1597389583-77efa643b8b6e15776de36435de667a4 (У. Рудин - Основы Математического Анализаu), страница 2

2о Вынггпюснныс лигли ', ч.чы к"" '". ' .х*. сФ '„.!,. г." ..:"'г:.:.'. Феи* и л*' "и с:л к ..;:' ыс~ с *„* „":, ',( гс Ел. б Сионсмы всиссстлгнных и комплексных чисел УвбА, в то вРемЯ как неРавенс.гво 1, «Уа дает У,ЕВ. Это пРотиворечит условикь (6). Таким образом, существует пе более чем одно исло у с трсбускгькмн свойствами. Пусть у — множество нсех рациональных чисел р, таких, что р Е и при некотором а ЕА, Мы должны проверить, что 1 удовлетворяет условиям определения !.4. (!) Поскольку Л непусто, 1 также непусто.

Если рай и ц4р, то цап при лгобом а ЕЛ (пбо а (!); значит, ц~(1. (ц) Если рай! и ц=.. р, то р(- а при некотором а ЕЛ; значит, ц Р и, поэтому ц Е у. ()И) Если рЕТ, то рба прп некотором а (Л; значит, существует ц гд такое, что цап; глелгжатсльно, цру. Таким образом, у — всщсствсшгос число. очи . цуо. „«Лк .Рпи .агсех.. л„г („,.гмсв и.гни.. зс.мех~~«ни.~. В -,',~ его верхняя грань равна (, а его пг1жняя грань равна О, Заметим, что в этом случае верхняя грань принадлежит множеству, а нижняя грань--не принадлежит. В общем случае верхняя грань (или нижняя грань) может принадлежать, а может и не принадлежать множеству.

(Ь) П)сть Е состоит нз всех неотрицательных чисел. Тогда Е ограничено снизу, по нс ограничено сверху, и его нижняя грань равна О. !.36. Т е о р е и а. Пусть Š— нгсцдчпое льчолсегспвс ее~с(еегпвениик иеел, ограначеннк сти рху. 'Гогда ьцрЕ с(лдег'гивустп. Док а за тел ьс та о.

Пусть «! — множество вещественных ислени зл дп(л.д лс ицое слдг за удп(г(зц,обдлсдгцу,;,,гсЕ,,4...,в,, тпм,,и„, только 22 ! л. д Сишпемы еещестеенных и> намалексных чисел Эго число записывают так: ~/ х или хы'. г[ о к а з а т е л ь с т в о. Единственность следует из того, что неравенство 0(у,(у, влечсг за собой неравенство у",«у,".

Пусть Š— множество, состоящее нз всех положительных вещественных 1, таких, что >н(х. Если 1--х>11+х), то 0 =1(1; значит, 1":=1(х, так что Е непусто. Положим 1, = 1 + х. 1 огда из неравенства 1 ) 1, следует, что гн>.1-» х, поэтому 1Я Е и 1, является верхней границей множества Е. Пусть у — верхняя грань множества Е (которая существует по теореме 1.3б). Расширенное сиса>ема еещестеенных чисел Следовательно, ун = х, 1.38. Десятичные дроби.

В заключение этого раздела укажем на соотношение между вещественнымп числами и десятичными дробями. Пусть х ) 0 — вещественное число. Пусть и, — наибольшее целое число, такое, что па х. Если и„, и,, ..., пн, уже выбраны, то пусть пн — наибольшее целое число, такое, что и,, ад ла+ -+... + — (х. !О ' ''' >он Пусть Š— множество чисел 25 Комплексные числа 24 Гл. Е Сиопемм веигвопмннмя и еккпленвямх чисев (с) если х ~0, то х (+ с ) -=- — со, х ( — с=) = + со. Гели необходимо подчеркнуть различие между сивигевтами — со, + со, с одной стороны, и вепкственными числвмгу, с другой, то последние называк~т конечными'). 1.40.

Оп ред еле ние. Пусть Š— множество, элементы которого принадлежат расшпрепнои системе вепгествеппых чисел. Если Е не ограничено сверху (т. е. если для любого вещественного д существует элемент хЕ Е, такой, что д -х), то верюьчя грань множества Е по определению равна — ' со. Аналогичныхг образом нижняя грань множества Е, не огра- 1.43. Теорема. Для операций сложения и дчножения, введенных в опрсделешш 1.42, выполняюгпся зпксны колсидпптпшвнаспш, ассодиапшвносгпи и дисп~рибдпшвнпсгпи. Доказательство. Пусть х=-(и, Ь), д=- (с, г1), г — (е, )). (а) х .~- д — (и -', с, Ь 1- г() =- (с ! а, г( †' Ь) =- д ,' х; (Ь) (х+д)-'-,г=(из с, Ь+г()+(е, ()=-(а+с+е, Ь вЂ” ', г(+))= — (а, Ь) — , '(сб-е, г(4 ))-=х+-(д-'.г); (с) хд — — (ас — М, аг( , 'Ьс) =- (си — с(Ь, Йа-рсЬ)- — (с.

г()(а, Ь) =-дх; (г() (хд) г =-(ас — Ьс(, аг(-';-Ьс)(е, )) = = (иге — Ые — аг() — Ьс), ас) -- Ы) -;-аие+ Ьсв) = Комплексные числи 27 2В Гл. 1. Сиссиемы веиеествснных и комнлексных чисел сматриваем только неотрицательное значение квадратново корня которое определяется единственным образом по теореме !.37) Заметим, что абсолютная величина комплексного числа — не отрицательное всшествешюс число. 1.49. '! еорема. Для любых комплексных сисел х, у имееки (а) 1х,)0, если хььп, и (п(=0; (И !ху!-! ~ ~у~ Доказательство. Свойство (а) тривиально. Что касается (Ь), то пусть х = (а, Ь), у.=.

(с, е(). Тогда ! ху," — ' (ас — Ьс(, ис(+ + Ьс),' = аис' -' ЬвсР + аЧв + Ьвс' — = (а' + Ь') (с'+ еР) = ) х ~в ) у !и. Значит, Доказательство. Положим г=-(и/х) у. Тогда и хг =- х †. у =- и у =- у. х Итак, мы показали, что комплексные числа со сложением и умножением, введенными в определении 1.42, подчиняются всем обычным законам арифметики. !.54. Теорема. Для:побых веи(есгпвенных чисел а и Ь имеем (а) (а, О) + (Ь, О) = (а + Ь, О), (Ь) (а, 0)(Ь, О) — (аЬ, О), (с) (- ' — ) =( —, О), если ЬФО, Евклидовы пространспыа гв Гл. д Системы во~яественных и комплексных кисел Мы видим, что значит, Евилидовы пространства !.59.

О и р од е л е н и е. Если а и 6 — вещественные числа и- а',6, то омлесо ~слог и г--а)- г', то комплексное число г — -а- 6( называется сопрн- 1.63. Оп редел сии я. Для каждого положительного целого я обозначим через )хк множество всех упорядоченных последовалсвннилс с г. тельпостей из д вещественных чисел 1.60. Теорема. Если х, д — колы~лексныв чивли, то ( х -'Р у ~ -- Лх:, Лу == а + с . ~ а ~+ ) с !' =" х -; '( д ! Умножая на х+ у, мы заключаем ио теореме 1.49(6), что ! Л ( =- 1, Кроме того, Лх+ Лу — вещественное число. Если Лх --= =(и, 6) и Лу=- (г.

с(), то, как показывает определение 1Л8, а,оу Лх,=- (х(, (с,</Лд,= ~до В(А —,С в) лвО, так как все слагаемые в первой сумме неотрипательны, Отсюда следует, что А — С~'>О, поскольку В-о О. Но это и есть требуемое неравенство. Уираскнения з! ел. !.

Сисенемне вещесеивенных и комнлексннех чисел 1.64. Теорема. Пусть х, у, гЕйн и а — вещественнов число 7'огда (а) ( х ! ан 0; (б) ) х ).=:.0 ишгда и только пшгда, когда х О; (с) ! ах,' =. , 'а ) ~ х О (с!) х. у,' -.:' ,х ~ ! у;; (е) ~ х -! у в;. / х ! + ! у; ()) /х — г! (, х — у, '+ у — г!.

Дока зател ьство. Утверждения (а), (Ь) и (с) очсвидны а (д) следует непосредственно нз неравенства Шварца. В силу (й) имеем ',х+у г=(х+у) (х-(-у)=.х х+2х.у+ у у. 7. Определить хи для х 1 и вещсствениого д, используя упражнение 6 и метод теоремы 1.37, и доказать, что (а) хи х, если 1 .-.х, д= г; (б) хи г", если 1=:х. г, д--О; (с) хн'- . хих'. 8. Как нужно изменить упражнсння 6 и 7, если 0<хкб 1? 9. Пусть б: 1, х ) О. Доказать, что с)чдсствует одно и только одно всщсствшшое число у, такое, что х ==-6'-'.

Это число д называется логарифмом х прп основании Ь. 10. В каких пунктах нашего изложения теории вещественных чисел возникли бы трудности, если бы было опущено условие 111 опредслсння 1.4? 11. Если г,, ...,гн — комплексные числа, то глдвл ЭДЕМЕНТЪ| ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Конечные, счетные и несчетные множества ! Мы начнем этот раздел с определения понятия функции. 2.1. Определен ис.

Рассмотрпх1 два множества Л и В, элементами которых могтт быть любыс объекты, и прсдпдгложим, что Ксненнме, сигарные и нгсчппнме множества множество всех элементов !'(х) для х ЕЕ. Мы будем называть ( (Е) образом множества Е прп отображении г'. В этих обозначениях ) (А) — это мпохкество значений )'. Ясно, по ! (!) ~ В. Если )(А).—.— В, то мы будем говорить, что ! отображает Л ни В. (Заметим, что в соответствии с этим словоупотреблением на означает бо.тыиее, чем а.) Если Е с: В, то ! ' (Е) обозначает множество всех х р Л, таких, что )'(х) ЕЕ.

Мы будем называть ! '(Е) праобразоя множества Е при отображении 1. !'ели у Е В, то )' ' (у) это множество всех х Е Л, таких, что / (х) = у. ! ели при каждом у Е В множество ! '(у) состоит не более чем пз одного злеменза А. то ) называется взаимно однозначным отображением Л в В. Это можно выразить следую~пни образом: отображение )' множества Л в В взаимно Гл. 5Ь Зло!гонты теории мноохогого Консгнио, о!~ тного и ногчтонао лгномооо!оо,'15 Он пр051снястс51 с пол!О!ш ю !НН1НГия им!ил!но Однозн1'!НОГО соот встстви51. 2.7. Пример. Пусть Л вЂ” миожссгно всех целых чисел.

Тогда Л ---счстгюе множегтв! .,'1сйствгг!Сггы!о, рассмотрим слсдуницсс расположсние множеств Л и l о4:15, 1, — 1,2, — 2, 3,--3, 7:1,2, 3,4, 5,РН 7, В этом примере мы можем даж!. указ ль в явном виде форлгулу дош отображения 1 лнпгжссгна / в Л, устапавливаюгдсго взаимно одгюзначнпе соответогнне ли!аду этими мнг жсствамп: 2.1РН Т е о р е м а. Вглкйе б!'сконечно!' !год.иномесгггоо гнг!иного ,5!Нолггсгггигг Л соггггно.

Д о к а !а т е л ь с т в о. 1!рсдположнм, мо Е с: Л и Е бесконечно. РаСПОЛОжИМ ВЛСМЕНтЫ Х 5НЮжеетиа Л В ПОСЛЕДОВН!ЕЛЬНОСтЬ (Хо) с различными членами. Постргпгм последовате,гьгюсзь ',плг следующг!ы образом. 1(усть гг, — паимс!и,шее целое положительное число, такое, что хо,гЕ. Если и„..., пг,, (А 2, 3, 4, ...~ уже выбраны, то пусть гго — наименьшее целое число, большее пл, и такос, что х„, б Е. Полагая г' (11) — л„, (Й 1, 2, 3, ...). мы получим взаимно однозначное соответствие между Е и 2 зв Гв. 2. Эвелгенты теории ииолоеетв 37 Конечные, тетиые и несчетные ниоолегтва Символ с в (4) указывает только, что берется объединение счепгнозо семейства множеств. Его нс следует смешивать с символами + со, -.-со, введенными в определении !.39.