1597389583-77efa643b8b6e15776de36435de667a4 (У. Рудин - Основы Математического Анализаu)

ОТ ПЕРЕВОЛЧИКА Книга оредставляет собой современный курс Книга известного американского математика У. Рудина облаамериканским ученым. По стилю н содержанию она дает рядом достоинств, вмделяюших ее среди руководств по мате- Осл лепгводкика реальные трудности. Так, например, студент, изучивший в таком изложении три формулы — Грина, Стокса и Гаусса — Остроградского (мы применяем здссь терминологию известного курса Г. М. Фихтенгольца), вряд ли сумеет даже чисто формально составить соответствуюшее соотношение между интегралом формы по многообразию и интегралом по краю это~о многообразия для нных размерностей. В главе 9 книги Рудина приводится очень короткое и паяльное доказательство теоремы о локальной обратимости гладких отображений евклпдовых пространств, доказательство теоремы о неявной функции, которая сопровождается интересными геометрическими приложениями.

Затем приводится остроумное доказательство теоремы о замене переменных в кратном нпгс~раде. Оно основано на 1ркядьном,,ппелГтаяденцяь для, ггого, отобоахе ни я,,с, неиз вяч хге. Одщ. ПРЕДИСЛОВИЕ Эта кни~а задумана как руководство по курсу анализа, который обычно проходят студенты в конце первого этапа обучения или р Вервыуй йгхд второгр этапа ').

д рес7иаеавие ГЛАВА СИСТЕМЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ И КОМПЛЕКСНЪ|Х ЧИСЕЛ Уоликр Рудин 'С;,и .:;.е;, а,з',,~, „а ас л(а 'и з| лат теорему Дедекинда. Главы с первой по седьмусо следует изучать в том порядке, в каком опи написаны, тогда как три последние главы почти не зависят друг от друга. Число задач возросло, теперь их около 200. Некоторые из них не требуют почти ничего, кроме непосредственного применения результатов, полученных в тексте; другие рассчитаны на пзооретательность лучших студентов, Большинства трудных задач снабжено указаниями. Введение Нзуч«пие основных понятий анализа (таких, как сходилюстсп !...,,Чек, непрерывность, дпфф«рсншсрование и интегрирование) должно с1«испвьсиатксп.

пэ,,точно. пппслаасчеппхс понятии,иигла. Мы, па~пкп е~ 1О Гх. 1. бисе«сын я«алеся,аеяяых и колиехеясяых «исе.л Лсдалинд~мы сел«идя ы «стремится к 1? 2». По до тех пор, пока мы не определили ирраТогда 0(ел - и д ел< р з я я, еле — 2'' циональное число )л2, остается открьпым вопрос: к чему же, ф=р' — (р' — 2)+( --.,---- ) ~ря- — (р 2) — 2 все-таки стремится зта последовательность? так что ч принадлежит так что ч принад. ежпт В. Главная цель атой главы и состоит н том, чтобы дать необходимое определение.

1.2. 3 а м е ч а н и е. Цель приведенного выше рассуждения— Ф показать, что в системе рациональных чисел имеются некоторые 1.!. П ример. Сначала покажем, что нцкакое рациональное про елы, несмотря на то что между лю еьвш двумя рациональными числами находится третье (ибо р((р- ~ф2 - е?, если р= с)1. (1) р« Сейчас мы опишем предложенный Дедскиндом процесс, который позволяет заполнить этп гробелы и прнноднт нас к всщественДсйствител1 но, предположим.

что зто =е так, Тогда сушеным числам. Чтобы нс увеличивать объема книги, мы пе везде ствуст удовлстворякнцее ураьиешпо(1) число Р=ппе| где 'г' " будем проводить рассуждения во всех деталях. Г!олное изложе Гл. д Системы вещественных и комплексных чисел !2 1.(Я Теорема. О(гсть г — рациональное чис.ю .

Лрсп~ь л~ножесглво а соспюигп ссз всех рияионильных чисел р, гпаких., мапо р ( г. Тогда а — сечение, и г — ниил~еныисс верхнее число сечения а. Доказательство. Ясно, что а удовлетворяет уг:юаням (!) и (Н) определения 1.4. Что касается (1!!), то нужно лишь заметить, что для любого рЕа мы имеем р~ — — = г Р+г поэтому (р '- г))2 ~ а. Далее, г~(а. Поскольку неравенство р( г влечет за собой включение рЕа, то г — наименьшее верхнее число сечения а. 1.7. О и р е д е л е и и е.

Сечение, построенное в теореме 1.6, пе<)пилндьлы сеьнил Доказательство. Определения 1.8 и 1.9 ясно показывают, что если а=-(5, то ни одно пз двух других отношений не выполвено. Чтобы показать, что отношения а<р и (!<а исключают ' друг друга, предположим. что оба эти отношения имеют место. Поскольку а р, имеется рашюнальное число р, такое, что ч рс(), р!(а. Поскольку р = а, имеется рациональное число о, такое, что д Е а, д !( ().

По теореме 1.5 пз того, что рс() н цф!), следует, что о(р. Так как неравенства р,д и д-. р не могут одновременно выполняться для рациона,".ьиых чисел, мы при(пр(л к противоосчию. .*'*„;"*:~ ..*...* ." йь*. льг;-'г"::* ь***:"-*"*,я; г;,о,'М Фее - *"„:,: *;;**-'," э!:*ь:*:*: ~*~* са ! *." чь л' Дедекиндовы сечения Гя. д Системы веи<ественныя и компяексных кисея !4 Если ь„„, не есть наименьшее из верхних чисел сечения а, то выберем р = — ь, <) == ьт,. Если ь, — наименынее из верхних чисел сечения а, то возьмем г р = в<н <) = во<! < —, 2 ' ' ' 2 1.16.

Т е о р е м а. Пусть <к — сечение. Тогда су<<<(естес<ел! одно и только одно сечение (4, такое, чпн. а+ р==-0*. Доказательство. Сначала мы докажем единственность. Если а г~! =-а ~-~(а=-.0*, то теорема 1.14 показывает, что (!) Ясно, что у непусто. Пусть ь<?а, г <? р, ь и ! — рациональные числа. Тогда в -'-1 р-'-о прн всех рЕ а, о Е р, так что в !ау.

Значит, у содержит не все рациональные числа. (1!) Пусть ! Е у, в( г, ь — рациональное число. Тогда г=р+<? при некоторых р Р а, <) Е ??. Выберем рациональное 1 так, что ь=? — <?. Тогда г- р, значит, !ра, поэтому ьЕу. (111) Прсдполоним, что гну. Тогда г=р-!с<? при некоторых р Е а, <) Е )ь. Существует рацпоналы <се < -> р, такое, что в Е а. Значит, ь-';<)Еу и з ';<) г, так что г пе является наибольшим рациональным числом в у. рв=о*'сре — — (а <-р!) <-(ьв — — (а ()а) ?(?<=-0 -'-(?! — —.?)<. 1.13.

О п р с д е л е и и е. Сечение <, построенное в теореме 1.!2, обозначается через а -'; р и называется сух!мой а и ?<. Для доказательства существования обозначим через (? мно- .к"'З'„' ' „.; „,',"в о „„; .< ег .,ф':";"":: .,':;.,',:„'„':.""'." .<;.,"„:;""„:„'", .:,',':"'н<;.!";„.," ';: ' „.„''р' „ч,.', ';;,".;";; „,' ""","; '. Й;,;, „.ф;': „,„'" "„л я! <в;':;;,„":. ..'.",:;".;::. л', !'.

', о н С<:ф:",: :,*;ч.<,' "' ',",.' 'ь ' "",'...""";";." ":"о<*,:,, ',*';,""'" *,:;,:!.*,1 4,';„",Ь,"С!к<. Св „'-::, . <,<Снеге;-'.:,„Ь"".„-,ч.а Ь Чье;. -,ЯД<в и ь, ): .."."*:*Е ".." 'е-':~ 4:;ко "с ., '" ";;,'...:" ":; ., '":, ':"*.'"; ";;:.';,',"-, *";":;;:.,-;:,-, '."":"",-,"., -'-",**. <ее:!";;.* 3' -,"., -'-","с м ";;Е;;с .;"с дсггекиндсви сечение '~ ', - к' ек' Гл Д Оггсеынн вегггестог~ еегх и комплексных чисел Доказательств о. Согласно определениям 1.9 и 1.13 а + (г е' а — ' у. Если а+р=а+у, то г) = О' + () .= ( — а) -' (а + ()) =- ( — а) + (а + у) = 0*+ у = у по теореме 1.!4. 1.19.

Т е о р е м а. Пггсогь а, (г--огчения. Тогдсг сци(есогвггет одно и только одно сечение у, токгс, еипо а+у=-(ь Доказательство. Едннствегпюсть следует из того, что неравенство у, Ф у, влечет за собой неравенство а-с у, д а (- у, (тбоггудга 1л1,8), ))сно, что га(>0' при всех а и ~гг)==0' тогда и только тогда, когда а — 0'. Теперь мы можем дополнить определение умножения. 1,2б. Определение. Пусть а, () — сечения. Положим, по определению ( — (~ ~~Р,'), '.

« -=о, ()::;.о", 'ги — — ( а, /1г/), если а', 0*, я 0* ~аг ~~г', если а О*, (1 -0* а гетим, что пРоизведение ~'а ~ ~р уже бмсго определено в 1.23, так как ( а! > 0*, ' р ! --, О* Гл. д Сссстемы вещественных и нсмллснсных чисел Если р'~9*, то имеется рациональное число г, такое, что г6с1', г яр'. Значит, р' г(д, так что р -д, 1.30. Теорема. Для любого сечения о илсгем рЕо гпогдо 1.32. Теорема (Тссдекннд).

!!рспп; А и  — такие иниже с:, *с"- "*,... сз:;:.„"". "- ""'схс' с' ".'....:""'"" сл,' .' ", .""'"" -б" ." "."вс :... о" '.с ,. '-.:..., '-:"" с;,сс с -, ".'з'пцс„'- ...,;;се':„' "; *с нос", ' ' 'м1 1;;;Л"'сосен " ь'лс с,я ';.с" со,7„ю'.с. ст. с:, 1.29. Теорема. Если о, р — сечснсчя и о "р, то сумеет густ рациональное сесенис г*, тпкое, чпсо о ~ г'(рс. Доказательство. Если о 11, то существует рацпональ нос число р, такое, что рЕ1л.

рс1а, Выберем г р так, что гЕ~ Посколку гбр и г(г', мы видим, что г* Поскольку рЕг* и р~сс, мы видим, что о- г*. Весссестпессные чнсла 19 с вляться с рациональными числами (и будут называться рациональными числами). Все другие ссчщшя будут называться ирроциональнылш ссислпл1и. Таким образом, множество всех рациональных чисел оказывается подмножеством системы веществещплх чисел. Теорема 1.29 показывает, что между любымн двумя вепкственнгямн числамп имеется рациональное число, а теорема 1.30 показывает, что каждое вспгествснное число и есть множество всех рациональных .'поел р, таких, что р: и. В следу1ощсй теореме высказано чрезвсячайпо важное свойство снстемьл вещественных чисел.