Левич В.Г. Введение в статистическую физику (Левич В.Г. Введение в статистическую физику.djvu), страница 13

При формулировке статистической закономерности также происходит некоторая абстракция. «Чтобы понять отдельные явления, мы должны вырвать их из всеобщей связи и рассматривать их изолированно, а в таком случае сменяющиеся движения выступают перед ними — одно как причина, другое кчк действие» (Ф. Энгельс, Диалектика природы, 1948 г., стр. 186). Мы отвлекаемся от несущественных моментов — движения отдельных частиц и выделяем как главное закономерность в поведении системы в целом. При этом увеличение числа частиц в системе не усложняет, а, напротив, упрощает выявление этой закономерности.

Сформулированная нами теорема о флуктуациях (или целый ряд ей подобных, так называемых предельных теорем теории вероятностей) показывает, что для систем, содержагдих весьма большое число частиц (или массовых процессов), статистическая закономерность определяет поведение системы с огромной степенью точности. Поэтому было бы грубо ошибочным пытаться истолковать отсутствие динамических закономерностей в статистических системах кчк отсутствие закономерностей вообще, как проявление индетерминизма. Необходимо также иметь в виду, что хотя движение отдельных частиц не существенно для поведения статистической системы, свой=тва отдельных частиц, закон их движения существенно отражаются на свойствах макроскопических систем.

В дальнейшем на ряде примеров можно убедиться в том, что в зависимости от закона движения отдельных частиц существенно изменяются свойства статистической системы. Это свидетельствует о существовании неразрывной связи между закономерностями, определяющими движение отдельных частиц (динамическими закономерностями), и закономерностями в поведении системы, как целого (статистическими закономерностями).

Рассмотрим некоторый замкнутый сосуд, заполненный газом. Предположим, что в газе установилось состояние равновесия. Попытаемся установить статистические законы, определяющие поведение газа. В соответствии с прямыми данными опыта будем предполагать, что молекулы газа распределяются по всему обыму замкнутого сосуда с равномерной плотностью (т. е. что число молекул в единице объЕма постоянно по всему сосуду).

Будем также предполагать, что молекулы газа обладают скоростями, равномерно распределенными по всем направлениям в пространстве. Это означает, что число молекул, движущихся во всех напрзвлениях, лолжно быть одинаковым. Если бы это было не так и сушествгвало бы направление преимущественного движения молекул, то в этом направлении вози~ к бы поток газа, Из опыта следует, что в газе, заключением в замкнутый сосуд и не $101 пгоотвйшая статистичаская система — идвлльный газ 57 подвергающемся воздействию извне, возникновение установившегося потока газа невозможно. Предположение о равномерном распределении молекул в пространстве и равномерном распределении скоростей по всем направлениям называют предположением о молекулярном хаосе. Естественно, возникает вопрос, каким образом устанавливается равномерное распределение скоростей молекул во всех направлениях.

Ясно, что если бы молекулы совершенно не взаимодействовали между собой, то не было бы никаких причин, которые могли бы изменить первоначальное направление движения молекул. Поэтому наличие или отсутствие направленного потока целиком определялось бы начальными условиями. Установление молекулярного хаоса обусловлено существованием взаимодействия между молекулами. При столкновениях между молекулами напрдвления их движения непрерывно изменяются. Если бы в начальный момент все молекулы двигаллсь в одном направлении, то по истечении известного промежутка времени в газе, предоставленном самому себе, произошло бы полное перемешивание скоростей и установилось бы хаотическое движение с равномерным распределением скоростей по направлениям в пространстве, Роль молекулярных столкновений не сводится только к установлению равномерного распределения скоростей по направлениям. При столкновениях молекул наряду с изменением направления полета происходит также изменение скоростей молекул по абсолютной величине.

Если бы в начальный момент времени все молекулы имели одинаковые скорости, то беспорядочные столкновения между ними привели бы к тому, что часть молекул случайно получила бы избыточную кинетическую энергию за счет других молекул, соответственно потерявших часть энергии. Благодаря этому равенство скоростей газовых молекул нарушится и в газе появится некоторая часть молекул, имеющих ббльшие и меньшие скорости. Иными словами, в газе возникнет некоторое распределение молекул по скоростям. В газе появится некоторое число молекул, икеюших большие скорости, некоторое число молекул сосредними и малыми скоростями.

Если газ заключен в сосуд и предоставлен самому себе, то числа молекул, приобретающих и теряющих скорость при столкновениях, уравняются, и в газе установится стационарное распределение по скоростям, которое не будет изменяться в дальнейшем. Нашей задачей является нахождение распределения молекул идеального газа по скоростям. Это распределение будет характеризоваться средним числом молекул, имеюьцих данное значение скорости. Из предположения о хаотическом характере молекулярного движения следует, что возможно появление молекул с любыми скоростями, так что распределение молекул можно характеризовать некоторой непрерывной функцией.

Поскольку скорости движения молекул изменяются непрерывно, нужно, конечно, говорить не о числе молекул, имеющих точно заданную скорость, а о числе молекул, имеющих скорость, близкую к данной. 58 1гл. п~ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ $ !1. Распределение Максвелла Обозначим через дл среднее число молекул в единице объйма газа, имеющих компоненты скорости, лежащие в интервале между о,, и пи+ ахи, о„и оя+ с(ою о, и о, + до,. Мы будем считать, что газ находится в стационарном состоянии, так что установилось состояние молекулярного хаоса и оно не изменяется во времени.

При этом число частиц с данными компонентами скорости дл„ не зависит от времени. Это означает, что уменьшение числа с(п за счет молекул, теряющих скорость при молекулярных столкновениях и выбывающих из указанного интервала скоростей, в точности компенсируется числом молекул, попадающих в этот интервал за счйт других столкновений. Ясно, что среднее число молекул с(п, можно представить в виде опп(он пию)по по ион(ю)йоидояс(о(111) ~ п(о)сЬ довело,=п.

(11,2) Условие (11,2) является условием нормирования для функции распределения п(яг). Далее, поскольку все направления движения молекул в пространстве равноправны, распределение скоростей должно быть изотропным и функция распределения п(о) не может зависеть от направления скорости. Это означает, что п(о, ою о,) не может быть произвольной функцией от компонент скорости о„, о„ и о„, на должна являться где п(о., о„, о,) =п(о) — число молекул с компонентами скорости о, о„, ое в единичном интервале. Функция )Ч(о) получила название функции распределения молекул ио скоростям. Если интервал с(о, сЬю Но, достаточно велик для того, чтобы в нем могло находиться сравнительно большое число молекул, то функция распределения будет плавно изменяться с изменением значения своих аргументов.

Поскольку число молекул з обычных газовых системах чрезвычайно велико, можно фактически выбирать весьма малый интервал скоростей Но, дое, с(о, и считать функцию распределения ецг6 плавно меняющейся функцией. Прежде чем перейти к нахождению конкретного вида функции распределения, укажем некоторые основные ей свойства. Прежде всего заметим, что функция распределения должна подчиняться условию, имеющему простой физический смысл: число молекул с произвольными значениями компонент скорости в объзме У равно полному числу молекул Лг, находящихся в этом объзме. Число молекул с произвольными значениями скорости получается из формулы (11,1) при интегрировании по всем возможным значениям компонент скорости.

Таким образом, функция распределения должна удовлетворять условию: $111 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА фу учу ° =Р~-Л*.тК+4 .. ~ ° ° гчины скорости. Поэтому, переходя к сферическим координатам, можно переписать (11,2) в виде л (о) са сЬ з1п О И сдр = л, где интегрирование ведэтся по всем направлениям вектора скорости, определяемым полярными углами О и 1р, и всем возможным значениям абсолютной величины скорости о. Выполняя интегрирование по всем углам 6 и э, имеем: ) а(п)оз1(о ) з)пйЛ ) сдр=4я) п(о)оэдс=п.

(!1,4) о е Пределы интегрирования по компонентам скорости и, сл и е, или по абсолютному значению скорости о будут обсуждены в дальнейшем. Нашей задачей является нахождение явного вида функции распределения а(о). Здесь мы ограничимся самым простым, хотя и не вполне строгим выводом вида функции распределения, получившей название функции распределения Максвелла, или, кратко, максвелловского распределения. В этом выводе особенно ясна роль молекулярных столкновений и предположения о молекулярном хаосе в установлении стационарного или равновесного распределения молекул по скоростям. Рассмотрим процесс столкновения двух частиц, движущихся со скоростями п1 и пз. Поскольку силы межмолекулярного взаимодействия быстро убывают с расстоянием и фактически отличны от нуля только в момент непосредственного контакта частиц, мы можем заменить реальный процесс соударения идеализированной схемой упругого соударения двух материальных точек.