1597389583-77efa643b8b6e15776de36435de667a4 (У. Рудин - Основы Математического Анализаu), страница 8

То, что все зти заклгочсния справед ливы, можно усмотреть пз равенства ( (х,) — ) (х,) — — — (л; — х,) ) ' (х), Правило Лопиталя бывает полезной прп вычислении Следучощая теорема часто пределов. 5Л3. Т е о р е м а. Оггсгпь г' и лг веге(есгггееннгг и непрерывны е г~нргервале (а, Ь) и д'(х) ~О при ессх хе(а, Ь), 'де — сю < а < Ь< + со.

ПгГсгпО верного для лгобоб пары чисел х„хе, лежащих в (а, Ь) при неко- () 3) -г-,— ("-'г)- — Л при х — э а. торогя х, расположенном между х, и хе а'(') ( )(л1 — ггб) . р Если (И) ) (х1 — О и гг(х) -т О при х — + а, 120 Глл я. дифференцирование диф~нренцирование векторновнанннк фцнкций Если в (20) устремить х к а, то, как показывает (15), можно найти точку с,ь(й, г,), такую, что (21) — (а -- х в го).

1() а (в) Итак, неравенства (1!)) и (21) показываютч что для тобого й, подчиненного единственному условшо Л й, найдется точка сое(а, й), такая, что 1(х),'д(х) т й, если и х(со. Точно таким жс способом в том случае, когда ои .. Л< :-.-' + со, а р выбрано так, что р и;, Л, мь~ найдем точку рос(о, о), такую, что 1И Тогда гтцеспщргт тонка х, лежац(ая жеждр и и )), пшкая, что (24) ) (И=-РМ) "„,(б)- (() ц)в При и- 1 зто утверждение превращается в теорему о среднем значении.

В оощюв сл)час теорема показыпаст, что функцию ) можно приблизить миогочленом степени п-.-1; равенство (24) позволяет оценить погрщпносзьь если известна всрхияя граница веонишны ()н(х) '. Дока з а тел ь от в о. 1!усть,И вЂ” число, определяемое равен- ством Лифференцирование оенепорноонииных финнииа 123 Гл. Гс дифференцирование Далее Переходя к общим векторноэначиым функциям, т. е. к функциям 1, отобраекагощим !а, Ь! в некоторос прострагктво )т". мы нсе еще можем применить определение 5 1 для построения Г (х). Теперь гр(!) в формуле (1) при кголдом ! является то игг4 пространства й', а предел в (2) вычисляется в смысле сходимости по норме этого пространства. Иными словами. Г (л) — -мо та точка пространства ех"' (если она существует), для которой (3О) )нп ~ —.-„-- — -- — 1'(к) . (к ' ! (Г) — г(х! 1 х и à — снова функция со значениями в )зз'", Если ),...., )н — компоненты функции 1, определенные в тео- гг'(х)=1-; (2х — -"-1 е» ' (0< х(1) х (37) так что ГЦ 2 )д'(х) ~> )2х —: — 1 > — — 1 л х (38) Значит Г (х) ! х = —,— — <, де(1), я' !х) ~ ' ив (3Р) н поэтому а ,2 ',';-"' ' ', ' - " .,ее,в „.,'„,1,,' а,' ",' ", ыхи„,~' ' .

:;-::м'-" к;"; —:~".ех:", и „",'-,.-',,"":.'-""',-. "Е ':„";-, ение, х х "",' ; у':.'-'- ~~о г;-'~): д;:!",.н Ви * Е -и и::,, '::-;; Ви * Е -и е не: и аи * Е -и тп.,' т - .Ви * Е -и и::,, '::-;;;.„-',и .;" * ',и .;" * ',и .;" * ',и .;" * ',и .;" * ',и .;" * ',и .;" * ',и .;" * -;; Ви * Е -и "..:е,„,'"'..";.'.';-~а.''Л'...", =.".-;,' ,Г.*':,"""".!;".' С."';„"""..СЛ.';В.' "Е:,'""'...Ч~ п.э.

';:„*",". ч! ~'-.„,":~о'. " -", "„,.'",:."' ',. '"~,:"~:-,-":-иь","Г.-;!,;*,.'хбх н':.'-„*:,";";..:"":~ „"...„,' ...;,'*;"'.-и -М„,'.",.:з;,'!С-'.„',"„К„П~'.- 1',,'»"е»," вр.дно.еа" "'...„, ""'»,«"„, "'' "'»'«„„,и""»*„„„Н, ;;, ','е",.* " *.ч "'Р(,'„."-;.;;,: „:::" - „-'ы "' .'" и' ~~,";"';-';Ф",~",'"', ':""',',~ е..." "- з;„",„-:",",', "*,"',;,.й ' ° „,'и','!э " '~~" '; . ф';.-""."",с." ''':' ";,"'.,;,'.

-...' '*'.1"';-.:,Ф; ~Ф' „'":-;,'.".1",'; г""та.*.эмзе '**:".„:."„."'.„.*,"...*,." , 'г;""".'."ф:"..'.:-',нс ..;"'""..*'* ' а --'**«н""""с**«'"-е '- " ' """. "г и- '"-.": "- -" "»**ос"'и**' "' ° ..; .:".":::". '*' * ехи ъ, ' " ' ', „,;',ягга" "щ', х1,***,~'",,:-„', Е:.'*;"' Г '„»' е;**;-~"",,т,:::е-.*„е:-,"'.„",:;,"и ".*"„*;-'"'.,:;.".; -з;,~ ';,;";-;: ~';.;„."';, '". р» Гя. й. ЛиФФсрсннироинис 1' а р а яр н с и и я По оиределенщо 5.!. оба выражения в скобках гтрегаятся к О, и так как последовательности (си) и (! ).„? ограничены, то вектор (44), а с ннм и (43) стремится к нулнз нри и —. го.

Равенство (42) доказано. 5.20. Т соре ив, !(ргрщ ! — ненргрывное ор~обрижение геггиента (и, ( ! в нрогпг)чгнпнвю Я', дифференднррвмое в интервале (а, Ь). Тггеда гьшеггивнет точка хг (о, Ь), такая, ~гно (45) Г(Ь? — ((и);:.=(Ь вЂ” а)'!'(х) ~. Доказательство. Положим 'В[.=-Ь вЂ” и, ~И=',Г(Ь) — ((а) и Упражнения !.

Пусть г" (х) — --;х'. Вычислить )" (х), !'(х) прн всех внцественных х и показать, что )'в'(О) ие существует. 2. Пусть Г определена нри всех вещественных х, и ~ усть ( Г (х) — - Г (р) '.-" (х — у)с при всех вещее~венных х и Гь Доказать, что Г постоянна. 3. Пусть Г определена в окрестности точки х, и пусть существует Г" (х). Показать, что 1вв Ъ»Р».сиги»я 1и? Гя. а. П»ФФгргкеЕ»роеание д у(х))-=т-,,—, (п.=,х=(й).

)'(')=--,— й(Р( --', й?> — '(х)) (й('(~) 1 1 7. Пусть Е'(х), й'(х) существуют, П'(х)ьа?О и Г(х)- п(х).=О Доказать, что ((п~ --— ? (Е) Г' (х) д (Е) я' (х) (Это верно и для комплексных фуш,ций.) 8. Пусзь Г'(х) «О при всех хе(ее, 6). До~ азать, что Г строго возрас?аст в интервале (и, й). Г)усть йг — ф)никия, обратная к Е".

Доказать, что д дпффсреицируема и что П1. Г)уетЬ и — Е.еадсетаспяая фуНКИИя ва )СЕ, ИМЕК»цая ОГраиичсииую производную (скажем, ~ е(' .< Л(). Зафиксируем е «О и положгое ) (х) .;.х - гд(х). Доказап. что ) взаи»ио однозначна, если число е: достаточно мачо, (Можио опрсдеси1ть множество допустимых е, зависящее лишь от Л1.) 14. П)сть ) дважды дифферсицируемая веьцествениая функциа ещ (О, оз), и пУсть Ма, Мо Ме — веРхиие гРаиицы соотистственио фуикппй Е" ',:Е" й ! Г", иа (О, со). Доказать,что й(;-'.-.:4МаИь Указан1ее. )(з теоремы Тейлора следует, что гть '.

Л ФФся' иному Указание. Прнме~ить упрюкненис 1б к разности двух решений. Заметим, что эта теорема единственности неприменима к задаче с начальнымн условиями р .рн:, которая имеет два решения: 1(л) =О и 1'(х) — х",4. 11мек~тся,чи другие решения 18. Сформулировать н доказать анало~нчн)ю теорему единственности для системы дифференциальных уравнений вида д; =Чз(х, р,р ), .Ь(н)е гз () =-1 й). ГЛАВА ИНТЕГРАЛ РИМАНА — СТИЛЬТЪЕСА Основным в эгой главе является определение шггеграла Рн !ЗО Гл.

6. Иненеграл Ринанп — Стильтьееа где* верхняя и нижняя грани берутся по вссч разбиениям Р сегмента (а. б!. Левые части равенств (1) и (2) иазывеиогся соответственно верхним и нижним интегралами Римана функции по сегмент; (еи Ь). Если всрхшгй интеграл равен нижнему, то чы будем говорити, что функция ) ингегрируема по Ричану на сегменте (а, 61 и писан ) С.Ф. (иными словами, лг' обозначает множество всех функций, интсгрирусчых по Римапу), а общее значение величин (1) и (2) будем обозначать 13! где М; и еп, имщот тот тнс смысл, что и в определении 6.1.

!!оложим, по опретелеиьно, (6) (6) где верхняя и нижняя грани берутся снова по всем разбиениям. Если левые части равенств (5) и (6) равны между собой, то их общее значение обозначается через Оаределение и существование интеграла Значит, (1!) Е(Р„1, о) <(7(рм ), о).

йчитая Рг фиксированным и вычисляя верхнюю грань по всем Р,, получаем из (11) (12) ~ ) с(о. "'(/(Рг, ), о). Вычисляя нижнюю грань по всем Р, в (12), получаем утверждение теоремы. 6.З. Определение. Иы будем говорить, что разбиение Р~ и г ! 132 Гл. б. Интеграл Римана — Сои~летаева 133 Разумеется, не произойдет ничего страшного, если переменная интегрирования будет написана, а в некоторых случаях даже удобно ее писать. Теперь мы исследуем вопрос о существовании интеграла (7), Не псзвторяя этого каждый раз, мы будем считать функцию )' вещественной и ограниченной, а функцию о — монотонно возрастающей на (а, р), и ес.чи исключена возможность недоразумений, мы будем писать ~ вместо ", Р~.

хх" " . . "'-'; -" »" '* '.. а'., „'. ч ** "ми вт -*"". * * ' г *"г;"".*:-за; ч ': '*.".**" '.ла ч,-'ег „-:-'с,*."-:;;*- *;;:-" *, ', л,.':...*о сн* г'-';,*.,-*еуч,'.*..*:,", *::-:*:-".„*.*'-. (на'*,,";*,.,'.*'.л'-:*' ', ~,,'. *:. *:, *-*;-';,*:* изс,-.*ах-*'.не,,„* 'а,,*.*. л '* ас ' н *",, *'*"„*. '"', ъ те ***,*."-';;*'-*; -"*,'д* *;;..2в '.,";*", **'.'* ',~е'*,"-;:,,*,.*,,;;"-;;хуе".1*а'*.,(а:,.*:!:;*:,л...'. *.*, - ' ьг,"улл *,,,;;;*,,"*';.*'а,л,*.".",их",'ч.,*,*.*.","*,'„,"*'..

дел;.*л:",;: та„с ~'*,.' '-',: '.л', ',*"'ХЧГ' ".тг ..'Л.; ": ') '. г)ел с'.; х;,', з",,"е!г:,' » *;';.* ".'" м"",;" (ч е.',': ' ° * ";* ' ' "~'" 1 "' ' '"" "Х й.' '"* ' "Гете ' ' " '-Д Оггределение и еуигеетвевание интеграла !35 Рл. ь. Интеграл Рамона — Стильтья а так что и (."(Р, ~, и) Е(Р, ), и) — "-- У 11(х;) — )(хг г)1 -г 1);(,И вЂ”,(,(а)1,, т, и )г(1г) Лгг; — ~ ) г(а 1< е ( Рбг) ' ", -,:,,*, '*:,х'е 'е*' л г ".::;, .;„,.есегг.„"::"' н ...„..."-.:".'-...,'."-.:" ':...,.

-. ",;.,".,:" ".,,"'.::.-'...:,:.: г ' ...," -. )гв ",.',;,.'-:".,'. ыр,.' "; ".,::,'г","т.... „не ., ч ... и'"глеб. - .. '.""-..-" ..: *."'.-'.,;„..." ""' ле ', л 6.7. Определепив. Для лгобого разбиения Р положим р(Р) — гоахбхг (1. г -.п) и назовем р(Р) дггалгетролг разбиения Р. 6.8. Теорема. Если фцнкг~гля 1" неггрерьвна на )и, 61, то )еЯ(и) на (а, (г). ()олее пгого, казьдолгр в~0 оггвечает такое д О. капо Это возможпо, так как фуикпия о непрерывна (теорема 4.23). Предположим теперь, что 1 монотонно возрастает (в другом случае доказагелксгво аналогично). Тогда М, 1(х,), гп, =-1(х;,) (г' —.1, ..., и), Гн!наделение и пняеетгаеатьг интегяала 136 Гл.

6. Интегяал не!мана — Стильтьега если )Егег'(о) и с — положительное числ!о, гио )ЕЯ(сп) и Ь Ь ~ )гГ (со) .— — с ~ 1 г)!!. П и Доказательство. Есчи 1=)ь-р12, а Р— !акое-нибудь разбиение сегмента (а, и), то (18) ь'. (Р, (о и)-ЕУ. (Р, (2. а)<У.(Р, 1", г!) е'(,'(Р, ), и) у (Р )1 о), (' (Р )2 о)' Д.слД(! 1, Г,'Ф(Я) !! (ь, !-ГЕ!'(Г!), Тй,,!ялбОМЬ ЧИГ,!у я,"аО. Птисчябгт Пос!,ольку )ЕЛ(п), существует разбиение Р-.-(лс, хо ..., Хь) сегл!щ!тя (и,!!). такое, что (20) (у(Р,,г, и)--( (Р,), ):82. Пус!ь М, и щ, иыся!т тот же смысл, что и в опредслешш 6.1, а .