1597389583-77efa643b8b6e15776de36435de667a4 (У. Рудин - Основы Математического Анализаu), страница 12

Если хо ЕА, то теорема 8.4 показывает, что «и (22) !е(х) -- ~~~ е(н(х — х„)" (! х — хо'и )7 †, хо'). н=а Одно из ее следствий таково: (27) Е(з) Е( — г) --Е(з — г) =-Е(О) =. 1 (г комплекспое). Это по! азываст, что Е(г) ~0 при всех г. Согласно (25), Е(л) О, если х 0; (27) показывает, что Е(х))0 при всех всшсствеипыл л. Б силу (25), Е(х) — е 0 по при х . !-оо, а (27) показывает, что Е (х) — 0 при х — — с ~ вдоль вешествепиой оси. В силу (25), пз 0(х ."д следует, что Е(х)"- Е(д); пз (27) следует Е( — р) Е( — х); значит, функция Е строго возрастает иа всей вшцествсшгой осп. 20$ яоя фунлции Е(1) =- О.

Знач ит, из (38) отправную точ лягая и — Е(х. ку в теории ), о=Е(у), х гу))=.х+у :;-'с ~вь;-,,';,';-,';-,:;; .с,с,нь;,-,;-::г,;. ь,- рРя-:дс,: '-;-,'-,-,. 1: ...'.:, л.':,',-";:;;,,;.;, сУрч .о ияяг.:- -:-.' 200 Гл. и. ссольнейисие сведения иэ оиории рядов гсокоготельноя и лонсрссс(см инее На самом деле вместо (34) вполне можно воспользоваться Полагая в (37) л =О, мы видим, что равенством (35) для определения е'; равенство (35) — гораздо следует более удобная отправная точка для исследовасгпя свойств фупкгс иии е'. Сейчас мы увидим, что и (33) можно замени п более (39) Е(у) = удобным определением (см. (43)). Вернемся к обычному обозначенисо е' вместо Е(х) и подытожим то, что было доказано дг х жим то, что ыло доказано до сих пор.

Очень часто равенство (39) прссссссмакгт за логарифма и показа.сольной функпии. По 8.6. Теорема. Пссс'сгссг с " оссргес)с,гяесссся на слгг равенссноама по сучаем из (26) (35) и (25). Тогда Е (ссо) — Е (Е (х) Е (сс)) =- Е (Е ( (а) функция ел несс)герьсвна сс диухфсугенс(ссруе,иа о сообой Триюнаиетринеекие фрикции 203 Г».

В. Дальнейшие гвгдгния ив тюрин рядов 202 доказать равенство (44), исходя неносрсдстве|шо из определения производной, если ла определено, как в (33), вссьлш затруднительно. Хорошо известная формула шмегрнроваиия для х" следует из (44), сели и=,'=--1, и из (38), если и=- — 1. Мы хотим доказать еще одно свойство фупкиии 1о ' х, а именно (45) 1)ш х (огух — 0 к Ь» при каждом и .. О.

Иначе говоря, )о„'л' — '- — о» прн х-. +»к» «медленнее», чем любая положительная степень х. Мы упверждасм, что су[цествушт положительны~ числа х, такие, что С(х) =О. Действительно, пусть это не так. Из зого, что С(0) =-1, следует тогда, что С(х)»0 при всех х- О; значит, 5' (х) ) О, согласно (49). и, значит, функция у строго возрастает, а так как 5(0) =-О, то 5(х) 0 при х -О. Значит, если О.-х -р, то и (50) 5 (х) (у — х) «-. ~ 5 (1) г(( = С (л) — С (д) <, уд к Посзсдпее ~неравенство стсд»ст из (48) и (42) Но (50) .м г...л зов Гл, б. л1альяейиеие сеедемия иэ еяеарии редев Алгебраическая эалкяипо соп поля колийлекснеке кисел Если Е(48) вещественно, то х' — у" — О, а так как, согласно (48), хе+уе 1, то хэ уэ .- „, значит, Е(4Й) = 1. Тем самым (с) доказано. Если О -г,- 1, .

2л, то Е(И.)(Е(гу )! ' =Е(112 111? Ф1, согласно (с). Тели самым доказано )тверждсние о едшштвенности, содержащееся в (с(). 11)сть г,-=х,--, '1уо л( )-у — 1, х,>О, у,>О. На 1О, я~21 функпия С убывает от 1 до О; значит, С(1,) х, при некотором Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел Теперь мы в состояпшп дать простое доказательство того факта, по поле комплексных чисел алгейраичсски замкнуто, т. е.

что канкдьш отличный о1 постоянной лпогочлсн с ковппексными козффицисптавш имеет комплексный корень. 8.8. Тс о рема. Пусть ае,..., ио — кояялексныс число, и . 1, ао Ф О, Р (з) -- 2. пиэ'. Тогйп суи1сетпбусгп пинос колтясксв со с 4...р ог'Г и "руку е" Гл. В. Дольиеаьиие оведеерьл иэ ьле~рьиь рядов Ряды Фурье 8.9. О п р е д е л е п и е. Тртингмьегпричсскиль лгиогачлгнам называется коне прая сумма вида (59) ) (Х) — а„-',— ~ (ал Гпа ПХ -(М З1Г; ПХ1 (Х ВсщеетВЕИИО), о ! гд(' ао, ..., аь, Йо ..., Йи — ьомплсксньи' чпсла, Учить1вак тождества (46), фупкцп1о (59) можно записать и виде л Рхдьь Фурье е67 рядом Фурье. ((паче говоря, если мы знаем коэффпциеигы Фурье функции, то можем ли мы найти эту функцию, и если можем, то каку Изучение таких рядов и, в частности, проблема 11редставлеипя заданной функции тригонометрическим рядом, имеет своим Петаоо1ИКОМ таКПЕ раЗЛЕЛЫ фПЗИКИ, КаК тЕОрИя КОЛСбацпй И тСЬ! Ия распространения тепла (книга Фурье «спалитическая теория теплоты» была опубликовала в !822 г.).

Многочисленные трудпые и тонкие проблемы, возцикпцге при атом изучепип. вызвали осповательиыЙ пересмот!' и 1герестройку всей теории ф) пкциЙ веществепвои переменной. Мно1 ис выдающиеся имена, и среди и, „иььект Римчия, 1с'чнхопа,и, г(сб! ~ л, тесло, г вчллпы, г, испит 208 Гя.

8. ттиявнпйиие еведеиия из теории рядов Рядм Фирие то мы б)дем называть число с„п.м коэффициентом Фурье фуик ции 7 относительно системы (е~..и). Мы будем писать ) (Х) т Ся~(в(Л) (67) н будем называть этот ряд рядом Фурье фуикцпи ) (относительно системы (7я)). Замстикк что, у пот)ьебляя в (67) ие предполагаем о скодимостп ряда; этот символ означает только, что коэффициенты задаются равенствами (66). Слсдутопи~е творе мы показывакп, ч)то ьасуньде суммы пяда тсп как система (еебв) оРтоиоРмальна, и поэтом) — ),в —.

З с,„ув; — ~, с,иуи, ' " у,ву,,=- — 'с„, ' ~а у„, с, 1юслс ~иео выраекенпе;пвстпгает минимума тогда и только тогда, ко|да уо„— Ги,. Если в этой выкладке считать уч — то„зо мы получим ! ьх В. Дальнейшие сегдеяия шз тюриьг рядсе з Вто)!ой — ьь д р ох! 210 Первый из них называют лдром Дирихле, а ере йера. 8. ! 3. Т с о р е м а. ь')ри и =- О, 1, 2, ... ьииенль ып(гь+ !)2) я (27) ми (хг2) ! ! — сов(я- !)х (78) йя(х) .ь ! ! — сикх ь' Е) (.с) е(х =. ( (х (с) г(х = Ряды Фурье Иными словаъьи 211 (82) -' ())х)=-2 — ~ Г(!)Т)„(, — !)с((:- ! ~ р(х 0 ( Бс 'кдсзвис периодичнсх.тп всех учаиыьтюньих в итох! равенстве функций безразли иьо, по хакиму интервалу мы будем интегрировать, лишь бы его длина была равна 2п.

Ил)евно поэтому ! и равны ьшт!.грьлы в (82). 8.14. Т Е О р Е М а. ЕСЛИ !" Е ГГГ Иц.,( —,ет., )11,12, О „-...,ЬЭ;;,.;,-.т.„,,тип с!2 Гл. д. Гсалонейсиссс сведения сс«сяеории рядов Ряды Фирс с* при сколь угодно малом о -О. 11звсстпы несколько достаточных условий сходпмостн ряда Фурье; доказательства двух из них ггамсисны в упражнениях 9 и 17, 'с!ельня, очевидно, ожидать, я~о !«яд Фурье свобой фупкиии будет сходиться к зггвчспггкг этой фупьпгш в любой гочке. Действительно, сели зпа гния двух фуикипй отлпчшотся только в коночном мпожссгвс точек, то интегралы, опрсделякнцис их к оэффипиепты Фурье, будут одинаковыми, и, з1пгчит, такие фун~ щ.и имекп один и тот же ряд срурье, Здесь имеются трудные проблемы.

г!с известно даже, верно ггй*.;,ь..мвгт„,~;,дидик.сиг;„,нгди!!!го з)гучагдсе ттвсрждшшсс «для лк~бой Г!усть дано е.г О. Выбсрслг Л1 так, что ! !" (х) Р=.М при всех х. Ввиду того что фупюгия 1 равномерно непрерывна мы мож м в »рать б - 0 так, что из .т †!г' о следует жем !кд9) Согласно (80), мьг можем затем выбрать Л' так, чтобы из и:::; Л' и Ь <, '1 .=. л следовало (90) "4Л! У и р а ве и е и и я 214 Гл, 8. Даввией~иие сведении ии и~сании иваси и1е Сл е д с т в и е 2. Если функция 1" непрерывна и есмн ((х) е .3вв с(х.—. 0 нрн лк~бсии белове н, ено ('(л); 0 нро всех х. Это вытекает из слс"дствнп 1, если половкнть там йе- .О. 8.18.

Тео рема. Пустив функции )' и д непрерывны (н нериоднчны с лсрноднм 2п) и 0)81 ((е1, ~' е е~и» дГев, ч,, вгик Г!роианеденне в фи~ у(н!их скооках стремится к нулкв при и — со. согласно (96). Сравнивая (99) и (100), получаем (97). 1)аконец. (98) — это частный случай (1 = у) равенства (97). Условие непрерывности в атой теореме может быть значительно ослаблено. Окончательный вариант теоремы 8.!6 будет дан в гл. 10. Упражнения 1.

Пусте ~ е-0" (х ~ О), . су, а!6 Г.~ а. 11оянняйшнг сьнЗкния аз нгненн нядтя Ъ' я Р а эс и е и и я 6. 11усть ац — число, стояшсс в ~'-и строки и )-и столбце 12, ! 1усть таблицы О О О. — Р,,(~)/й (и 1, 2, 3, .). — --1 О О Доказать, что су шествует число С " О, такое, что — — — 1 О... Ен ° С 1о: и (и - 1, 2, 3..., ), Ф 2 или, тою.сс, что послсдовательаость 21в Гх. 8 Дилькьяжкь гвгдгккя пз теьркк рядок Указание. Допустим.

нс ья рзни ~ивагн обгкности. что ь =-О, х --0 и ) — четная (для нечетной ) положим к„(); 0) -- 0 и ( (О) -= 0). Тогда ) непрерывна в нуле, Вь бгргм Ь". 0 так, чтобы полная вариация функции ) на (О, б) была мала, проинтегрируем ио частям и применим упражнение 10, побы убедиться в малости интеграла ь ~ ) О) )д„(() ьН ь прн всех и, з ззтсл~ воспользуемся теоремой о локализании.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЪКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ~г Линейные преобразования )ту главу мы иачнелг с рзссынрсния множеств вскзоров взо Г л. СЬ Фцккггни кеекелвки» переменки» 2а1 '1 икг иные ппеаогазееакигг г,..., с, называются координатами вектора х по отношению к базису В. ((аиггопсс известным врвмером базиса служит множество (еь ..., е,), где е, — векгсгР пРостР яства Я", 1-Я кооР;шпага которого равна 1.