1597389583-77efa643b8b6e15776de36435de667a4 (У. Рудин - Основы Математического Анализаu), страница 13

а нрсгчне коордпнаты равны путно. Еспн х Е )г'", х = (г:,,..., .к), го х = д.'.лге,. Мы бУдем нашагать множество хг (ЕЬ, .., Ел) тггигигортНЫж ООЗГЮОЛГ ПЕОСПгрПНСПи;И Й'". 9.2. Творе вга. Пггстггь à — Гголольтгпгг.гьног' г<с.гос чиг.гсг. Если вскпюрнос протпринсгпао Х нстгпнряо на лгнолгсеггггйо, сгогстпон17(се гиз Г' ы 7 ГГЮ17ов, ГПО д!вг Х м Гз 9.3. Т е о р с м а. !1усгпь Х--вгтпорное просгггрпнспгво и дгпгХ- и.

(о) 11ротпрп»ство Х нгтгггзгн17 из и векпи ргж, й Гном и только: незивис имо. (1~) Х и.всгггг бизиг, и ко.гг:дьгг (Уг .. У согтав (с) Если 1 -. Г-:='п и пкг Х илгсси бозиг, в Доказательство яо но мнозеггяйо Е, сосгггонсг(гг' пю и гл1ггпс, когда мншео свао Е '1 бп:тс гтгггггиггт из и тсипгггггсй.

,) — — Нгзийиги иог' гяНСГГГСжнгйо й Л, 7 ОГПО)хгст7 йе011лГГп йс' ' йекпгорс( Пус.гь Е = (х,, ..., хи). Множеств» тгшеание преебг иагеинггн "'га Гл 9 Фггнкцгги нескюхькггх ггереиенных с :,,ь„ 'х , е ез -.,*. '""'*,*: . ' г е ы ф е-йч*'-Л г динеиныаш иггеритиипзги на Л' '). Если е1 --лпнсйньш с>ш разор иа Л, который (1) взапгшо однозначен; (й) отображает ггросграиство Х ни Л, называгот ибрашизшгш В этс>м случ:и на Х можно опредсегггтг оператор Л ', положив Л '(Лх) —.х при всех хЕЛ.

Очевидно, то в этом случае Л(Л 'х)==х при пссх хбХ и Л ' —,игнейш,ш оператор. Вагкггое свойство линейных о>>срам>ров на конечномсрных иск горшгх г ространсгвах состоит в том, чго каждое из усггопгггбг (г) и (й) влечет за собой друг'ос. 9.5. Теор с ма..')ггнсйгггггг' рперитг) Л на кюнечнозшрнош Згг>гстггг>г, что, вообще го>гор>г. ВАеьг!о' дажс в тол> случае, когда Л = )е — Е. (с) ггг>рзгогг г;!' операгора А(У.()с", Д ) назьпшется верхняя грань мпожеш на всех чисел ' Ах, где х пробег ает множество всех векторов иространстка К", таких, что ~ х ..".: 1.

Отметин>, чго ггерапснство ( Ах '.=.,') А ' х г ньшолнястся ири всех хе>к". Кроме того, если Л таково, что Лх'е ),.х при всех хай", то, А(,-.-),. ... 9„,7, . Т!го и с,м а .. (гг).,Е>' яг А,,бтегпиг(;:.нГ!ин>...::ся;:;;.„:,'.,:::1:,:,:,:т.;,,",,":,.г.;гн..4,.ии Ч2Е[ ни.[ рн 9. ерннкцнн а[теку[[».нк нерененнннк Лннейнн[е нрюбранее[анин Наконец, (с) следует пз неравенства ((ВА) х —.

В(Ах) =:.: В ) 'Ах .. 1( В!' ((Л ',,'х . ((моя н нрос[рансгв[1 Е (и'"', В":) метрику, мы можем Гсренссти иа что прост(1аос Гво таки[ нон5[ти[1, как неч[рср[1н1И[с Гь, Откр; 1[гх' мпг ксство и т. л. ГЬша еле,:[ую[цая .[еорсма использует' . ти ИОНЯТИЯ. 9 8. '('С срема. В[а~и[и И[--.чно[н[[н[но ессх ООГ[пьн[чых,п[нр[[- ных Оьерагчорм на .[ж. (а) Если А~2, [А ' = 1 а, В[-Е([к") и В --А' —. ([" ц, Г[ГГ[ Удобно представлять с[бе ати числа расположенных[и в г[рямоугольпуго таблицу из Гн строк и н с[олбцов, назьп[аемуго ма[рицсн: ап О,, ...Пн, (Л) О[ па ..г Пан О,н[ й,,„. ° ° Очна Заметим. что коорд[снаты аб вектора Ахт (по отн[[ц[сиик[ к базису (уо ..., ун,)) находятся и /чм стОл[[це м[1гр[пп,[ (А), Используя чту терминологикл можно сказать, [то мнон.сство значс- 227 диФгдеренцириеание 226 Гл.

ГЛ Фрикции неекелькик переменнык то из независимости мнсокества (х, ..., в ) следует, ч и так каь Лей(Р', гг'"), то ЛЬеГ'. Таггич образом, Р) сго — ~„'(:мп„(1.-:)г.с р, ! . г'<л). Норма, фигурир)чоигая в числителе дроби (5), -- зто норма проЭто паггазьггнгет, как найти магрицу (ВЛ! пз р строк и и столб- странства К", а в зпаменелсле — Й"-ггорхггг вектора )г. цов, зная матргщы (В! и (А!. Если мы определим произведение (6) В случае и =-! новос определение производной сводится (В! (А! как (ВА(, то равеисгво (3) описывает обычное правило к прежнему (см.

определение 5.1 и п. Гь!6). Преизво;исая Г (х) перехгггожения мат 1иц. определялась как вектор у Е К'" (если только он существует), 1(аконец, допустим. чго (х,, ..., хи) и (у,, ..., у„) — стандарт- для которого гпге базисы пространств тки и Я'" и что А задано равенсгвом (2). 1(л-, 'В) — Г (л) lи, уз С ункцпп ~гевтаюпх пгргиппных Лпуууувргвцирввание так что (1д) г (х) — у (1(х)) , 'Вп (х). Если е -О. то пз определенна преобразований Л и В следует что сугдествуют О~О и Ь >О, закис, что ,'у(у) ~ -'-'е ' у--у~.', если у — у„-т), и '1(х) 1(х„) "'11 при, х --.

х, -- 6. Значит, ~и(х) <в ~ х — х„) у .„': "„';-,.;; "р,с ' „"Ф,.„в' .'.ч '...в,:,,", г...':.:,': ""-,-"".-;„"", '...,"'и,'~ *"д °, „-".,";~;6 .„!-з,'., О ' ';Пдъ.,"..;,';:.) - ',"';;"(.ус "~.:~:,'Л.:"'-"„-"р..:;:; * '-::,"-';;а. ° .„':,- . ь; . "*: ' ь ° . ' .':,.*:;.;:;;; ',' .,ь ' -.; .,;:, „...ту им м:г з лт„ ~::т) "в' ч. Теперь мы репзим вопрос о единственности, которьш, возможно, уже возник у читатели. 9.11. Теорема. Т(дстпь Е и 1 ьчв схг, ппо в определении 9.10, х е Е и (5) вмполиягппся с Л вЂ” Л, и с Л Л., где Л;(-В(Тс", Г') (( !. 2). Тогда Л,=Л.

,!(ок аз а тел ьст во. 1'.слп В=-Л, — Л,, то неравенство ~В(т;.-)1(х Ь) 1(х)--Л,(1'-- 1[х ' (т) — 1(х) — Л,Ь, показывает, что ~ ВЬ'~' (т' — >О прп Ь вЂ” О. Отс~ода следует, что прн фиксированном 11~0 1 В ~!ьд1 ),.'„в Т ',,", д.!'," ';;"';,',и=;;: .::о,;*:".'„"з„; * из 'ъ,п; 'йь .пг,хр ь :;,:;"Ь.,'~ "ь:..'"и: ":.":": 9:. " 'вьу Теорема об обратной ерункегии 23о Ге. 9.

Фянккии неекоеоких переменных Отметим, по !'(х) е,— это)-и столбец матрицы !!' (х)1. Такихг образом. (Р;)",) (х) находится в еьи строке и )-лю столбце магри!и !!' (х)!. 9. 14. 11 р и м е р, 1)усть ! — дифференцируехеое епооражщпк интервала (а, (>) с: Я' в о|крытое множество Е е.:. Я", п)сть д —- диффсрснцирусмая всщсствсикая функция, определенная в Е (т. е. д-- диффсренцируемое соображение множества Е н пространство уоч). Положим л(г)- д(!(г)) при а(! .

о, Согласно правилу дифференцирования слои'пой функции, й (!) -ге (! (Г)) ! (!) (и ~)«.о. !) в сочетании с (16) и (18) показывает, что каждая частная производная Р,/; — непрерывная функция на Е. Для доказательства обраыюго достаточно рассмотреть случай еп — --1 (почему)). Зафиксируем х«Е и е ты О. !!виду того что 11иожесгво Е открыто, существует открьпый щар Ь' с центром в точке х и радиусом Г, целиком принадлежащий Е. 1!з непрерывности функций Р,) слн дует, что Г можно выбрать столь малым, чтобы иметь (19) (Р,)) (у) — (Р„)) (х)' ,- — ' (у «5, 1 <. (е и).

7"х 9. Функции веско!вник переменках '2зз 7еип<.н«< б 2<у и<он й функции (а) сггщесггевд<огп открытыс ленонсесгпва ( и 1г в простронсгпв< Рч", такие, нто а Е(., Ь Е Г, 1 сап!пино однозначно на Г и 1(ь') . 1'; (6) если д — оп!абразивное, айрин<нос к ( (оно сущсспев<геч<! согласно (а)), заданное в к' рггвснс<гевои и(Е(х)) х (х Е 17), гпо д Е Ж' (17). Записывая равеис<во у.=((х) с комовою компонент, мы приходим к с.цедуюгией иитерпрегаиии закгпочсиия теоремы: равеиспза гп — 7, (ло ..., хн) (1:<..

!'=-', п) Зафиксируем х«Е(У и рассмотрим открытый шар 5 с пюпром в точке х„радиуса г-. О, замыкаии! которого 5 лежит в (7. Мы докажем, что 1(5) сод!'ржит открь!те!е! шар с цгм!Тром в тс<ч!че 1(х„) радиуса ).г. с(тоо!,! сделать это, зафиксируем такой вектор у, что, у — -1 (х,) !- -.. г.г, и поло'ким ц (х) — у — 1(х) (хЕ5). Если х — х, —:г, то, как показывает (24), 2йг ' $(х) 1(х„) ! уй (х)-! гр(х,) = е! (х) +йг. 2.Д Теореми о мокиной еринкци ~ :;"'оы ;«о,„о,. " .М ек ' ил о .~-, 4 *кч 234 Ро. 9. корнкции неекоеькик аеременнмк С:огласив теореме 9.8 (а), неравенству (22) и нашему выбору' числа !,, оператор Г (х) имеет обратный, который мы обозначим чсре~ В. 1!рпмсняя В к равенству й - $ (х и- Ь) — ( (х) - Г (х) Ь Ф г (Ь), где г(Ь),~Ь! — нО прп Ь вЂ” эО, мы получим Вй= Ь кВг(6), или (2 ей и(у -ей) — и(у) =- Вй — В(г(Ь)).

Согласно (24), 2).~ Ь'.='й . Таким образом, Ь вЂ” 0 ирп й — 0 (что огноврехгепно доказывает непрерыгность отображения д ее тс)чке у) и В этом разделе первый элемент н (х, у) илп в подобном символе нсегда будет обозначать вектор пространства Й", а второй — вектор пространства йоч (!усть А Е 1 ()т'о"", ек"), и пусть (32) Л (Ь, 0) = 0 зкгнвалентно Ь вЂ” О, Заметим, что по теореме 9.5 отображение Ь вЂ .

Л (Ь, 0) есть лписннос взаилп1о однозначное отображение К' иа себя. Далее, прп всяком к Р В'н н Ь г Ян уравнение Л (х, й) - Ь имеет единстве н- ное решение. Действительно, супшствует такое х, что А(х, О)— ;„Ь.—...А го,. )с)...,т. с,. А.(х, й) — чЬ,и .э,.н еглун.,,,-,)е(х,иМ),.— ео Лн! хнчнВ)., 237 Хги содержап(пегя в Л, и пространства 1'о 1',, содержащиеся в 1', пшкиг, кто (а) ка кгг)ьш' х г Х едггнгтпвеннвси образол| пргдсгпаоггз1 в епдс х — х~ г х . едг х1~Хо х ГХг.' (й) кизлдсгй ур)' ег)пнгтвгнныд огбразом г редггьавпч в виде у ..

у, ', у,, еде у, Е)'о уаГ)'е; (г) Ах, — О при каждом х, г Л,„ (д) гцнггнпе пргойразовинпя Л на Л, — взаимно однозначное огпобрпнгенгге праггпранггпва Л, нп гпросгг~(1ггнгнг1го У,; (г) <)ни Л', -.—. г1 Ь и 1', .—. - г. Док а 3 а1ел и с г во. 1!о зеореме 9.;5 (г) ирос!гдауиство 1; г)кд!сейт ТееГнма а ранее 236 Гл. 9. ФГгнкиаа нееколькал нераиенннк ураг1исник~ (35), то (35) мюжно разреигить относительно х„..., ка при кажлом у, достазочпо близком к Ь.