1597389583-77efa643b8b6e15776de36435de667a4 (У. Рудин - Основы Математического Анализаu), страница 4

с теоремой 2.30). Обратное вытекает из следующего результата. 2.46. Т сор с ма. Пусть Х вЂ” лгетрическое пространство, Е ~ Х и Е 6(,'Н, ед» 6 и Н--нсперегекагтг>неся не>>>остыв лгналсесгггеа, аткрытыс оп>но»тип»лоно Е. 7'о,да гудйестерюгп непересекагаи(иегя пткрыпгые лгнг>зсесгггва Л и В е Х, такие, чтоб=--Л () Е, Н== ВП Е, 54 Гл. 2. Элементов теории множеств У л р а ое н е н и н а + , 'а ' + ~ а,' ,+...

+, а„~ =- й 5 — Л Й)х, у) "вза е''в е о' 4 Чтобы доказать обратное. допустим, что Е пе . Т су.ществуют точки х Е, пе связно. огда точки хГЕ, уГЕ, х . у, и открытые непересекающиеся множества А и В в Р, такие, что х с А, в ь В Е А ' В. Пусть ,у и с Ц и з=зцр5, Ввиду того что у ~ В и В открыто, имеем г у. Таким обреа, з того, ч го Л открыто, следует, что г пе является верхней границеи множества 5. Значит, ге Л. Ввиду того что хеА и А открыто, имеем х г. Т» б г, аким о рато из того, что В открыто, следует, что г ис является верхней гранью множества 5.

Зпачит, гй В. Но так как Е с: А ! В, с А~ В, то г(Е„и доказательство закоичгнс Указание. Прп каждом положительном целом 1~' существует только конечное число таких уравнений, что 6. Дзть пример открытого покрытия интервала (О,!). которое ие содержит конечного подпокрытия. 7. Показать, что теорема 2.36 и ее следствие становятся исвсриыми (в Р, иапример), если слово акомпактпое» заменить словом «замкиутос» пли «огразичеинос». 8, Гнява1от ли бескоие шые метрические пространства, яе имен»щие бсскояечпых компактиых подмножеств? Рь Пусть Х вЂ” пространство г~сех рациоиальиых чисел. с) (р, с)) = ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 56 Гл.

л. Элементвс теории множеств ГЛАВА Указссние. Согласно упражнениям 11 и 12, Х имеет счетнуло базу. Следовательно, каждое открытое покрытие пространства Х содержит счетное подпокрытпе 16,1, и -1, 2, 3..... Если никакое конечное подсемейство семейства те6о1 не покРываст Л, то дополнение Е„множества 6,11... 116н непусто при каждом и.

но пересечение 11 ń— пусто. Г!усть Š— множество, содержащее по точке из каждого Р„. Рассмотрите предсльнуго точку множества Е и получите противоречие. 14. Доказать, что каждое замкнутое множество в сспарабсльном ли трическом пространстве есть объединение совершен ного множества (может быть, пустого) н некоторого пс более чем Как указывает название, в этой главе мы будем иметь дело счетного множества. 1Слсдсгпапгп каждое счетное замкнутое мпо- главным образом с последовательностями и рядами комплскснык чисел.

Однако основшлс факты связанпеяе со скосшмостьк~ Гя. а. Числовые яосясоооателояости и ряди Сяодяи~иеся яоследовотеяьности Для примера рассмотрим следующие последовательности комплекспых чисел (при атом Х - )се). (а) Если з„=-1/л, то 11п~ з„— О: множество значений бесконечио, и последовательность ограниченз. (б) Есдщ з„п', то последовательность (з„) пе ограничена, расходится, а множество ее значении бесконечно. (с) Если з, =1+(( — 1)",'и), то последовательиость (яя) сходится к 1, ограничена, а множество ее значений бесковсчпо.

(с() Если з„- !", то последовательность (зо) расход|пся, ограничена, а множество ее значений конечно. (е) Если з,— 1 (и.— —.1, 2, 3, ...), то (я,„) сходится к 1, ограничена, а множество ее зпачепий когючпо. ,(я((Д)11м1'::1дРЯф1, тРДРп)ь, неоь31То211!,к;, ВДфн1мй„,сВО(1СтВа С:~оядыЯШ)1хев Значит, если сыь п1ах (Л:, Л"), то ,;„.. „-, ",, ',:.;," ,.;„.

-';:~.;,);,;.,";,ля... ьет,;я;:.:*,',,: я*'.,-еьь","яя ' 'д,","'1 л ',,"С ',"-,",',„': з ':„- .„=~"е "„,","~'-,';,"",',.;,", ';*:.,"', „, ч "„";~ ,',....,'";, )о",'ь *! о ...,;,"." -': ": =" ,ч''','",', "'","""м...д~'";"„й с ;!ф"-.;:"е „.",,.",я ;„З( ',',,:,,)я,'„'. г, д "' *: "к,",.', ь о„..." -в):„'».

- о ~ .ьяс ', '.,',-.".":;,' М" .7".'-' ы'тг.з , „.ь '" ';;.' -,)лй, " 'з'"-'о'о" ~''*Фоио1 "' м '"Ч .,' . А;"е "„, -", " ,':,:;-",,.г'' „'- -".-.:"-"с.,-,,' "'з ..„,; '""я г;-",.";-,'х о, ...о,я ':,'-"~ „: ',й '); я(";; гп-;,"!,"... "т.-.-: я "я- 'з ь ' ' 'Д "„',' ';... ',' ",,',, ", ' ' ""„", ' ' ",,' "'„',,", 'ф( ы ! '» ' ',яг"з и',~ е;с'," ~;"~,' тат,тч 'ф( -'я' "я-;;ез ъ.-.-,х сь .'.,"'3--.;.',.' ";: '"" ггс-,,',.'.' ':., те-:,!"":-;.::.-е.-'о. Ч""",',.' с( (р, р ) ~ с( (р, ро) + с( (р .

р ): е. Поскольку число е было произвольным, мы заключаем отсюда, что с!(р, р')--О. (с) Допустим, что ря — р. Тогда существует целое Л', такое, что при и ) Л имеем с'(р„, р) ( 1. Положим г=гпах(1, с((ро р), ...,д(рк р)). Тогда с! (р„, р) с'г при и ...;.1, 2, 3,....

(с!) Для каждого потожительного целого и существует точка р„ЕЕ, такая, что с((р„, р) . 1(п. Для даппого г)О вь1берем Л "' „',," 'а „.," и; *"-, „„, - ' с, ', е,.» .,гя'„ет ''",!",„„.,''„,',"...С ";; 1 'е% .;,:.Че, - А), Гл. 8 Числовые нослгдгвательнос~ни и янди л(ля данного е) О существуют пелые Л'и Тс, такие, что при п..Л', имеем ~зн з,() е, Г прн и н Лз имеем ) 1„— 1 ~ ( )' е . Если мы возьмем Х = шах(Л'„Л',), то прп и =: Л' получим ~ (з. — -) (~. — ~) ~ - е, откуда )пп (зн — з)(~н--() = О.

н ь Применив теперь (а) и (6) к тождсству (!), мы заключаем, чтсь Ип1 (з„1о — ьс) — О. Подпослгдоваснельнаснш Обратно, если (2) выполнено, то каждому е) О соответствует целое Ж, такое, что прп и ~ Л' имеем ,пдн — ест~=.-.—" ,(! ~)(/:). )г Л Значит, при и .-. Л' получаем й 1 ив ~, х„— х ~ = ~ ~, ))с, „— п, '~ (е, в- 1 откуда хн — их.

Теы самым (и) дг,казано Утверждение (6) следует нз (и) и теоремы ч З, б2 Гл 8. Числавыс аюслсдаватсльнаса~п и ряды Док аз а тельство. Пусть Š— множество значений последовательности (р„), а Е* — множество всех частичных пределов этой последовательности. Допустим, что д--предельная точка множества Е'. Чтобы показать, что о е Е*, достаточно, по теореме 3.2 (с(), показать, что д — предельная точка множества Е. Пусть задано число е . О. Поскольку ц — предельная точка множества Е*, имеется точка рЕЕ', такая, что 2 Так как р е Е*, то при некотором р„имеем (Р Ра) -"(Р Ч). (Ь) Если (К„) — последовательность кольниктных множеопьа в Л', п1иксьл, ато К„~ Ка„(п--.

1, 2, 3, ...), и если пьо П К„еистсхит ранна из одной тонни 1 с'аслеасвааильнасти Кличи ав !пп йвп~К„=-О, я е Доказательство. (а) Ясно, что йтп Е.'.:.йап Е, так как Е с: Е. Дайзикснохем цигдо р,„, О н яыбспеьл,,сто Е,, с!' ...Пп, е Верхний и нижний пределы 65 и Гл.

В. Числовые ппслейпвптельпосепи п ряди Доказательство. (а) Если 1(гп р„= р н е)0, то сущест«->оъ вует целое Х, такое, что й(р„, р) =в12 при и '«Х. Значит, если д(р., р.):=«д(р., р)+1(р, рп)(в, так что (рп) — последовательность Коши. (1е) Допустим, что (хп) — последовательность (коши в Й'. Пусть Ен — множество, состоящее из точек хео х;;,, х,,,..., х,,..., и пусть .Ен — замыкание множества Ек. По определению 3.9 и по теореме 3.10 (а) мы имеем ..

Ц) )пп д1ап1 Ен — О. 3.13. Оп реде лен ие. Послсдовательность (в„) вещественных чисел называется (а) монотонно возрасгпающей, ес:и в," вп, (и =1, 2, 3,...); (6) люнотонно (сбывпющгй, если вп.'. вп,, (и — 1, 2, 3, ...). Класс монотонных пос,тедовательпостси состоит из возрастающих и убывающих последовательностей. 3.14. Т е о р е и а. лдонотоннан тюлгдовательность (вп) сходится в пюл~ и еполько в толи слрчав, когда она ограничена.

Доказательство. Допустим, что в„- всл (в другом случае доказательство аналогично) Пусть Š— множество значений последовательности (в„). Если последовательность (вп) ограничена, то пусть ь — верхняя грань множества Е.. Ттда д ':;.пи. ''ие« 66 Лл. 3. Числовые последовательности и ряди СИСтСМЕ ВПЦССтВЕНПЫХ ЧНСЕЛ), таКНХ, Чта 5н —. Х ДЛЯ ПЕКОтОРОй нуь подпоследоватсльности (зо„). Это л1нижество Е содержит все частичные пределы, опрсделеш;ые в и. 3.5, н, возможно, числа Вспомним теперь определения 1.34 н !.40 и положим 5' -.— 5 цр Е.

5„-- 1п! Е. Числа 5', 5, называются верхним и нвжнпл1 пределами последоВатСЛЬНОСтн (зь); МЫ ИСПОЛЬЗУЕЛ1 ОбОЗНаЧЕНИЯ 11п1 за='5 11п15н" 5: НекотоРые специальные последсоательности Примеры. (а) Г1усть (5„) — последовательность, с щ я все рациональньк числа. Тогда каждое каж ое вещественное число является частичнылг пределом и 1пп во = -'-, со, 111п 5п- — со. ь т н (Ь) Пусть 5„--=. ( — 1)" 11 1-(1!п)1. Тогда 11п1 5„--= 1, 11гп 5н =- — !. и и-+. (С) ДЛЯ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтИ (5п) ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ!!П15„=5 н. ° ь тогда и только тогда, когда 1 л. а. Часлое»е послелоеап»льноста а Опо» гяа» так что Ъ .С1:.,екл г '.с Доказательство. (а) Возьмем и-. (1/е)1ло. »1— (Ь) Если р)1, то положим х„=: 1'р — 1.

Тогда х„)О и, согласно теореме о биноме, 1 и- лх„(1 + х„)п и — ! О < хп и Значит, х„— ~ О. Если р = 1, то (6) тривиально; если О ( р 1, то результа г получается переходом к обратным числам. (о) Положим х„=-- ~Рл — 1. Тогда х„> О и, согласно теореме ,о. б)ц(рь)е, ~;,*;,*--г"'...*;е"',:::Ь со"»„'-,;.-""";;,';:-' ': „'".':"""";,';"' '"1„'"""т( "..

-,с;"ыпс1 *, л-- " ',"." '.".,*,. ',:"."":.,'х 1,:.,-'ь,л,,;; —, *.,*; *.;с . ~ *-;; *';:;,*,,:" 'Дока *.-:.'..., „: '.,;*,'1'--:..'.„ьл Ь сясь,„;=,',.'„-,-";;:,.с; '*...",:...;::*:,:, ':..."*.*. =,*,1-;,;*', "*,.*,:*.,;:.,, се*,;.и СЛ Символ ас+ ае е ае+ ° . или, короче, (4) мы будем называть бесконечн»л1 рядол1 пли г1росто рядолс. Числа а„ называются настин»лги сул~лсалси этосо ряда. Если последовательность (з„) сходится к з, то мы будем говорить, что ряд сходится, и будем писать 70 Гл.

З. Числовые последовательности и ряды Ряды с нсотринотельньот членами 71 3.23. Т е о р е и а. Е'сли ряд ~, а„сходггепс»г, то !пп ао =. О. Ряды с неотрицательными членами н Однако условие ао — 'О не достаточно для того, чтобы обес- Простейшим из всех таких рядов, по-видимому, является геометрическая прогрессия. печить сходимость ряда,» а„.

Например, ряд 3. 26. '!' е о р е м а. Если О ..: х ( ! . то )— Π— л 1 о — 1 ~ хо 1 — л' расход»пся; за доказательсгвом мы отсылаем к теореме 3.28. о=о Теорема 3.14 о монотонных последовательностях также имеет если х ль 1, нго апачи ряд расходится. очевидный аналог для рядов. Доказательство. Если х~1, то 3.24. Т е о р е м а. Ряд неотрицательных ') членов сходится Число с Гл.

а. Числсиил посллдоошпельиости и ялди 72 теорему 3.27 к ряду (10)1 это приводит к ряду Б й а~+аи+(ао 1 > —,а, и-а,—,' так что (12) га.> 1,. (9) В силу (8) и (9), последовательности (аи) и (1„) или обе огра- расходится, тогда как ряд так что (8) оо ~~ (А. С другой стороны, при а~2и ;а,) ~-... +(а2А-, „+... +а, ) > 2аи —... 1 2 'ави — -, 1 (1!) У 2' 2" (Ья 2ь)и ли (и 1од 2)и (1оа 21Р ли В~ и=.! и теорема 3.29 следует из тсоремьг 3.28. Эту процедуру, очевидно, можно продолжить.