1597389583-77efa643b8b6e15776de36435de667a4 (У. Рудин - Основы Математического Анализаu), страница 9

и пусть М;, т"; — аналогичные величины для функции 1!. Разобьем числя 1, .... и на два ! ласса: ! ЕЛ, если М! — Рп! (д; ! Е Рп если М! Рч! )~ д. Для ! ЕЛ, в сил! выборг! д, оказывг!ется, ч!о М,* — гп',л е. Для !ЕЛ имеем М," — и!,ее2К, где К=-зи( !!у(()', т-..! М. Гл. ся Интеграл Римана — Спи<лыпааса Иктегаал как пг<едел сцмм Интеграл как предел сумм ДО сих пор мы Оп)5едсл<<ли <ппсград при пОМО<цн сумм (' (Р, ), и), <.

(Р, В о). Однзко числа ег!,. пп, появл<по<циеся в этих суммах, ис обязательно служат значениями функции ) (<я<и действительно оказыва<отся значениями фу<<кцип ), сслп ) непрерывна), Сейча< мы покажем, что ингсграл ~ )<(а можно рассматривать как предел последовательности сумм, в которых <5(, и лй заменены значениями ф) нкппи ). Кзк и пьпнс, и к<о<<от<55<но возрастает, а ) огпаш<чсна ц вешествс<<па (65 !а,,(5). Существует б . б, такое, мо при р(Р). 6 имеем (26) Л вЂ”,, 5(Р,),а) . Л:-,'.

Выберем тако< Р. Если мы заставим точки (, пробегать сегм<'нты [х,, х,) и возьмем всрхнкяо и ш<жнк5к5 грани чисел 5(Р. )', и). полученпьж так<<м образом, то, принимая во внимание (26), мы придем к неравенству Л вЂ” — '-.: Е. (Р, 5'. П), Е' (Р, )', а):.- Л Л вЂ”, тва (28) и (29) 1, Гт Гг. ттнтеграл Ргглгана — Стнлгтьееа Быбирая 6 -п1(п(бп бг), мы видим, что неравенс выпо:игякгтся прн каждом Р, таком, что р(Р) а.,б. 11ослолькуь очевидно, Т. (Р, 1, и) 5(Р, ), и) =.'(л'(Р, )', о), из (28) и (29) следует, что .5(Р, /, в)-. ~ )г)о+ —,,-, 5 (Р, 1, а) = ( (г(п —,',, ,! Ннгнегрирнгание и ииа'ейеренчираеание Ы! ио теореме 6.10 (с) и (г().

Мы видим, что для данного е - 0 1Р(у) — Е(н)( .и, если только р — л ~ еЛИ. Этим доказана непрерывность (и бо- лее тхно, равномерная непрерывность) фуикпии Р. Допустим теперь, что функпия 1 непрерывна в точке х,. Лля заданного е 0 выберем 6) 0 так, что , ) (1) --) (л:), = е, если '1 — аа~ .

6 п а(гсб(ь Тогда при !4З !42 т;>. В. Интеграл Рн>мана — Стальтьлха Интеграроаанне аснторнознонннл фцнн>на! '='>та теорема описывает одну пз ситуаций, когда интеграл Стильтьсса свод>пся к интегралу Римана. ,>1(ока зад ельс1 во. Заметим сначала, что по теореме (й!2 )а'е Ю. Пусть е>0. Вь>берем М тзк, что,1' >У!. Поскольку )>с' еЯ и и'6.М, из теоремы 6 !4 (й) следует, что с)тиос>путит б,>0 и бз>0, такие, >то ( 30) ! (1,) и' ((,) Лх> — б! )и' ! е, если р (Р) б> и х;, (. 1, .= .хй, н Иными словами, ~ 1о>>л — это точка пространства К', !'-я координата которой равна ~ (,с(и.

Ясно, что утверждения (о), (г), (е) теоремы 6.10 верны и для этих пекторнозначных и>пегрзлов; нужно просто применить прежние результаты к каждой координзте. То же верно в отногаснии теорем 6.!5--6.!7. Для илспострапии сформулируем аналог теоремы 6.16. 6. !9. Теор с из. Ег.п> ! и Г о»>обрпанс>н>н сегменсп (а, 6! Фуичиии аераиичеииай аарааиии Гл.

й. Интеграл Римана — Стшьтьееа 145 значит, пз теоремы 6.!О (6) следует, что у и с. у , '~ ~ 1 е1п. (36) Функции ограниченной вариации До сп: пор мы занималнсь шпегрнрованнем относительно Если у = О, зо неравенство (33) трнншлыю. Если уФО, то, разделив (36) на у!, мы получим (33). Доказательство. Для любс>го разбиения (хти ..., х,) сегмента (и, Ь) имеем , (т (х;) — ) з (х;,) ' =.. / 1 (лл) — 1 (х;, ) ! -: '~',,', (х,) — ), (х,,) ',. е Если мы просуммирусм эти неранено гва но е'=- 1...

и, а затем перейдем к верхним граням, то мы пол)чим утвсрекдение теоремы. 6.23. Примеры, (и) Если 1' — монотошшя функция на [а, Ь), то ) функция огра1(ичрнной вариации на (п, 61, и 1'(1)==)1(й— Гл. б. ГГюагграг Римана — бталмаьгаа 146 ФУнкции ограниченной аараацаа 147 такое, что а (40) Праггая чвсгь исравспства (39) оказывается верхне" Л о к а з а т е д ь с т в о. Для лк1гбого разбиепия сегмспта [а, Ь) сех сумм, фпгурирукгцих в (40). Значит, функция л - -л' пе монотонна; фуккция х монотонна иа ( — 1, 1) а функция л' — иет. Однако класс функций ограниченной вприа цип замкнут относительно операций сложепия и умпожеиия, 6.24. Теорема.

Егаи ) и й — гголиью оные ггнрнкции ограниченной вприиции ни )и, г), гпо ) + д и )й- — фрикции о рониненнои вариации но 1а, 01. (агтверждеппе. касаюпгесся суммы )-Г р, верно и для векторнозиа гиых функций; доказательство ие меияется.) ог (У) г.г-. ~З ( 1(х~) — $ (»г ) ! и ( ) Ес . ли точка х пе находится среди точек л, а ору гх;) и получим таким образом новое разоиеиие Р, для которого перавеисгво (10) все епге выполняется. Иа Гл. Вх Интеграа Римана — Стильтьееа !49 етаеьнейеаае теарелы ао ьнтегвнреванна 6.27. Тсо рема. Если ( — ввецввеивгняия Функция огривиши нш1 вариации на (а, 6), пео гуеивсепвргояа зшноп1онно возраьтиго гцие иа (а, й) грйикции р и е), епеекие, ат р(а) =ц(о) =-0 и (43) 1(х) — 1(«) =Р(х) — й( ), Дальнейшие теоремы об интегрировании (а <х <Ь) о~(х) = р (х) + г)(х) (44) ') 1" ееи —. ') 1" г()з — ) 1'е1) (47) „н.ееь" ,'.;„' .'..

"„",. т.зйг:„ е т. г; .;„".„...:"„'„,,' ...';,"'., -.,;;.;;;;: „,*.'::.*,.„, -,*,.'; „".ь;;,"„и,.' е,' .З.," ",,',, е-.'. ' . е '" *,.:, "... *"ь ' * ее„' Мы будем называть р и д соотвстсгвсиио функцияьи1 полоягипгвяьиой и отрицивильнои вариацзш функции ); равенство (43) показывает, что фуикция ) прсдставима в виде разпости двух 0.28. Опрсдслепие. Тспсрь мы обратимся к иптсгрироваиию относительно лн бой функции ги ра1и чсииой вариации, а ие только относительно моиотоипой функции.

Если ге вспГсствсипая функция ограиичеипой вариации иа (и, 1) и если и . ()--у, ~ дс )) и у— возрастакицис фуикции, то сстествс"ииое опрсдслеиис таково: !5! !50 Г*. 6. сгнпсеерал Рсслсанс! — Стильтьееа Даяьнейисссе теареми аб исстеерарыансссс Четыре интеграла, стоясцие в правой части этого равенства, были опредслсны в (47). Обычныс свойства аддитивности [теоремы 6.10 (а), (с) (е)1 в этой ситуации легко проверяются. Рассмотрим теперь аналог тсеорелсы Г>.12 (Ь) [см. такгке теоресау 6.20] для комплексных а. 6.29. Т с о р е м а. П[с!сясь !" и а — ксмсплексные фу!!к![с!и на [а, Ь], [ссоовлспсссоряюи!ие [с7~ловиям (а) или (Ь) определения 6.28.

Пуепсл г — фанк!!ия псплнссй вириании ф[снкс[ии и на 1а, Ь[. Тогда (оО),, [ [ !'дсс:,„„~ ! Гс.с! (!', Г! ..., спь!) сегмента [а, Ь1. Тогда, суммируя по частям, получим 5 [Р, !", с!) ~" Г (П) [а (х,) — а (хс,)1 =- ! ь+! =-) (Ь) а(Ь) —,г (а) а (а) — 2' а(х; а) [[ (!!) — ) (гс-!)]-- с=! =.- [ (Ь) а (Ь) — ! (сс) а (а) — о (сг, а, !'), так как с,, <х! с:;- го Если р(Р) О, то и рЯ) — ьО, и тео- 152 !л. б. !!ктаграл Римами — бтильтеееа 15З ьпрлмляечме кр~ леее О (х=-и), а (х) —. ! (и =. хер Ь) Спрямляемые кривые '2 '",';.': '.: .,'.

" " .::;. " '. " .:; .;,.'.:.": ": ".;" „':.",:; зь > ,'.„Чеки. е"е";..' '...;.'".-„..-"- ..".'..'..:,'.:,-" ..'.,е,'рр °: ....:,":.' ' ':,::,: ~,',:;";:";:„'.„е. '.„.:,".,",'" "': ';Ч' реке ',.»,"' ".*""," """'.,' у-'у с*'.,':.'-;;.~,,'.!ек "'.".",„у ,'")..~',:,'; „„"',""'...'аг ,; Рк:ке";л"т,;~с .::;;."':; ". Ь:;:.ег З Рв,..-'"" з "",'«,;,:,...:.;,',;;.,'.-'...::",.:.: .'„'..е;;." ° ':,;-:е„1";;.:Х,,,;...;,"„.,;,:.":; л "' ...а: . „.';; '„':..... ' '...

",.;; '» ";: "' „."„„:,:"'.; Сг:,.'Н 'л; Ь;„5,...;е ..С' ',,„;"' ":,,:' ."'.*'' „' '; „„",.„'" " б е.' 1...'е;",**.::.! -'.';,Л)' .', ... ° ...,. '":",." . „',-:',. *й.:З;"Л"' К 5(*'„.Е,.Ч °;.':,„*; ' ";.,;.':,'.,;.',';,,'":;*,":... *,' -»;,р," ее;-;"й :Ф,;: „, .; „' . ':*,-" елхиг;,, ",, '„;",;;:;,'. 'д". „": ." ",.',,'', „, '„,"'",'"'" И .. " „'.

' р *" .' '~ .'.;ем"'. .хр,"л'.ч. С""..„:,".;;.::::; к".а;:.,':",-::; "":,':;;.лр к,ег;: э"-"„,:";,:::,:.":, З1 к, '.„';;".".";-';„й .*',: -;: *, "-Х; ',:,,". е;Е.цв;;З;Вкг ": ". '. °;*-":,-' -'*, '.,";,;,';:;. '; .:-~„,.";,1 ";'-. ~ 'Х' ° .еФ,','";;г;к И „.е.„у 'к";Е„..З;:,",.

"' л .»'...:,.:; ': .,.и е;с ';;:",""";- б ' ".* *":г " Замечание. Может случиться, что точку х нельзя выбрат1 так, что и(х(Ь. Иапрпмер, если а ! непрерывна, то ~ ! 1(а — )(а) — -) (и) (а (Ь) — и (и)), 11.3'. Т е орем а. (Вторая теорема о среднем значении.) П!!сель о В силу равномерной пепрерывиости функции ч, иа (и, (й (зсорема 4.) 9), сели р (!л) —. О, то р ((!) —.- О. Таким образом, если р(Р) =. О, то обе части рзвеиства (Ой) стремятся к соответствующим частям равенства (54), поскольку функция и непрерывна.

Локазательство закончено. В заключение этой 1лавы мы рассмотрим о,1ио интересное гео метрическое приложение некоторой части пред1псствующсй теории 154 Гл. Е. Интеграл Рияана — Стилнтьеаа 6.35. Теорема. Если функция у' непрерывно но [и, 6[, то у сггрямлггсгго, а ее данно ровни ) [уе (1)[а[1 и доказательство. Мы должны доказать, что [;уг[=)г(у). Если [х„..., х„,' — разбиеггггс сеглгепта [а, 6[, то, как показывают теоремы 6.19 и (я20, нг , !. Упражнения Зе я Р а ж и е и и я 1 ПУсть фУнкциЯ и возРастает на ,'а, 6], о: х ~6 и н пр 1'ывпа точке ха. ((хь)=! и ~(х):=-О, если х=~:ха, Доказать, что ) С.-'г'(и) и ~ [с[ел- 0 ь П)сть г'>О, нег:рерывна на [и, 6[ и ~ ((х)г(х=.О.

До.. зать, что )(х) = — 0 при всех х С [а, 6[ (ср. с уггражнеггнсы 1), Улрааененил !57 Гл. ж 1Нтегяал Римана — Отильтьееа Указинпс. Положим о! (х).—.. ~„с,()! (х — х„), из= ц — и,. Согласно ! н упражнении! 3, ~ 1е(о! = ~>',г„)'(х ).!',роме того, ~ ~)г(ие.=-.У1~",(гьз), гДе М - — ьцР ,'1(!) !. 6. Пусть !' отображает сегмент (а, й! в пространство Р, причем ) — функция ограниченной вариации.

Локаза!ьл что функция от непрерывна в точке х с !а, Ь! то!'да и только то! да, когда функция ) непрерывна в этой точке. 7. Пусть 1(х) — О при всех иррациональных х, 1(х) — --1 ири 12. 1!усть ! --функции ограниченной вариации на сегменте !О, 2и) и ! (2л) ==!" (О). Доказать, что каждый из интегралов 2л 2л ! (2) созкх г)х. ! г (х) ми пхг!х и нс превосходит !г(1)!г! по абсолютной величине.