” функция Гамильтона, представляющая собой полную энергию, выраженную через координаты и импульсы системы: н= т+- и= ~; —,'+ и(),).

Здесь Т вЂ” кинетическая н У в потенциальная энергия материальной точки. Система из шести уравнений первого порядка (2,2) мате- $21 наовходимыв сведения нз мвханики матически равноправна с системой иа трех уравнений второго порядка (2,1). В случае декартовых координат уравнения Гамильтона непосредственно совпадают с уравнениями Ньютона (2,1). Действительно, в декартовых координатах кинетическая энергия не зависит от коорди- дН дУ д11 наг, так что — = —, а простое дифференцирование дает — =д,.

дд~ дуг ' др~ Состояние системы из М материальных точек, имеющей три степени свободы, характеризуется заданием ЗМ обобщенных координат и ЗМ обобщенных импульсов. Закон движения произвольной системы материальных точек также дается уравнениями Гамильтона (2,2), но при этом индекс 1 пробегает значения 1 = 1, 2, 3, ..., 3 М. Для нахождения закона изменения состояния системы во времени необходимо проинтегрировать систему шести уравнений первого порядка при заданных начальных условиях — начальных координатах и импульсах.

Задача эта с математической точки зрения весьма сложна и решена лишь для случая М= 2, 3, т. е. системы из двух и трех материальных точек (в последнем случае лишь для специального вида начальных условий). В других случаях в механике приходится прибегать к идеализации системы. В простейшем случае, когда расстояния между материальными точками системы можно считать неизменными, говорят о движении твердого тела. Твердое тело имеет шесть степеней свободы: три поступательные степени свободы тела, как целого, и три вращательные степени свободы, отвечающие вращению твердого тела относительно трйх взаимно перпендикулярных осей. Соответственно положение твердого тела полностью характеризуется заданием трех координат центра тяжести и трех углов. Часто приходится также рассматривать движение системы материальных точек, могущих совершать малые колебания около положений равновесия. В дальнейшем нам понадобится определение числа степеней свободы колебательного движения такой системы.

При его определении нужно различать два случая: когда материальные точки не лежат на одной прямой и когда они находятся на одной прямой. В первом случае из 3 М степеней свободы три приходится на поступательное и три на вращательное движение тела, как целого. Остальные (3 М вЂ” б) степеней свободы отвечают внутреннему движению материальных точек системы, т. е.

их малым колебаниям около положений равновесия. Если все материальные точки лежат на одной прямой, то распределение степеней свободы несколько изменяется. Именно, поскольку материальные точки не имеют пространственной протяженности, не имеет смысла говорить об их вращении вокруг собственной оси. (гл. введения Поэтому такая система может вращаться только около двух осей. При этом на колебательное движение приходится (3 М вЂ” 5) степеней свободы. 1(ля наглядного изображения закона изменения состояния — координат и импульсов системы в механике часто пользуются графическими призмами, в частности изображением состояния системы в так называемом фазовом пространстве. Фазовым пространством называется изобразительное пространство, в котором е качестве осей координат выбраны обобщенные координаты а импульсы.

Рассмотрим прежде случай системы с одной степенью свободы. Пусть нам известна зависимость координаты д и импульса р от времени. Тогда можно построить графики д=д(1) и р=р(г), показывающие изменение этих величин во времени. Удобнее, однако, иметь р график, представляющий последова- г тельность состояний системы, а не у отдельные графики, изображающие изменения ев положения н импульса. Для получения графика последовательности л состояний нужно совместить два графика д(с) и р(С), исключив из них время.

Выберем в качестве оси абсцисс обобщвнную координату д, а оси ординат †обобщенн импульс р. Кривая на рис. 1 показывает изменение состояний системы. Так, например, в точке 1 система имела координату дч и импульс р„ в точке 2 в аналогично дэ и рэ и т. д. По мере возрастания координаты системы д увеличивается и ев импульс р по аакону, изображвнному на графике. Пространство ня рис. 1 получило название фазового пространства.

Необходимо решительно подчеркнуть, что фазовое пространство не имеет ничего общего с реальным пространством и является чисто условным понятием. Каждой точке фазового пространства соответствует вполне определенное состояние системы. Точку, положение которой з фазовом пространстве характеризует состояние системы, называют изобразительной точкой. При изменении состояния системы — ей поло>кения в реальном пространстве и импульса — положение изобразительной точки в фазовом пространстве изменяется и она описывает некоторую фазовую траекторию. Форма этой траектории совершенно не похожа на форму реальной траектории.

Однако она связана с ней, так же как и с законом изменения импульса, взаимно однозначным соответствием. Для того чтобы представить себе все сказанное нагляднее, рассмотрим движение линейного гармонического осциллятора, движущегося действием квазиупругой силы г"= — хд около начала координат д = О. Уравнение движения имеет вид (2,3) тд = — хд. й 2! 17 неовходимьщ сведения из механики Оно легко интегрируется. Имеем: д = А з1п (аХ+ «), р = тмА соз (мГ+ я), (2,4) (2,5) (2,6) Это в уравнение эллипса.