1597389583-77efa643b8b6e15776de36435de667a4 (У. Рудин - Основы Математического Анализаu), страница 6

Допустим, что ряд ~~ ап расходится, а„~ О, и пусть з =-а,+... +а„. Доказать, по (а) ряд ~~ †," расходится; 1+а„ (Ь) Ряд,'~~~ — '-' расходится; сп (с) Ряд ~~~~ —,"- сходится. вп Что можно сказать о рядах е ап у а„ 1+ лап ' ~- 1 т леа„' 12. Допустим, что ряд ~ а„сходится, рп ~ О, и положим с.п - '~' аш. странства Л'. Доказать теорему Ьзра, состоящую в том, что множество () 6, непусто. (В деиствительпости оно плотно в Х.) и=! Указание. Найти стягиваницуюся последовательность замкнутых окрестностей с.„, таких, что Еп с: 6„, и применить упражнение 1Ри 18. Пусть (рп) и (Чп) — последовательность Кожи в метрическом пространстве Л'.

11оказать, что последовательносзь (с) (рп, Чп)) сходится. Указание. Для любых л1, и имеем с1 (рп, Ч,) (е((р„, р )+ 1-г((Р, Ч„,) +о (Ч,п, Чп), следовательно, разность 1с((р Ч.) — с((р~ Ч~) ~' Гя. а. Чисяоиые иосоедооасиеяьиости и ряди при всех р, др Х. 11нымн слонами, отображение ~р, заданное равенством ср(р)-=рр, есть изометрия (т. е. отображение, сохраняющее расстояния) пространства Х в Х*. (е) Доказать, что ср(Л) всюду п,яотно в Л' и что р(Х) =-Л", если Х полно, В силу (с() можно отождествить Л с ср(Х) и, таким образом, считать, что Л погружено в полное метрическое пространство Л".

Мы будем называть Л" иоиояненнем пространства Л. 20. Пусп Л пространство рациональных чисел с метрикой с((х, р) ==-~ к---д ~. г(то служит пополнением этого пространствау (Ср. с упражнением 19.) гланд 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ Понятие функции и связанная с ним терминология были введены в определениях 2.1 и 2.4. Хотя в последующих главах мы будем в основном интересоваться вещественными н комнлекснымп функ- Ненрерывнне фчннцнн дб Гл. 4. Ненреривнеппь 1пп 1" (х) = е) х (4) и от и и пю лыса в еп!:и каинов ю~,'до то расстояния д», дт, конечно, заменяются абсолютными величинами или соответствующими нормамн (см.

п. 2.18). Следует отмочить, что р РХ, но точка р не обязана принадлежать множеству Е в предыдущем определении. Гюлее того, даже если рР Е, то вполне возможно, что 1(р) ~1)п1) (х). х- 7 Этому определению можно придать другую форму, высказав его в терминах последовательностей. 4.2. Теорема. Пусть Х, )е, Е, ) и р — гпе оке, чп|о и ы определении 4.1. Тогда и мы будем писать в этом случае 1'=с.

Если 1 и а — веществен ные функции н если ("(х). а(х) при каждом хЕ Е, то мы иногда для краткости будем писать ) =.: д. Лщ1логпчно, если 1 и а отображают Е в )»', то мы определим 1 )о н( и равенствами (1-; и) (х) =-1(х) 1 а(х), (1 а)(х)-=1(х) о(х), и если Л вЂ” вещественное число, то (ь1)(х) = 81(х). 4.4. Т е о р е м а. Пусть Л' — леметра и скос просгпранслпво, Е с: Х, р — предельнал точка мноясеспгва Е, ) и у — колвнлексные функции на Е и 1йп)(х) = Л, 1(гп ел(х) = В х *-р Тогда ед (а) 11п1 (7+ лл) (х) =- А + В; рл 4. Непрерывность 97 Непрерывные фцнклнн можно указать 6 .. (), такое, что единственной точкой х ~ Е, для которой дх(х, р) -6, окажетс.я х -р; тогда д () (х), ) (р)) = О с . 4.6.

Теорема. В ситуации, описанной в определении 4.5, предполаяеим, нта р — предельная гаечка мнткеетва Е. Ф)(нкиия !' непрерывна в тачке р тогда, и толысо тогда, когда !цп г(х) = ) (р). х р Доказательство. Это становится ясным, если сравнить определения 4.1 и 4.5. Теперь перейдем к сложшам функциям. Краткая формулировка следующей теоремы такова: непрерывная функция от непрерывной функции непрерывна. рь|впо в точке р, то сугдествует 6 л), такое, что дк (7'(х), ) (р)) .- е, если ~(х(х, р)(6. Таким образом, хЯ'(!), как только дн(х, р) < 6. Обратно, допустихп что множество ) '(Г) открыто в Х, каково бы ни было открытое хнюжество Г в У.

Зафиксируем р 6 Л и е ) О, и пусть à — множество всех д Е Г, таких, что др(йх 7(р))(е. Ч огда 1' открыто, а поэтому и( '(Г) открыто; значит, существуст 6)0, такое, что хб)' '(1'), как только дх(р, х) 6. Но если хб) '(1), то ) (х)СГ, так что дт(((х), ) (р)) е. Доказательство закончено. Обратимся теперь к комплекснозпачным и вскторнозиачпым функциям и к функциям, определенным на подмножествах г рос тра истаа 7х «. 4,,9....Т ехтря,мл..,,Г!хада!а.

7, и,, а,— иКОЛЦЧ«кханщ... нцаоЕагхан«н;г... Непрерьаноеепь и крмпакмнрсть Гл. 4. Неиререевнрсреь непрерывны на лх'", так как неравенство показывает, по в определении 4.3 можно положить 6 = е. Функции р иногда пазываезтся коорй~нелрпнылш фрнкааллпи. Повторное применение теоремы 4.9 показывает, что каждый одночлен (9) и' а Непрерывность и компактность ~ ~Т~ (х) — Т; (у) ~ ( ~ х — у ~ 4.13. Определение. Отображение 1 множества Е в пространство ес" называется ограниченным, если существует вещественное число М, таиое, что (1(х) ~ <М для всех х ЕЕ.

4.14. Т с о р е м а. Брсгпь )' — нсп1 спивное оепобратение компактного мепераческоео просигреенства Х в меп раческое простран- 1 ство У. Тогда л~нозсссепво 1'(Х) компакпюо. где п, ..., пл — неотрицательные полые числа, непрерывен в Й". Доказательство. Пусть ((е„) — открытое покрытие мноТо жс верно в отношенпи функций, отличакхцихся от (9) что все множества,! '(Г ) открытьь Так как Х компактно, постоянным множителем, так как постоянные, очевидно, непре 101 !оо Г'л г, Нгпрерыпнпспгь Непрьрывь<г<<пь и кпнпактнпсть Д о к а з а т е л ь с т в <г.

По < сореме 4.15 1 (Л) — ограниченное Доказательство. Пус«ь е)0. Поскольку гг непрерывно, и замки!пас множество втпсствснных чисел; значит, 1(Х) содер- каждой точке рЕЛ можно с<гггосгави«ь г<оложггтсльггос число <( (р), жит свою всрхнгою и паж!вою грани (теорема 2.28), такое, что 4.17. Т соре ма. 1!Н<то )' — и< ггр<угыянгге взаимно однозно«- (!6) если <!ЕХ, дх(р, <)) = <((!г), то дк()(р), /'(4))- нос опгао!гоз«снае кть<ггг<гнгггг<о, о .ятггрггчесьоео ггросггг! <<н< гпв<г Л ни гяетра«<юкос просгпринсглво 1'.

Тогда об(г<ггггное <ггггоб(«ох< ние )г ', Пусть У(р) — множеспн всех <!бХ, дггя которых <пргт!сз<'нное ни 1' р<и«'яств,н (1 ) ! 17) д.-(р Ч) -.— 7((р). )-(((х))=х ( ~ ), < есть непрерывное отображение ягнож<стви 1' ни Л. Поскольку рб.((р), семейство всех множеств /(р) образует Дока зательс гво. г римепяя теорему 4.8 к !" вместо открытое покрытие пространства Х, а поскольку пространство Х мы видим, что достаточно дог<аг<азгн гто !'(<<) — о«крыгое множекомпактно, в ием наидется конечное множество точек ро ..., Рп, такое, что с!В<!,я,,У' «лгя г,'„<!ж)ого „ргтхзг!1<цагй<! !1,Л;, гг!<нож(,ггг!гг, 1, ар<як!<1;=",...,ь<ь 103 Непрерывность и сеязпоать Гп. 4.

Непрериопость 102 состоящую из всех точек, удаленных от начала на расстояние 1, заданное равенством (24) 1(1)=(сгжд знП) (Оя 1(2п). Непрерывность тригонометрических функций (косинуса и синуса), так же как и их периодичность, будут установлены в главе В. Принимая эти факты без доказательства, легко видеть, что 1 — непрерывное взаимно однозначное отображение множества Х на К. Однако обратное отображение (ьоторое существует, так как 1 взаимно однозначно отображает Х иа У) не непрерывно в точке (1,0) =1(0).

Конечно, в этом примере Х не компактно. (г)1обопытно, что 1"' не непрерывно, несмотря на то, что У компактно!) (с) Если, кроме тово, мноясество Е ограничено, тосуи(ествует непрерывная на Е орункция, не явяяюецаяся ривномерно непрерывнои. Д о к а з а т с л ь с т в о. 1хопустиы сначала, что Е ограничено, так что существует предельная точка хе множества Е, не содержащаяся в Е, Рассмотрим функцию (21) 1(х) = — — (хР Е). Эта функция непрерывна на Е (теорема 4.9), ио, очевидно, не ограничена.

Убедимся в том, что функция (21) не является равномерно непрерывной. Пусть е О и б 0 произвольны. .2; '.:"" ","' е",:, ",","„'': ","' „':": ',"„"',':':;, ",'";„ое" ","';. -;е; '"„,., я..!.,хм!:..:„: .;;:;.„.","," "";;,*; . ре е:„".",'. "„,., я..!.,хм!:..:„: .;;:;.„.","," "";;,*; . ре е:„".",',.'*'".-*'А;,!:.'*'".-*'.!; '.::,! .'..: . "';„.-. -",~'.„.! о:,*.т в.„:.

о:*..*„.*.;;,, ',;*,.*.,**,'.„'*;,.'*;,:";:::".:.: .„; е':" ',...".,'";-„, - '.,~ '1'.::,' "'",: ".":„"„'",!.;:е,:,;" ",':.';:,,::." о".. 'ЬЗ рь.',"-:"!: Езо~:";о о".":";.::,"'",'.,',,!ь.'":,' ::„,; -„ь: „' 0~'„: ";,,'"; ' " ',,:. ь~;.Уо," ",...'",'," ' '„.'...," ' ' ' *';„';;„„'„;", .„,*';;.,"„'". Х;,"; „'"; ' ' ',.;Е...,,, ": ! ' ",о" ' " "',,; ';"',,', '..' "'' о;,: ) ' ':,:"';.;.,'".,ь'..

""'оь' *,.г." '.'-*'АК;!:.'.*'„'-*',!;',;,; ...: . ";, .'.,1 з'',:"'.;;.'';"...,'„;.'"'. о...',;.",',:,'.*'.'-". е;;;е',;"'...".,";, -.'.,'.";, -';, ",',"' ° „' .'6;"';"';е'.",;;; '. о,";!:.'.*'„'-*',:!;',:,;,'... *;.*, *;;"'.„'*,,'.,;";:;":' ";.".;,,: ' ";.".; .:,',„"."'*": .