1597389583-77efa643b8b6e15776de36435de667a4 (У. Рудин - Основы Математического Анализаu), страница 7

6;" -';.,"'; .я ь. з.е%;""1 ' ''„...1', с . ' -. ° ", '" '; .'«" ".'""; е": .' о. „'';. о".'..." е, '.:.:, '„:;, ','::„.' ' '.;, Ось,'о..., ',;" „,'хы „', ',,:„'" ", ",'.:;...,' ' ° ""," „::.:.,',;; ';" *";"' .",.', '' '.'„. ',",'„' ' ":,.„""'-'....:,„."„'" ',.„,",': '.;, Е»„. ' ", „'-..-'", „.,;;,,', '; ':К 'со* 4'" "в('„':;"*,'*;;г о..*!,.",р..,',;",';"'::,';"т'!г '„"" '.:;-;,"-з." "-," ."',,';*,'". „'*! -;,:"'.;,с '-',,",':,';:*„, '':,,' **-:,','., К" '-,'ь о!,:" е".;! т";::-"',,,'-'..';" о,"" о .„:" *„,', „:;,"'';*„' ';, *:..„."'„":, ' ' ' "„'..;" ';,;,'*„:,;" ",:; ";", . "„'..": ' ":; ."",'„" '„'": " ',:,ь,ьд ';„"",',"., -, ь: „' «';; „::„""'„' ",„;':;;"„" "„'.." ) ' "', '";;";"'» д е '",' "о о :":"'А ";.""'. '"еео:'".„:,'1' „""и:" хо.' о'"''„я(х ''.

'*„* . ", ': '"..". *," *„*" ".ех'..",'„'.""."',:.-"'' '. ' ' -:.'-,'.". ° " ':'.",""„. '.: о к' ,':,.'':.' ':."..'*, .*„*" опх'„',".'г .;. „.*„*,*-:*,. „о,'.и'-:",. „; ,-,";::.„,,*;:;,"...'*',. те',,"".;" '„:,"„'. ".-"'.;е'.",;,'!: ..;" '*',. те',,"".;" '„:,"„'. ".-"'.;е'.",;,'!: ..;" '*',. те',,"".;,',:...':-','";;,',:...':-','";;,',:...':-','";;,',:...':-','";; .:;1',..'..;,*,",.р'*',.

те',,"".;" '„:,"„'. ".-"'.;е'.",;,'!: ..;" '*',. те', Гя. В. Неоаелуаноогоь Гнономоннне 4унхиоо Разрывы функций Если х †точ пз области определения функции !", в которой этз функпия нс является непрерывной, то мы будем говорить, чзо ! разрогвна в х или что !' илиттп ризрыв в х. Если фуш— ция )' определена на ин1срвалс или нз се~ менте, то удобно выделить разрывы двух типов. Прежде чем произвести эту классификации, мы должны определить праваггпоронний и ясвоггпоронний пределы функции ) в точке х, которые мы обозначим соответственно через )(х 1 ) и )(х †). 4.25.

Определение. Пусть функция ) определена на интер вале (а, 6). Рассмотрим лк1бую точку х, такую, что а:" х - б Тогда ! непрерывна в ~очке рода во всех остальных ~очках. (Г) Положим ( л'-, '2 ! (х) — ~~ —. — 2 х+. 2 х =- 0 и имеет разрывы второго (--;5 . л (--2), ( — 2-е:х( 0), (Ос х(1) Тогда ! Имеет простой разрыв в зочкс х= О и непрерывна во всех остальных точках интервала (--3,1). (г!) Положим ! ыи (хэаО), ) (х) — 5 (, .„О... (х= 0), 106 Гл. В. Оенрерывносто Бесконечные пределы и пределы в бесконечности 107 имеет верхнюю грянь, которую мы обозначим через А.

Очевидно, Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие что А."7(х). Мы должны показать, что А.=-Г(х — ). между множсством Е и подмножеством ыногкества всех ряциоПусть задано в) О, Из определения числа А следует, что нальных чисел, Это последнее множество, как мы знаем, счетно. сугисствует число Ь)0, такое, что а(х — Ь х и (27) А — (!( — Ь)с А, 4.31. 3 а м е ч а н и е. Нугкно отмен итго что точки разрыва монотонной функции не ооязаны быть изолированнымп. В самом Г!оскольку ! монотонна, имеем деле, для любо~о счетного подмножества Е интервала (а, Ь), которое может быть даже всюду плотным, можно построить функцию ), монотонн)го на (а, Ь), имсюгдую разрыв в каждой Комбинируя неравенства (27) н (28), мы получаем точке многкества Е и непрерывную во всех остальных точках интервала (а, Ь).

~Г( ) —,%я (х — (г' -л). Чтобы доказать зго, распологкпм точки множества Е в после- Значит, )'(х — ) =А. овгтечгность (л ) п ! 2 3 П)сть (с ) — пос гедовзтечь !0В Гх. 4 Неиргрмвнпсмь З ссрамкснсса соя 4.32. Оп редел е н и с. Прн любом всщественном с множество 3. Пусть 1' вещественная равномерно непрерывная функция всех венСсственных чисел х, такигь что х)с, называется окрсст- на ограниченном множестве Е а Рс. Доказать, что ) ограничена пастью точки ~ сз и обозначастсн (с, , 'со), Аналогично, лио- на Е. жсство (--со, г) называется окрсстностью точки — со.

4. Пусть 1--вещественная функция, заданная на (а, б). Дока- 4.33. Определение. Пусть вещественная функция )' опрезать, что множсство точек, в которых 1 имеет простой разрыв, делена на мсюжестве Е. Ефы будем говорить, что нс бо.чсс чем счспю. Уксюакие. П)ст1 Š— множество, на котором )'(х — ) - 1(х.; '). ) (1) — эЛ при 1 —. х, Каждой точке л множества Е сопоставим тропку (р, с1, г) рациональных чисел, так, что где Л и л прси~ажчежсст расширенной системс аешестнсннык чисел, сссш для л1обой окрестности с точки Л суснсс|вует окрестность Р (сс) ~(х--) .-' рС)(л лн), ~очки х, такая, что множество Г'() Е непусто и )'(1) С 1/ при всех (й) при и. д= 1 х имссм ~(1) р, 1Ер()Е', (ьвл..

(г) при х-с1«-.-.г:-1~ писем)(1):=р У я р а яг я е и и я 110 Гх. 4. Неярерьвнпгтн множества А и только в ния! что /(р) == ! в точках лгножества В и только в них. Тем самым установлено утверждение, обратное к теореме упражнения (О: каждое замкнутое множество А с: Л' является нуль-множеством для некоторой вегцественной непрерывной функции / на Х. Полагая показать, что !' и (г' открыты, не нсресекакпся и А ~ Р, В~ (1'. (Таким образом, каждое из двух непересскаюгцихся замкнутых множеств в метрическом пространстве может быть накрыто открытым множеством так, что и эти открытые множества не пере- :,"; ня, .л, °,.„'' ' „: ...' „: ...';. «;: ' "*" ';.,:„' л:.:: "*' ';.'ат, ',.~",„. '1.':.г,.-":.гк1р 1з.".нс",::,", !.,С ь Чн:;;.

:. ". ' " '"; '.д Г" '....;* (". '.,('т „'" „.'.'.;! !.......,,,":!", я'.„ ь:.".':':.".' "С:дЗ:!;; -:.".' '"-яя...'!!.'"./цн"-ял,-'сл гл ,з 'л, 8. Если Е с:.Х, а / — функция, заданная на Х, то суяеемиехг / ма Е называс гся функция д, определенная иа множестве Е и такая, что д(р) -=/(р) при рбЕ. Зададим в /гл функции / и д равенствами: /(О, 0) =д(О, О) — О, /(х, у) =- хул/(хг ! уг) у(т,/) хул/(хл ~/') при (х, у) ч'= (О, 0). Доказать, что / ограничена на /сл, что д не ограничена в любой окрестности точки (О, 0) и что / разрывна в точке (О, 0); тем не монсе сужения каждой из функций / и д на любую прилитую в )сл непрерывны! 9.

()усть / — непрерывное отображение метрического пространства Л в метрическое пространство Г. Пусть Š— замкнутое подлдножйс тво поо(тпагдгнтвб хв 1)()каза)11лн чтР л1(10жествп ( '1,Г) :,.л.,::..х 1"' я, !12 Гл. 4. Нсирераеносвм полным метрическим пространствомй Любым метрическим пространством? 18. Вещественная функция !", заданная на (а, 6), называется выпуклой, если !'().л '-(1 — Е) у) .'й!'(х) й (1 — е.) ) (у) при любых а~л = б, а -у г, О .. г,= !. Доказать, чзо каждая выпуклая фуикпня непрерывна.

Доказать. что каждая возрастаюшая выпуклая функция от выпуклой функции выпукла (например, если ) выпукла, то е' тоже выпукла). 19. Провести подробно следующий вариант доказательства теоремы 4.19: если !' пе равномерно непрерывна, то для иекото- Г~1АВА 5 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ раздела) мы оудем В этой главе (за исключением последнего разде.; ), и, определенными заниматься только в~ щестиыенньсчи функциями, о иа сегментах или интервалах. Это вызвано ие пр ооб аже~е просзо соо аже— при переходе от вещественных к векутор()озиач- Проивводнон вещественной функции 115 1л д дифференцировоние 5.2.

Тсорс ма. Пуето функ~1ил 1" определена на сегл~енепе (и. 5). Если 1' даффгренцаруела в точке хй(а, 6), то она непрерывна в этой пачке. Доказательство. По теореме 4.4 при 1 — ох мы имеем Р (Е) — У (х) — — — — — — —. (1 — х) — н Г (х) 0 =- О. Теорема, обратная к только что доказанною, неверна.. е1.ко Л построить непрерывные функции, пе дифференцируемые в изолиованных точках. В гл. 7 мы познакомимся даже с такой функцией, которая, будучи непрерывной на гсей прямой, не дпфференципуема ни в одной точке1 '-',',-.'"е" ":-".;:=',"-',е'., ':~.'м,е:;,,;" ев н...д,""Г ",;.

-'....::,.;..;„.-:-,-:::. 'Ф~'- *** Р:. '!,.';; "~ ''чь ц ~ ".'.111",„;,.;:., еивн те е ч' "=," "..л,н':-ее~~бе.щ! т;:, '-",.'.,.ере.:1-„-ео, ",н н.'л-",-;,:л,";:;-:,,;,, Ч,'тгн -,",:;- -н. ч .;,"-",.~~".'1"...,~', ;""; в-е;-;...., ~...:~;,:„-, 1**,.: ....,.«, Н',"'в са а," е а е Гене";--::;;"ъ-"у!р,', е, ', Г ы ч в % 'е „-ч1" н Прр н"';,' ев,.ес;, тн '..:,'-;,",:,; т"'„1"' ~ Ов """'Ч' ""н'е%, номе:,;"~ ';-'»о "'" н, „, ','„,~" '„',,"' О '„,'„екс' '„е„н" Следующая теорема дает правило дифференциронания сложной функции.

Более общий ее вариант встретится нам в гл. 9. 5.5. Теорема. Пусто ) непрерывна на [а, 6), ('(х) суще- ппв(1ст в некоторой гпо1ке х6 (а, Ь), д определена на свел~гном (, содервсонцел1 леноэнество эна 1енай функции 1', и и дафферен11а- руема в точке ) (х). Ясла 6 (1).— о" () (1)) (а <1< Ь), то Л дпфференцируелш в точке х и (3) 6 (х) — д'() (х)))'(х). е ' „', е' „," ' ",,"' 'П1 ' '" ', "1„;Во,ЪН'... 4 116 (9) Гл.

д. Дифференциревание Тссремы е среднем значении деление: прп 1 = 0 Ьш х б 1(х то П~) — ((о) О 1:--((-")- -. О. 1 — О с — х При 1 — эО это отношение ие стремится яи к какому пределу, Устремляя с к х, мы видим, что )'(х) ты О. так что 1'(0) ие существует. х -1~х+б, (Ь) Пусть функция 1" определена равенствами с' И1 — ) (х) — '---- — '- <О, 1 1 — х 1 хев(п- (хнаО), ((х)-:. ( ' х откуда следует, что Г'(л) <О. Зиа 1пт, )'(х) =О.

О (х == 0). ( == ). 5.9. Т е о р е м а. Если )' и д -- непрерывныс ввществвнныс Как и выше, мы получаем функции на сегменте [и, 6), Дифференцируемые на интервале (и, б), гпо сди1сствует точка х Е(а, б), в которой ыв Гл. Е ра4греренцгтопние !19 гг раеиев,ГГол италв (а) Если )'(х)> О лри всех хЕ(а, Ь), то (' лгонопгонно возра сгпаерь (Ь) Если )" (х) =О при всех х'„(а, Ь), то ( постоянна. (с) Если г"'(х) <О при всех х с(а, Ь), гпо (' л~онотонно убываеггг Док а пател ьст во.