1597389583-77efa643b8b6e15776de36435de667a4 (У. Рудин - Основы Математического Анализаu), страница 15

Теперь мы переходим к другому важному свойству преобразовании дифференппгльных форм. СО4Я„, Т ЕО П ЕМ а,Пц~лВЬЛ 7',Е,::,„"...:ьи!~,',„„,.;.;;.„:...,.. ЛиФФеренииальные формы 25; что ТС б ) Поскозьк) :::~Го*::'..".".„';игал*,*', т,'Ч*-'* *;*;"."'-нп*;.*-*Ьр*,ч '- *:.: „-'.','; **;***.*:*; *',.-' ил!;„:„:,Р~'" н* '*„*"...*,*"„.*:. ьзкдх! .'„:",::*;, ь":.*;*.*;"*,3;*","гс ',.'";***;-'...',*, .

* -"'*,**,*:;,-"~.*;*со.":.".з '-;";' *; *,,;:, г-;* Г:имплсксн и Пспп Ел. й. икннкнии нсскслькик псрсмснггих 256 сь =- ~ сгнь :;сь':„".г ~ „сн с,с„ " >; '„"'. „" 'г„:": с''ь:!;г ггт;г: ген гг":нигхс ...'„', си с С,с нк'дгс'о „"'„':" ~ ',, -'„;к; ' .„'„,',', нг 9.44.

Теорема. Пдсгпь ы ссгпь й.-форлга в открьггггом лгножеспгве Е с: Й", г!г есть Е-поверхноспгь в Е с лгносксствгглс паралгегпрон Ег~ Й", а гл есгпь Е-поверснггсть в Рк с гянпссествплг парамегпров (г, определенная тпк: Ь (н) =-и(ос сг). Тогда Доказательство. ((ам достаточно рассмотреть только случай го =-а (х) дхг г"х... гД дхйс Комбинируя две последние теоремы, получаем заклгочительиый результат этого раздела. 9.45.

Теорема, Писгпь Т есть К'-огггобрсгрксггггс открьппого мно'кгсгппа Е ~ Л" в огпкрггггпос лгнолггесгпво !' с: Рс', Ф есть й-поеерхносгпь в Е, и ьг есть (с-форлга с Г. Тогда ~ сог = ~ гьт т,ь а Д о и а з а т е л ь с т в о, ! !усть ! г — мпохкество параметров поверхности (Р (н тем самьвг поверхности ТФ). Оп!геле,кггм гг, как В„тспослГЕ,Чс44 „,!)ВГГмснггяч и ля,кнорр лги,,гг,сгс,и.-й'„...-„.-:-,-;пл.-..ьч с г' '" ",,'ь ' '",'"*" '"'", "*" „','" „" "„'," „' „','" „"д,гг 259 Гимплекпл и цели хз-~ — хлз х;„— х, л фк'""си 1 "„'.*' "„ я .

' '; л', мп,'1'.*!м,*а " ' ., ' *'а л .','.с' "рхд з д' ",'.,".е и,'.,';:-'."Г' ",':;:.~ ,дг..,"' ед О:;„.':",",„"Ф'м л' Г З, етеднкции неекплькик переменник 2ВВ л .. ник ) — перестановка множества, ) — и р г И), 1, , й), Где (ее, гл ..., 1д) — п р.

г мы будем лиса и О =- з (йп ~'О ..., ед) о, пая в п 'К22. 1'аким образом, О=.:ВО в:; .. - ~ О, какое из двух равеиств . = (% (ОО) (л ого говоря, считая и ВЫПОЛНЯЕТСЯ.. Р, И м п >аво писать О =-О точь ' симплекса о, мы имеет („) и равнялось 1, )е, хотя бы з (1я, Ь ' ДЕ'О ИЕ С Р'ПК'ПСТВОМ ь мы имеем З ": ",;., ";,;...;.,',,':.'...,,"","..': 'лес .'! е;:,.,Се:;+;-"„,.="-;д .„" .з ':Г,;:;;.'.,- .

':"-:" ",:е:",;:.е"*;*,;. где В лггиейиос отображеиие простраиства есд в пространство ес", определенное равенствами Ве; = рп — -рл Ве; =- р; — р;, если 1."- 12 Обозначая Ле~ = х; (1 с( <. к), где Л задано равелствами (92), мы видим, что столбцы матрицы (В) (т. с. векторы Ве,) таковы гсш вычесть из каждого сготбпз д и столбец то ип один из определителей в (76) ие изменится, и мы получим столбцы х„..., хд Π— х,, х,„, ..., хд.

Оии отличак1тся От сро(вртг ..;Ъ.;",'-'. ', ": З;".'» .:1 .;'; „",")з;„, ...";., Теорельа Стокса Гл. 9. Финкина несколькь х нерененннк лво Грснина дФ ориентированного й-симплекса Ф =.- Т(о) — это, по определению, (й — !)-цепь дФ =-Т(до).

П и — 1, 2, 3, ... гран~щей ориентированного п рямолинейПрп и =. ного й-симплекса и=-(рен й- . о=-,'р, р, ..., Рь) называется прямолинейная (й — !)-цепь до= т ( — !)'(ро, Р!-о Рт+ь ° ° Рь1. т=о Например, если о =- (ро Рь Рг) йп=1рь Рг) !Ро Рг1+ !Ро Рг1 — !Ро Рь!+(рь Рг1+!Рг Ро) ° Это совпадает с о обычным определением ориентированной гра т' 'л ° ,: г нль сьф'; ''л Очевидно, что дФ этому классу. Наконец, мы Ч'= ~~З ~Ф; как (й— (йй) принадлежит классу '6", если Ф принадлежит определяем границу дзр некоторой й-цепи !)-цепь дЧ'= ~ дФ,. 'ф",''...,'г"л ' „ь" "л 262 Гл.

й. Функции нееколькик нереиеннык У и р а ие н е и и я Если х=т,(и). зо (107) л, =-О, .т<=-=и;, для 2 < -lе. Если х — т;(и) и 2 </:=)г, то л;=О. Следовазел< ио, якобиаи а1<е, ..., <ь) <з0<<, „ин <) раж и ! для т<, и т, и равен нулю для т и ..., тк. Таким образом согласно теоремам 9,45 и 9.42 (с). Еще раз применяя 9.45, ь<ь< видим, что правую часть равенства (101) можно записать в следующем виде: м= ~ и<= ~ <ит. <<7 <ии т«и> ьа Таким образом, досзато и<о доказать, чзо (103) ~Н.= ~А ' ~) 0 и ьи 265 Упражнения Гл.

9. Функции неекаяькик леремьккик аы 4. Пусть (Г),() (х) ==0 при всех х из выпуклото открыто~о множества Е с: Й". Доказать, что !'(х) зависит только от х„...,.т„. Показать, что выг~уклость множества Е можно заменить более слабым условием, но что какое-то условие вес-такп требуется. Например, если и = 2, а множество Е имеет форму подковы, то утверждение может и не быть верным.

5. Пусть 1-- веп!ественная дифференппруемая функция на связном открьпом множестве Е с: Я", и пусть 1'(х) =О при всех х Е Е. Доказать, что ) постоянна иа Е. 6, Вычнс:ппь )'(х), если 1(х) ==, х "- при хЕЯ". 7. Пусть ) (О, 0) =.0 и при всех 1зЕКи (ср. с упражнением 1). Если пЕ)с" — единичный вектор (т. е. если и, ==-1), то предел (В„)) (х) !нп-, 1) (х-)-1и) — ) (х)1 ,. о назовь и производной функция 1 в направлении еектпорп и в елочке х Доказать, что (О„)) (х) —.= и (у)) (х) и что.

стало быть, для любоьо х ЕЕ сПцествует вектор и, такой что 267 З' «р а мк и и н и / Гс 9. <Ьннкячп льтнозьют п<рнл<сннмк жение (л, р) --: — (р, х) пространства )<<ч па )<' нельзя разложить в произведен«е двух простых преобразовании нн в какой окрестное<и начала. 1(айти другие примеры этого явления. !8. 11усть 1 — -то же, что в теореме 02!. 11оложнм Л -Г(0), 1, (х) =Л <1(х). Тогда 1;(О) — У. 1!оказать, что 1, (х) =-. <гн (д„< (... (П< (х))) в некоторой окрестности пуля, гдс <то ..., рн — простые отобра><.<чн<я.

Таким образом, мы получаем другуго теорему о разло>кенрпп 1(х) =-Лй„(пч < (... (<(, (х]!). 21. 11усть ы и л суть й- и ьпформы соответственно. Какова связь между ы~). и ).7<<<17 22. Доказать, что каждая й-форма ы в открытом множестве Е .. <<и может быть приведена к сп<инд«Оп<на.ч!<< виду <в-- ~,, а;;, (х) <(л< /',... 7',,<(х<„. < ."'= ..

зн ! 1!оказать, что <сли ы — О, т. е. если ~ ез-. О для всех й-поверх- (Р пост<и <1> в Е, то все коэффициенты в атон стандартной записи йл69 Гн и П и:н и е и л~ е Гл, у Функции нееколькик иере»ленных из' и ",,'''* ь *',';,' ,', в 1:„*.*.*л*:Ь *.* '*., ";,::"!*".,: * ~)л,*.',".*Р* *' *-,',* 'Ь.. с ',;"Ф'-.'с;.'-' .-:Гь:=.'!-;ч я'" д т л " ',*" я .-*.,- '-' ' ' г я, Этот пример показывает, чзо 77 -образ прямолинейной пепи вполне может быть «круглым», так 'ио те<»рема 9.50 применима к раз1илобразным множествам. 27.

Положить /;=-,'» в упражненип2Г> и воспользоваться теоремой (.такса для вычисления интеграла (хг(р 7», с(а-,'-(7е(х л', т(х+аг(х 7Д л(у) Вычислить при лт =-2 интегралы ~ хл(р — ут(л н ( хе(у+де(х (7) 11оказатгн что у~вержденпя (л() и (с) становятся ковер. ными, если ' -- пространс 1' -- ра ство Й'-', пз которого удалено начало координат, и если ц ил — с ни ы--- 29. Пусть »1з есть 2-поверхность в )т» с множеством параметров О, пусть гр(и, о) — (х, р, а). Иазовем нормалью к поверхности гтл в точке (и, о) вектор вто Га 9. Фунщик «гсксль«их а«я«иена««« о дивергенцни» 1'аусса ГР— ~ Р и ч'* где и=- Х~ Х ~ в ооозначенияк упражнения 29.

(с) Пусть Сй есть 2 цепь класса Ю" в множестве Е, и пусть à — д(!к Применяя к ы теорему Стокса, получить формулу ~ Г>ср=~ ГЕ Ф« г* где Р ! — «касательная составившая цод",,;Г,.;:,"...,;-,",к,"...:,,:„?„;,,;::;,,;;,,;.';,.;;.,-,:.::;— :;,;;;,!,,;,;.. 1 гллвл ]0 ТЕОРИЯ ЛЕЬЕГА Цель атой главы — изложить основные понятия леоеговой Г?оео!роение мери о?оггееа 2?3 Гл. ?О ?йупв .?,бьк! 2?' о=! о=! то мы имеем также и ! То ди при и — ь сь га",'»,я ,„а каковы бы нн были множества Лоь,г) (и —.- 1, 2. 3, ...).

Г!оскольку П А„=Л,— () (Л,— Ао). й Аоб.эдг, о=! если Я есть о кольцо. 102. Определение. Мы будем говорэпь, что гр — функции множества, определеннаи на Я, ес,,"иг„,,эс„,,кбж?доьэу ьэнрм.:бгтбу, Имел в виду вто неравенство. неотрицательные функции мно- жества часто называют мгяютонными. Наконец, (9) г( (А - - В) —.: г( (А) — р (В), если В~ А и )эр(В) (, сс. !0 3. Т ео рема. Пуегпь ц — снегино.иддитивния функция мно- жества, определенная нг! кольце Л.

Пггегггь Л„С Я (я = 1, й, 3, ...), А,сЛ,сЛэс: Авале и То. 1Р. Теория тебега 274 вне защ!симости от того, включается нли нет знак равенства в неравенства (10). Если Л вЂ” — 1, Ц ...!.)1о и этн прямоугольш!кп попарно не пере- Ес:() Ло, секак>тся, то мы полагаем ( 1 ! ) ба ( Л ) и ! ( ! ! ) + ! ! ! ( ! ) Обозначим буквой 1! множество всех элементарных подм жеста пространства 7тя. 'Геперь следует убедиться в том, !то (12) б — КОЛЫ[0, НО НЕ О-КОЛЬЦО.

но,я...,.. ия,1 Посо!роеяие меры !7ебега 275 Наша следующая цель состоит в доказательстве того, что каждая функция множества, регулярная на е~, может быть продолжена до счетно-аддитнвной функции множества, определенной па и колы[е сод! ржащем 10.7. О п р е д е л е н и е.

Пусть функция и адднтнвна, регулярна, неотрицательна и конечна на сц Рассмотрим счетные покрытия какого-нибудь множества Е с: )го открытых!и элементарнымн множествамп А„: Гл. 10. Теория Лебего 277 -'=;,;;",;т;',мове,.: Ьн,.сс ':, !Ь-"; жит множество А, что Х гс(А )-'=--г!'(А)+ ., о=! Регулярность функции р показывает, что множество А содер жит элементарное замкнутое множество Е, такое. что )л(г)~ >р(А) — в, а так как множество Е компактно, то Вс:Ас() - ()Ая при некотором И.

Значит, Следу!ощая теорема позволит цам получить нужное распространение функции р. ! 0.10. Те о р е и а. Уножвсгпвв 0)) (р) явяявслся о-колокол!, а срдс!нкс!сся р" гчвсгнео.аддис!авиа на Й) (р). Прежде чем обратитгся к доказательству этой теоремы, мы нзу шм некоторые свойства множества 5 (А, В) и числа ас(А, В). )(к!се!!: (24) (25) 5(А, В) =-5(В, А), 5(А, А) = С), 5(А, В) с: 5(А, С) () 5 (С, В), сн се лт ~,!.олен,,„Влт! е!,Вт, ~..и) а Гя. К. Теория Лейееа е Построение мери Ледега Чтобы убе' иться у 'д в этом, покроем п-ю точку множества А прямоугольником 1а, таким, что и! ((а) ( 2 "е. Но если мы б з ем уд с ~итать два множества А и В эквивалентными прп условии ((А, В)=О, то все подхеиожсства пространства Р' разобьются на классы эквивалентности, и В(А, В) превраптаст множество всех этих классов эквивалентности в метрическое нрдстпанствое Тог,р Я)е (и) Если А(',В.=.!, то р*(А()В) — --О.