1597389583-77efa643b8b6e15776de36435de667a4 (У. Рудин - Основы Математического Анализаu), страница 11

Множество Р) функций, обладщощсс тем свойол!всж1, что )е лет если )' еФ. (и — 1, 2, 3,...) и 1„— е!' равномерно иа Е, называе!ся 11пьноиерено эйл!кнр/пыи. Пусть Я вЂ” мнсокество всех функций, которые слуекат пределами равномерно сходящихся на множестве Е последовательносп1й элемснтов мнонества,Ф. Тогда йх' называется равномерном затыканием множества л(.

Например, множество иссх многочленов — алгебра, н теорему '. я: - ее, ';:т.',"л.ее "е е..че,:: ск!;", .:;:т' ',:ен 1:з,.*":11 11*о к! Тсопеяа стона — Всйср(итрасса 182 /(Л1) (1' ) (Х ) Се ,г((*'"':((' . " ".;, '.. с,;,т з:.,х*;. ( а: ",: "'.,. а...'.к,.!!.,(;., сг:. ( Га. 7. Посясдоватсяьмооии и Ряды Функ((ий рассяатрпваеиых, скажск(, на ( — 1, 1), (ак как ! ( - х) = )" (х) для каждой четной функции )'. Следук(иляя теорекга иллюстрирует зти понятия. 7.29.

Т е о р е и а. I! Псгпь Ф вЂ” алг(бра ()(бн(с((ий на дно.н,естис Е, зз ризделл('т точки и нс исигзиет т( В и(зной точке л(нозксс(1(са Е. Нуотп( х„х.— рс(зйи (нте точки л(нолссопса Е и с„с — посп(ояннь(с' (ВСП1('сп!сенн(лс, если (и Веи(егп(В('нная алгебра). Тогда Ф содерусигп функ((ик( ), пи(кр(о, ч(по и пусть задано число е > О. Согласно следствию 7.261, сугцеству(о( вещественные числа с,,, г„, такие, по г с,р( —,у~' ."(. ( — ае-р=.-а).

'- 1 Функция о . ~с с,)' входит в состав чвожгства зт, так как 1 за — алгебра. Согласно (63) и (64), мы имеет Е(.х) — ~(((х) ~ - в (хб(л). ! ад теиремн Стони — Вейергитраееи ее''' ' '' '''' ' ' ее''' Гл. 7. Пиеледаьительниетгг и рядн функций Ввиду того что К вЂ”.компакт, имеется конечное множество точек у„..., у„, таких, что (бб) К (;,() .. () („ер Г!оложнм уя = гпах (йь„..,, ггь ). Согласно установленному на втором шггге, дябггу, а из соотношений (6(1) — (бб) следует, что д, обладает и осгальпыми нужньгми с!байствами. с!стае(гтый шаг.

Пуегггь заданьг аещеетьенная функция 7.3!. Тео)гсхгг!. !)усть Ф--.ггглгг~соггрлгзвеыная алгебра колгалекеных неарер явных функггий ка колишьилн<гт многкестне К. 11г)егггь Ф ришгеяяеаг агочки лгноглгеггггаа К и не т'и'зиет ни в ггднгггг точке лгнго сестра К. Тогда равномерное зилгыкание Ю алгебры Ф сод!рысит ьсг коли!.гексныс непглерыьньге на К фуггкгггги. ллокзз атея ьство.

Пусть Фн — множесгво всех вещественных функций на К, принадлежащих алгебре Ф. Если г' Р ь). и ге = и+глц где и, ь — вещественны, то йи =-Гаргт, а так как йг.— самосопряжепная алгебра, то и ЕУ)п. Если х, Фхе, то существует )г ~ Ф, такая, что ) (хг) —.—. 1, )' (хл) =- О; значит, О == и (хг) нь 4-; гл (хг) =,-„,1и (гткУ) да,слйе=,)тйтлеч бом,,Ф,. !гайльсалЯей тг)й(к)г(ммннотжест ва К, ".~.,".." *у'Х-ЬХ ЬХ *" '.' ';.Ю'С 'те' г ;: " '.:,'."~е,"и'-Сг ! и Се г -;.;,:: '; Ьн,",:; г, '.и .;г; ни е .",ье*г::ь* .-, '.,'; ! У и р о ок и е и и л 187 188 Гл.

7. Пооледоооонельности и рядн фднкций ЕЗсякос компактное подмножество в йг (К) — зто равпохн рно ограниченное раввостспенно непрерывное множество функций, Обратно, замыкание каждого равномерно ограни ченного равпостепегп о непрерывного множества фупкпий из 0(К) есть компактное подмножсстно пространс гва 7о (К).

'=)то утверждение, по сущс— ству, — - псрсформулировьа теоремы 7.23. Теорсх1а 7.30 (теорема Стона — Вейерштрасса) может быть перст(х~рмулировапа так: егли УР— псдалгебра в 6 (К), риэделякт,ан точки л~нолееетва К и не исчетпоцая ни в одной точке лннооксотва К, то ийгебра Ф пиогпна в пространстве 'то(К).

Все зти замечания применимы такоке и к пространству всех затсльства того, что абсолютная сходимость (даже если она имеет место при всех л) не влечет за собой равномерной сходимости. 6. Доказать, что ряд * сходится равномерно не схюдпчся ассолютно ,.....,.....,7...,Положим....,........,.. на каждом ограниченном сегменчс, по пи при одном значении к. У я р и кя я г и и я Гя. 7. Поияедоеитгяьиаити и ряди функций 1аа (Ь) ди — О равномерно на Е; (с) и, (х) ='и(г. (х) =: ((,(х);ъ... при любом хб Е. Тогда ряд ~, )иЕч, сходится равномерно на Е. Указание.

Сравнить с теоремой 3.42. !4. Пусть ()о) — равномерно ограниченная последовательность функций, интегрируемых по Риману на (а, Ь). Положим Доказать, что Ип1 ~ ) с)ди--. ~ (г(р ° вЂ” ° о о 1 Заметим, что предположение здесь слабее предположений георемы 7.16. Укизаиие. Сначала показать, что Ь'(Е) <М. Далее, для любого разбиения Р:а=-хо(х,( ...

(х --=Ь имеем Еи (х) = ) ), (() гй (а -;; л .' (.) и Ь Ь я1 „',* оси" ",';~. ';"« " ' ',', 'и" ",о. ' ' '"," ", ок' ',"" —,,",.','-м ' ', " "-"; ' '., ' ' ' м ', " ","-'.;,о '.,";»,' ~ ", "х' ' ';,'"',"' ь, ""'о ';»". '.,",' 'ии"' Р,'-'' сг "»' 'Лги' ",;"- .""".';,'.: '-;," '-", и иб " ',*' ",;"- о',* н !сж 191 уравнению (Овбк <1) ) (еаа) = ~~; све'ве (О вещественно) Гогда ай разделяет точки множества К и не исчезает ни в одной гочке множества К. но тем ие менее существуют непрсрывныс 'сх .. о е"л, 7. Паслейсвааесльнасти и ряс~и функций т и ранснения пространство и что есорсмы 7.10, 7.14, 7.!7 и 7.23 верны для вскторнозначных функций, т.

е. для отображений в любое еск. к 21. Пусть К вЂ” единичная окружность на комплексной пло- 1(х) =-с —, ~ ер(К ) (1)),(( скости (т. е. множество всех г, ~аких, ч1о 'а~=1). и пусть .7) — алгебра всех функций вида :)та функция ) и есть решение наиной задачи. 23. Доказать аналогичную теорему сущесгвования для задачи с начальными данными -о у' гр(х, у), у (О) -- с, где теперь сбй', убй", а е) †.непрерывное ограипчешюе отобра Р,.,;,„;"',',''';"''*сна о е" л'' ех а"...м.с.',нл, , -...:; ...';.,: ".

а.а а»нх ..;-с„",„, е ид." ..*:;. ,ен'а,''',',''"" '','''"'',''',"'"",'*',*''*',,'„...',','";'"'',',,';'»';,'',*,''''д "','" ',','„1'' в :...,.и;,;,.: :'Ф„лег: 'с, л Х*' ,'~."„'., гх'„" ";,, ''й,"' л :0 о.'! «) '****::!Я'н*" Семяяянне ряды гйз ГЛДйЛ 8 ддд(зНЕйщИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ Степенные ряды В этом разделе мы изучим некоторые свойства функций Доказательство. Г!усть () %.г.()т'. Если ~х --.й — е, то )с,х"'(~сь(Я е)" б а так как ряд .ся(й е) сходится абсолютно (каждый степенной ряд ио признаку Коши сходится абсолютно внутри своего промежутка сходнмости), то из теоремы 7. (О слсдуст равномерная сходимость ряда (3) на отрезке ( — )с )-е, )т — е!.

Ввиду того что (' и,,! ц)))),(1...;,;,,;;,.:;.;,.;,.„,„',.:;:,;,,'...,,.„...я:...т.-„.„;и, Гтененнае ряда 195 Гллыа. Дальнейгигге сведения ив теории рядил 194 Замстилг, однако, что если даже функция гт имеет производные всех ггорядкогг, то ряд ~: с„х", колффициентгг которосо вычислены по формуле (7), не обязан сходигьсгг к )г(х) ни ггрп каком хсе О. В последнем случае ) пе может бьгть разложена в степенной ряд в окрестности точки х =. О.

Действительно. сели бы выполнялось равенство ) (х) = ~ а„х", то мы имели бы и!ан =- ) '"' (О); значит, а„--сн. Пример такой спт)ации будет дан в упражнении 1. Если ряд (3) сходится в конце промежурка сходиыостгг, если х ) 1 б, где 6 — лгобое достаточно малое гголожительное число. Отсгода следует (11). В качестве приложения докажем теорему 3.51, которая состоит в следугогцсмг. Если ряди ~л ал, ~ (г„~ с„сходялгся соолигепгсеггввнно к А, В, С и соли с„— ив(г,и ... +а„(гм ого С=-АВ.

ПОЛОЖИМ / (х) = ~. о,х". Л (х) = ~~Л~ (гьх", Ь (х) = ~ с„хн 4В т =. О =о ири Осх<1. Если х<1, то зти ряды сходятся абсолкгтно, и подлому их можно перемножить в соответствии с определеииен 1 еда Степенные ряди Гл. д Дильнейиеие введения из теории рядов 19б Теперь, сопоставляя (14) н (!5) с условием (12), мы видим, что каждая нз функций ), непрерывна в точке х„. Поскольку !)! (х) , '< Ь! при х ь Е, ряд (16) сходится равномерно на Е, так что функция д непрерывна в точке хо (теорема 7.11). Следовательно, ~~, а,е- — — ~ !',(ЛО) =Д(Л.О) — !ПП Р(Хо) = е=-! !=-! !.— ! о = !'пп ~о ),1л'о) —. !нп ~о У а, о-. !.! е-е» вЂ” ! ~=! васт, что оно возможно, если ряд со ! ) а" " (х — а) — о.

яа (18) сходится. Но (18), очевидно, приводится к виду ~ ( с„! ( х — а ( 1-, а !) .=о (18) а, ря !1о !!!,)и ех1) чит <,ял, ес ч !!,, 1Я, — — в,,а„,...!„,.',„а,,.„,~,йо,...„,„,о,„, !чз 198 Гл. 8. Дальнеегииие сведения иэ епеории рядов Бокавательная и лоеарпфл~ическая 4инкиии Мы утверждаем, что с(„=0 при всех и. Предполагая противиое, обозпачим через ее наименьшее пз иеотрицательиых целых чисел еп таких что !)ое -~ О. Тогда (23) ~ (х) = (л — х,)в д (х) (/.к -- х„! ( 17 — / х, !), Тсорема сложсппя показывает также, что где Таким образом, нам нужно доказать, что А открыто.