1597389583-77efa643b8b6e15776de36435de667a4 (У. Рудин - Основы Математического Анализаu), страница 5

Например, ряд 2— 1 л(иди Ь С(оя-и и=в 74 Гл а Числогие аослгдогатгльности и рлдгг Другие признала сходил~ости тд ЭтОт ряд схОдится, так как ! Скорость, с которой сходится ряд г —,, можно оцщ!ить так: 1 1 о' 12 2'+'''+ если з„обозначает то же, что и выше, то 1-2 3 ' ' ' 1 2 ... й «1: 1-с,'., ' !! +! 12! 1 с~ !) + позтому определение имеет смысл. На самом деле указанный ряд сходится очснь быстро, и зто позволяет нам вычислить е с большой точностью.

-!ак что 11птересно отметить, что е можно опредсли гь также прп помощи (16) 0<с — за« „,, ! другого предельного перехода; доказательство служит хорошей илл!остранней того, как ст!едусз оперировать с пределами. Таким образом, сумма з„, приблнн аст число е с ошибкой. меньшей 10 . Неравенство (16) представляет и теоретический Л ',"й и' 'Ва,л»Е:.*-и''Е';::'Л>;:„З-, --".«Р.,':» .*::,. „.:;- ..'3>с ...;,::-;:.-»1. ";.;,;;',:,:;,:::";,::-;; „:„;О»исс,„-.

, ~:,1:>,': ',,;. >,'.л ',.„ '.1:.'од» '>ни?>гз;;, сх тпи сс-...:о Ч:с.о ..:,: .,к :", » ",' .: '', „"~:>;.> „;," . ': й >к:~'*~>,,'*:" о >, ",, -;:; Х' ока >ласи: « ..,*: "*.ог,,*...*у.».';..„*,"и»,',„**.,* " и=К; с «Г ..' я ...".-"'. ".: - ",'- .,'л:.,-'злй';:.хс>йз '.: .;о;"::::.:>' »1;:; З г-';и; ч,:3>; "::.:",-:,;:>,: '-.;, -';;:::;,„:,:,,:-;:,:::, -:,;.;:;,: *' -:;: ф,*:„'.*; *.*'Зхп„=*"'*:;*:;к|:; Мт;,"«кя»-:, пнл„"., * ': —.„, *,**но:,*., да»"« ." я,'С "„'ч>'".";:"о":т " "'~ ".*" .' " ъас'." ."" " я> '" * ": з , *, .«:,*;о ",>:,,У( > «*,*; ""й ."д>)з „",-!;: >'.:::,;:-1; * .':„':"-:;;.

'"* .,: Г"'с..*:,Зи ';:-' .,д»О >Л ..»:, Х **...:",-,",-„,,;:::,.„,;,*,.;:.,";,;;;,„. '-:-:"':: 'ъхс ' -".:-:-„-- -..":,-" -'..и:.за:;:е; -"' ч:,1.;"-,ч о,-»1. "'!! '""~"*"~" *"- - ":'.. Ф"'**>;.* «с? *'"":. '";.»х?К '«.;"-'л >3%" *' 1;д;*ни»ж.с ">»с* "",";;,, '".;з»о'-'. >л' »*' ':.,;;"»и..с,-";:.„':;.-и..';:>Ь;„,»,:;:::;л, ь:о .;, .: мн,-,с ...,. »( ";"... из*~:с,~,' "..":з ои ":".;.»!и«,-ыа. .'; * а "'*, ба,ч к',.л д".: т . а Л, н 'О,Ф -: '(;~. '> ' >' - ,'и ",';":..':. ', *:.,": зо.

!з ': ": ': о>:~,' у»',~ дрдгис признаки скодиликти 77 76 ! л. а Числоотс иооясдооатсяьности и ряды Если '!а„«»!.р!а„) прн н>~по, то легко видеть, ч>о условие Ряд ~,'ро сходится, так как Ос Р:1. Сходимость ряда ~ап ао- О не выполнено, откуда и следует (Ь). следует теперь из признака сравнения. Чтобы доказать (с), мы снова рассмотрим ряды Если а ) 1, то, снова по теореме 3.!?, существует последовательность (пк), такая.

что хл ! у ! пз ! (ао, — -а. Дл>! каждого из них мы имеем с>п 1 Значит, ~ и„~ ) 1 для бесконечного множества значений и, так 1и.п ' ' — =1, ип что условие и„— »О, необходимое для сходимости ряда ~ а„, не выполнено (теорема 3.23). ио первый расходится, а второй сходится. Чтобы локазагь (с), рассмотрим ряды 3.35. 11 р и м е р ы.

(а) Рассмотрим ряд Стеяенньи ряды 7В ний, то и признак Даламбера тоже не позволяег сделать никаких заключегпгй. Эго следует из теоремы 3.37 и иллюстрируется приведенными выше примерами. Нн один из этих двух признаков не является особенно тонким в отношении расходимости. В обоих расходимость выводится из того, что а„не стремится к нулю нри и — и со. Степенные ряды 3.38. Определен не.

Пусть задана последовательность комплексных чисел (еяг. РЯд (1гд1 3.37. Т ео рема. Дял любой последоеательноепга (с„г пополни тельных шсел имеем называется степенным рядом. Числа с„назьгваются коэф4ациенггигми этого ряда; здесь е — комплексное число. Вообще говоря, этот ряд сходгпся или расходигся в зависимости от выбора нгсла т. Точнее, с каждым степенным рядом связан круг. так называемый круг сходичости, такой, что ряд (1.,..г),,сдггяггтдя,...ес.чц е,,цжнт йцъггги этогр круга, 11 расходится, 1гпг " ' ~ 11ггг 1 ㄠ— — гя — — с 1нн Р с„< 1нп л . 'л :",д "; .'.'с -'",-'""':.::,",:.-: ли ':": 'л' ° ':...'* -ф"- е.

„',:»: . л .о Гм 8 Чясясене яс~ледееатсльнеети и ряди еяе си ,,д Абсолютная сяодимость 8! Гл. о. ггислооис яоследсвогясльности и ряда А = ». ал при п,.О; А>=О н=о Лейбн нну. тоЯал ер >>А,,О,.~»,гг. «» „и хоп "и'",''" -"' в -' " »' . з'и '' ", ггнилх с тк .'ъ;„вь я" (с) Ллгг ряда ~~~ —, имеем г(=1. Этот ряд сходится во всех точках окружности круга сходимости согласно признаку сравнсния, так как — =- —, если,г' =.

1. ~я», н» Суммирование по частям 3.41. Теорема. Пусть доны две последовательности (а„) ((>я). Полозеегл» Сходимость следуст теперь из критерия 1(оггги. Замстггм, по первое неравенство в написанной выше цепочке основано, конечно, на том, что (> — -»нлг.т О.

3.43. Теорема. Допустилг, ч>го (а) ! сг ! .л > с, > > > с» ~ ) ...; ((>) с,т г мО, с, О (т=.), 2, 3 ...); (с) !пп со=-О. я-;, Тогда ряд У с„сходится. Ряд. для которого выполнено условис ((>), назьгвается «знакоперсмепным рядом»; сформулированная теорема была известна 82 Гл. д. '!иолооеее наоледооателоноети и ряди о сходится неабсолютно (теорема 3.43).

Признак сравнения, так жс как и признаки Даламбера и )(опик на самом деле есть признак абсолютной сходимостн, и поэтому не может дать никакой информации о иеабсолютно сходящихся рядах. Для работы с последиимн иногда можно пользоваться суммированием по частям.

В частносзи, степспной ряд сходится абсолютно внутри круга сходнмости. Мы увидим, что с абсолютно сходящимися рядами можно Сложение и уиножение рядов с„— -- ~~ пнЬя я (и=О, 1, 2, ...) я=о Если ряд ,~ а„ сходится, а ряд ~~ (а ~ расходится, то говорят что ряд ~~Р а„ сходится неабсолютио. Папример, ряд 2 1 ( — 1)" и 3.48. Определение. Пусть заданы ряды ~со и ~Ь„ Положим и назовем ряд х с„произведением двух данных рядов. 'Ч Это определение можно объяснить следующим образом.

Если, взяв два степенных ряда ~ а„г" и ° Ь„г", мы перемножим их подобно тому, как это делается в случае многочленов, и приведем подобные члены, то мы получим ~, а г". ~, Ь„г' — (ьо+а,я+а,г'+ е, )(Ьо+Ь,г+М'-~- е ..) 84 Так как то мы имеем е в. 3.

Чисвовь»е лосведовотеяьиости и ряди 17ерестаяовки рядов Положим '»2 ) ч2 ) ~(2+ ) »-»2,1 кч';. се ",.'"", '"-'., =,„; ~".', »тсе»л,,! "., :-','., ':;. »':;" ", ь-,",",,'"»;;" ь~'„-2»о',' о":::-!~';. е. -'.'-~~зт14;. е».,-;,-':;;,-841:, й',,;",."-.,'::.':.;:,; :-,'„"': т:,:,Е.ес ~.':~;.

»вй»,",,'",.«,',-'.:;',.,:,-, е,,-':"-'Хт::,,:".~.:;,;"",';ь»»ех...--',„: „' ,"»,"ь";-'. --,а и 2 2 [л+1) ) с„ и "' Х. от 2 л+2 ь=.о так что условие сл --» О, необходимое для сходимости ряда ~ с„. не выполнено. В связи со следую~ней теоремой, принадлежа1псй Мертенсу, заметим, что мы рассматривали в этом примере произведение двух неабсолютно сходян1ихся рядов.

'еч; '„,„зчс», в..еф' а) е ь»;;:.,и '»,.„.,;,."й»4,: ';»,,:~,..иь-,,",; сз„',","',„...";.",,;;:2 1;.2 б',» ';:,'.» ъ 1е 'ы) ' 1 о»ч "' ''; ' ' "»» ь т =- пор, -) а4()., + + а. ()о. Мы хотим показать, что Со — в ЛВ. Достаточно показать, что (2)) Опч у„= О, Я так как ˄ — >ЛВ. Положим и= ~ (пой о=о (Именно здесь мы используем условие (а).) Пусть задано е)О. В силу (с), )),--» О. Значит, можно выбрать й так, что (Д ) <а при л > Й, и в этом случае Гл. 8. Числовые последовательности и рядн В7 Перестановки рядов 3.54. П р и м е р. Рассмотрим сходяпц!йся ряд 1 ! 1 1 1 1 — —,+ —.— --+-- — --+ 2 3 4 З б (22) и ! о=! и одну из его перестановок Обозначим теперь через Р„ Р„ Р„ ... неотрицательные члены тельпости составлены из совершенно разных чисел. Мы, таким образом, приходим к задаче: выяснить, прп каких условиях все перестановки сходящегося ряда сходятся и совпадают ли их суммы между собой.

3.53. О и р е деле н ив. Говорят, что ряд ); о сходится безусловно, если каждая его перестановка сходится (к той же сумме). (Ср. с теоремой 3.57.) Тогда Є— д„— ап, Рп~-с)п а„~, п>О, с) >О. 1Ядь! ллРп, ~~„с)п оба должны расходиться. Действительно, если бы оба эти ряда сходились, то и ряд ~ (рп+ 4„) — — ~~д ~!а„) сходился бы, вопреки предположению. Сходнмость ряда и расходпмость ряда ч~д ~р, (илн наоборот) влечет за собой расходимость ряда ~ а„, что снова противоречит предположению, так как 88 Гл.

3. Числовые последовательности и ряды 8 ириоснения 89 Наконец, ясно, что никакое число, меньшее чем а или 2. Вычислить 11пз($'))ь+ и — и). болыцее чем 11, не может 'быть частичным пределом последовав ю тельпости частных сумм ряда (25). 3. Пусть з,=1 2 и 3.56. Теорема. Ряд ~ аа сходится безусловно тогдп и только и„,— $2 '-У. ) — ),2,)....).

тогда, когда он сходится обсел)атно. Доказать, что последовательность (вв) сходится и что в„( 2 при и=1, 2, 3, лютно. Пусть У„а„— его перестановка, обладающая частными 4. Найти верхний и нижний пределы последовательности (во), суммами в,'ь Для данного е ~0 существует целое число )т', такое, определенной следующим образом: что при т~ иаир имеем вел.-) ) 2 2 (25) в) вты = зеыь) ' ) веы. (а)1. 6. 5. Для любых двух вещественных последовательностей (сп,.)м „,, У л р а ас и е и и я Ге. 3. Чисеовсее лосеедовотееьноали и ряди 91 11.