1597389583-77efa643b8b6e15776de36435de667a4 (У. Рудин - Основы Математического Анализаu), страница 10

Указание. Проверить, что 2л 2л 2;! и ~ 1( ) сиз ох (х - ~ 1(х) ! (5!и х) - ~г ит () (х). уа ражиеаил ) (х) = ~ ьн~ (Р) гй ~ ) (х)~(х ! '.'а ло,": ч ;:-, гь; „::,-: ".:.,„... -;г:;:-:, "„"" дл-" ''и !"*,. Йг .,: .,:. и: ;а,'.;;",". гс л', '- » . ":" -".;"' и Гл. 6. 1 'наиграл Ри.иана — Стилет леса Доказать так называемый «интегральный признак» сходимости рядов: если )(х).-.«0 и Г монотонно убывает при х>~1, то сходится в том н только в том случае, когда сходится ряд '» )(н) ,. ~,, П. а..'г,.'.,', р,',:и;, '~"а с: !-"а "т „('.'Ва"." н;,',»и:" .

к",'е «а "*' Й с:;-';;1:,,'(и Примежпь упражнение 17 и проинтегрировать по частям 19 По зажим хч! (а) Доказать, по ',)(х),а-"2)х при х~б Указание. Положить 1«---и и воспользоваться второй теоремой о среднем значении. (Ь) Найти верхний и нижний пределы функции х1" (х) при х —:- со. ,:;;а»'.:В'.:".,'и:.;.::. л'и '«." ' ..: „',,:"и,".;:,з .1 ха ьл .-л . л Юю днако запсчаппя !а! глдвд 7 ! ип) (1) =- ) (х). спросить, верно ли равенство !иьч 1!тп 1„(т) — 1!гп 1ии („(1), ~п и..

! .с В этой главе мы уделим основное внимание коьшлсксиознач- ПОСЛЕДОВАТЕЛЪНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ функиии? Каковы соотпои.епии между, скажем, !";, и (' или между интегралами от 1',„и от 1й Непрерывность фупкции ! в точке х означает, что Зпачит, спросить, будет ли предел последовательности непрерывных фуикпий непрерывной фуикппей, это все равно, что Раономерная еходамоеель Ря. 7. Поаледооаяееяьноеоен ~~ ряди Ованнцелй !па и пасть (6) 0 (х =-О), 1 1-хь (л ~0) (7) ) (х) я ' Ь ("х) л л (! ).хь!н нл . ятт х~ н=о .=О Так как (я(О) =О, то и т(0)==0. Е'яд (6) представляет сумм) геометрическои прогрессии, и прп х~-0 эта сумма равна 1.1-х' Значит, 7.6. П р и и и р.

Пуст и (!0) )о(х)= и'л(1 — х')н (О.=х(1, я=1, 2, 3,,) Если 0 н-. х~~ 1, то 1ип (", (х) == 0 по теореме 3.20 ф). Ввиду того что 1я(0) = 0 при всяком л (11) !ип (н(х)=.0 (О<х(1). Простое вычисление показывает, что ! 7 л. 7. Леелестаеаясельнопли и ряды Счиннций !64 1)„(л) — 7 (х) ! = е (12) для всех л С Е. Ясно, что каждая равномерно сходящаяся последовательность сходится и поточсчно. Разница между этими двумя попячиясш заксночается в слсдукицем. Если последовательность ()я) сходсыся поточечпо на Е, то с)ществует функ~сия 7, такая, что для любого Роьномерния еходиньемь и неврерыаяаееяь !!нагла полезсп следующий критерий.

7.0. Теорема. 77рсагв 1йп )„(х) = 7'(х) (хЕ Е). Положим е»О и для любого хеЕ существует целое число (с', зависящее от е и огт х, такое, что (12) всяпочияется при а.:=(с'; если же д!н =- ьир'7, (л) — 7" (х) ' сходится раиюмерно на Е, то можно при каждом ь . О Тоедс4 )и — 7 Раин медно на Е в а1олс и свально в «юм случае, найчи адно целос число 7я'„которое будет годиться прп всех хб Е.

ко ди Л1, —.О ари а —: оМы будем говоритги что ряд ~7н(х) сходится равномерно Мы ис приводим подроснкно доказачсльства, так как это Равномерная сходияогть и интегрирование 1ГГ Гл. 7. Последаоательности и ряди Фрннцид 1бб Полагая в (18) 1 — л, получаем )Ао- Ао)<е В силу непрерывности функций т„и монотонности последст- при п > Л', ш ... Л', так что (А„) — последовательность Коши, нахальности, гг„) существует от к рыл ос множество у (х), содер- и потому сходится. Обозначим ее предел через А. жащсе точк) л и такое, что Далее, Доказательство. Пусть е О.

В силу равпоглериой сходимости последовзтельности ()о), существует такое Л', что нз и > Л', гп:= ЛЛ 1 р Е следует неравенство (18) ' Р- (1) — )т (1) ~ =— До к аз а тел ьст во. Положим До(х) = — )„(х) — 1(х). 1огда ла — нспрср|лвнзя функция, по — О и д, -,х иго,е Мы долл'ны доказать, что его †.н О равномерно на Е, Пусть е" 1Л Прп любом х р Е сущсствувг полос число л, такое, что >Ьн Г>ь 7. Ооследсоате.>омоете> и рндм фуннни» Раононернан сходимосель и инл>егрирооанне Су>цествует такое целое и, что (28) /)> (х) — )(х),-., >) (а==х б), так как сходпмосзь равномерна.

Зафиксируем л и выберем разбиение Р сегмента [а, б) так, чтобы имезь (2!)) . е Это возхкпкно по мореме 6.6. ,, „„г(,!ОСКОтЗЬКУ ((Х)) --,(а (Х) ' >)М ИЗ (2>);П>дтЕЕ ВЫтЕКаЕ). ЧтО При нз)чении последоватсльпс>с>сй интегралов вида (с)Ь, (>2 — !, 2, 3,,), где функция ) непрерь>вна, а функции г>л — ограниченной вариации на (а, (), обнару>киваетс, что равномернан сходимосзь последов;пельности (д„) к д — условие, с>це недостаточ>н> сильное, чтобы обеспечить равенс> во !7! !'л. 7. Пооледооотельноеоеи а ряды ерункцаа !7О Равномерная еходимоел~ь а оа44еренцарооанио Таким образом, числа ~ !'ду„образуют неограниченную последов;ыельносзь, хотя у„— е О равномерно.

Теперь мы сформулируем имеющийся здесь положительный резульаат, 7.16, Т с о р с м а. Пуси!ь (у.) — последоваепеьеьносепь 4унк!1~ш ограниченной вариации на (а, 6), и! ичсм д„!а) — - О, сс пусть у— такая функция, нп!о (35) ) )и! Г (!е-- уп) — О Равномерная сходимость и дифференцирование Мео уже видели в примере 7.5, что из равномернои сходимости ПОСЛСДОВатЕЛЬИОСтн (7о) НС СЛЕДУСт ДажЕ ПО7ОЧЕЧНОЙ СХОДИМОСтн последовательности ()„'). Таким образом, нужны более сильные пРсдположениЯ, чтобь! заключить, что 7";, )' пРн 7о — !.

7.17. Теорема. Пусть (!'„) — тследтсатсльность диф4ервнцируслкых функцш! на (а, й), такая, что послсдоваптльность (7„(хо)) сходится пуее неко!порол! х,с(а, й). Если последовап!ельнотпь ((;) сходится узавнцлерруо но (еб,(ь)е п)у и пдосг!сдави(пге!ьт !гЗ Рггвногтгнгнно непрерывные сеыгйство фаннцой к2 Гя 7. 77сслгдггватгяыггсвн н ряды функций Первое перавсиство в (40) показывает, что с~о(7)--(~о(7),а2 ь" ( ьД, л--й, поэтому (г(о) сходится равпомерио при 7 ~ х. Поскольку Щ сходцгся к 1, то, в силу (41), (43) !(п7 Чо (7) — ес (7) и равномерно иа множестве всех У, таких, что а:.-,'7:=. 6, (~х. !!римеияя к последовательности (г!о) теорему 7.11, заключаем и РассмотРим Расла 4"() и 4оат.

Если и) и, то их Разпосп-- четное целое; если и — ьи зо оии цельи., а их разпость равна 1; сслп и . иг, то между кими ис лежит ии одно целое число. Значит, ( О, если и ггц (48) ! Ч (4" (),о)-- Ч (4на ) Сосласпо (45) и (48), )(Ро:) — ! (ц, ) -- ЭО ', — '; ) (Ч (4Ъ.) --С((4н н.)1; 174 Гл. ?. Послсдовао|ельности и ряды фунлци~ 17$ Раоностененно непрерывные семейства функций тельность 1с)он(х)) бхдет сходиться при каждом хе Ее Это можно сделать с помощью диагонального процесса, который используется ниже при доказательстве теоремы 7.23.

Однако лаже в том случае, когда (/о) — равномерно ограниченная последовательность непрерывных функций на компактном множестве Е, не обязательно существует подпослсдовательностоо сходящаяся поточечно на Е. В приводимом ниже примере было бы затрудпитсльпо доказать это с помощью средств, которыми мы распо:щгаем в настоящий момент, ьо доказате.льство оказывается совсем простым, если сослаться на теорему из гл. 10. 7.21, Пример. Пусгь ~, (х) =-,--,--,',-'---,, (О:х<1, » =-1, 2, З, ...) Тогда ! !', (х) ~ '1, так что последовательность (го) равномерно ограничена на !О, ! !. К!оохщ того, )пп?о(х)=О (О.=.х.<1), 1 но (! „—, !.тоР;1.. и „,) 177 176 Гж 7. Пгггглггггаггг гпзг гггггггггг и Гяам 4ггпкг1ггп Рпппг гглепгпнп нГлппгггггынмг Гпмгаггппгг г/гЦнкйггй В (53) мы воспользовалпсь техг фаг'гож, чтгг ~гг пг с)зывные функции равномерно непрерывны на компакпгых мнггжссмгах.

Если хЕК, рЕК, г1(х /г/)-с 6 и и гз', то ,'/п(х) — /и(//)' -.'/п(х) — /м(х),'.1/т(х)- -/т(р) -1 /м(г/) /и(//),'.- г. Г1ослсдпее нераггспство н нг равенсз во (53) показывают, что утверждение (а) выполняется. Докангсхз теперь утверждение (Ь). 1.)е ограничивая общности, мы можем прсгтположз1ть, что комггакт К сггде/гжгзт бесконг.чнос число точек. Сначала выбсрсм в К счегнос подмножество Е, такое, чпг Г до тех гюр, пока одна из этих функш,"й пе вычеркивается. Таким образом, передвигаясь пз какои нибудь строки таблицы в следующую строку вниз, функпни могут переместиться влево, но никог„га не перехзепга~гзтся вправо.

Теперь мы спустимся по ди;поналн нашей таблицы, т, е. рассмотрим последов;псльность (54) г./г,г /",и /з,зг /.И Согласно (у) посгкдовзтсльность 5 (за исклкгчением, возможно, первых и — 1 членов) — подпоследопатс льност ь последовательности бгп п(ги и — 1, 2, 3, .... Значиг, пз (()) следует, зто после- !78 Гл. 7. П!аеледюеательнаета и ряды функций Теьрелш Са!ана — Вейерштраееа 179 следует, что Нви нужны некоторые сведения о порядке величины с„. Ввиду (56) Ч (17):-с Ч' (х) ' ' ' а из неравенства !~(ка ()„(х) ' ~ ~ )„(д) /, е, (1--.хя)не(т -2 ~ (1-.ха)" т(х р2 ~ (1 х!) (х, !то — 1 О О (й7) Ч (х)-':- Ч (1!7)-т ь, ' .

у (©б) и (В7), .. 2 1 (1 — их') е)х )) ' ) е( (Ц7) — Ч (х) ' ., е, Рл 7. е!оаледооательнооти и Ряды еРйнниии Пусть е)1=- еп!р 1" (х) !. Используя (59), (6!) и гот факт, что (1„(х),:е О, мы видим, что прн 0::"х... 1 ! ! Р„(х) — )(х)~ =', ~ 11(х+1) — )(х)(ГЭн(!) г((': -1 1 -.ь ~ !1(х+ 1) — 1(х) Аи(!) 1- =-; — ! -ь ь ! < 2У ~ ()„(() с!е р,, ) Ци(!) 11(+2Л1) Яи(1)!11< !В! Георена Стона — Вейерттраеоа ь Мы будем рассматривать также алгебры вещественных функпии; в этом случае в (!!!) речь идет, конь пн1, об умножении :ишь на вещественные с.