1597389583-77efa643b8b6e15776de36435de667a4 (У. Рудин - Основы Математического Анализаu), страница 3

Пересечение семейства множеств (Е„) определяется как множество Р, такое, что х е Р тогда и только тогда, когда х Е Е при всех не А. Мы будем пользоваться обозначением (б) Р— й Е„, осл или (6) — й Е~и= Ег й Е:й ° . й Еиь т=! или Чтобы доказать зто, обозначим левую и правую части равенства (!О) соответственно через Е и Р.

Допустим, что хрЕ. Тогда хсЛ и хеВ()С, т. с. хеВ или хЕС (или и то и другое). Значит, хь.ЛйВ или хбе1йС, так что х е Р. Таким образом, Е с Р. Предположим теперь, что хсР. Тогда хеАйВ или лрАйС. Таким образом, лЕЛ и хЕВ()С. Значит, хЕАй(ВЦС), гак что Р с Е. Следовательно, Е =-Р. Пере шслим егие несколько легко проверяемых соотношений: (! !) А с А (,.' В, (!2) Л й В с А. ! л, 2.

Влслтнтн (ъ врио л(нвенеств зя д!сн!рнческ(н нрсстрвнстен !'.слп какие. нибудь два. множества Ев имеют общие элементы, то онп появятся в (17) более чем одю! раз. 01начит, существует подмножество Т лсножсства всех ноложител(,иых целых чисел, такое, что 5 — 7, откуда следует, что множество В нс более чем счетно (теорема 2.10). 1!оскосп,ку Е, с:. В и Е, бесконечно, то и В бесконечно, и поэтомч счетно. ! '! е д от В и е ~Хоп(/(пп( и ч(по 4! н( с(оле( не и с(((пно а,пно про каждом не Л мно;егин(о В не более чем счетно. Т)плотном Т - !)Вн. нал 1 веда л(нансен!во Т не более чел! счсщн(.

Действительно, 7 эквивалентно некотором) подан(ожсстиу Псх.троим пс(следовате.'п,нс(сть х след) (ощим образом. Гели и-я цифра г, х„равна 1 (соо! нстственпо О), то пусть и-я цифра в ь равна 0 (соответственно 1). ((седа последовательность в отличается от каждого . ссемспта множества Е хотя бы одним чле(юм, значит, ь ~ Е. 1-!о оивидно. что эЕЛ, так что Š— собственное подмножество множества Л. б(ы показа(и. что каждое счстпос поднпюл! ес(ск! ином ества Л ига!нет( и собствспн(юл пс(дмпо(ксс'(вом.

(д(едина(счч! ио, Л нссчс::: но (потому что в протню!ом сл)час А было бы свопм собствсинын! ;и(;!с! ножсством, что нсвозможпо1. 11дск привсдсниого доказательства нпервси в! юказал (хасстс(р. !акой мстод доказательства называют канто!нжссл!м диагональным и!лосссссос(, потому что если послсдоватслщюсти нп эн ...

распо- Гл. 2. Элеменгггы теории мноместв 40 Мегггрггнеснггс прссннранства Таким образом, каждое подмножество евклидова пространства — метрическое пространство. Другими ггрихгералггг служат пространства 'С (Л) гг,у "- (и), рассматриваемые соответственно в гл.

7 н 10. 2.19. Г) и р е д е л е н н с. 11од пншервалолг (и, й) мы будем понимать множество всех вещественных чисел л, таких, что ц -х<6. 11од гееггс глот )а, 1) мы будем понимать множество всех вещественных гясел х, таких, что а<х:-. )г. 11ногда мы будем встречаться с полупнтервалами (о, Ы и (с, Ь1; первый состоит из всех х, таких, что а < х - !г, второй — - из всех х, таких, что а -х</. Если цс<(гг П41))г,г'=,,1„...,,,йм,туг, хйи)ггсег твом вггхн тс. Цнн х (г)) Л1ножество Е замкнуто, если каждая ггредевгьная точка множества Е является точкггй множества Е.

(с) Точка р называется внутренней точкой множества Е, если она имеет окрсстносп Л', такую, что Л' с: Е. (1) Множество Е ошк)ылго, если каждая точка мгигжества Е ггвлястся его вну трс'ггнг'и точкой. (ц) Догголнггпггслг множества Е (обозначается символом Е') называется лгггггжсство всех то гск рс Л', таких. что р йЕ. ()г) Множество Е совгрпгспно, если оно зггглггнт го и если каждая точка множества Е является его прсдельнои точкой. (г) Мно.ксство Е оеранпнспо, если существуют всгцсственпосчисло Л( и точка г)ЕЛ', такие, что г)(р, а) Л1 при всех де 6.

()) Множество Е аггггс)у плотно в Х, если каждая точка лггго- ав Го. с. Эягмгнгии тгории мнохсгсто 2л!гтри ггснг2с прост ронсото чз Следствие. Конг !ног я!но!асс!!!во р2очгк нг нли гт про!!гло- х ч (,: 'Еи. значит, х ф Е„при всех а, поэтом> л Е Е', при всех и, пыл о!очек.

о тяк что х с() Е,',. Таким образом, А ~ В. 2.22ч 1(римсры. Рассмотрим сока! кяцие иодмиожсства проОбратно, если хРВ, то хЕ Ео при всех а, значит, хг(Е, при страиства й': вс! л и, поэтому х Ч () Е„, так что х С ( () Е„]'. Таким г2бразол2, В с: А. (а) лгпожссэво всех комилекспмк г, такпк, что,г («. 1; (й) миг2жсс2во вссх комиэскси!Чл г, таких, что )г): 1: Сг!Сд!2иателыю, Л В.

(г) искоторое конечное ли!ожег!во; (г() лгиг22ксстио всех пслык чисел; 2.25. Т с о р е и а. й!ном гоно;о Е он2кртгио ниогди и толоке (г) множество, состотпсс из чисс;! 1,и (и — 1, 2, 3, ...). трали, ког!Н! гго доноянгние згг.якн)!гио. Отл!с!ил!. чго иослсдпс(' М$И2жсстиО Е имеет предел! ит2г2 точку До к аз а тел ь ство. Сначала предположим, что Е' эал2ки)то. (а итси!СО г — О), ио иикакоя точка множества Е ис яиляс!ся сто 1222бсрсл! хС- Е.

'1'огда х-'Е' и х ис является предельной точкой Гв. е. Элемент!в о!верни множеств Компохп!нме множество 45 г=п!!п(гч, ..., го), и пусть Л' †окрестнос ~очки х радиуса г. Тогда Л' ~ 6; прп !- 1, ..., п, так что Х ~ Н, и множество Н открыто. Переходя к дополнениям, мы выведем (с1) из (г): Доказательство. Допустим, что Е открыто относительно а по теореме 2.25 множества Е„' открыты. Значит, из (а) следует, что множество (2!) открыто, так что множество () Е„замкнуто. а и Теперь по,чожнм Н вЂ” — () 6ь Для любого х с Н существует е=! глсрсстность Л', точки х радиуса го такая, !то Л', с: 6, (!' .—.1...., и). Положил! же угпехом можно отнести к 1'. Для полной точности мы будем говорить, что множество Е ослкрьга!о оспногагпельно У.

сели каждой точке р р Е отвечает чис.чо г ) О, такое, что с! с Е, если с((р, с!) <. г и с)( У. Пример 2.23 (д) показывает, что множество можс.'т быть открытым относит!льна У, н!.' будучи открытым подмножеством пространства Л. Однако между этими понятиями имеется простое соотношение. которое мы сейчас установим. 2.30. Т е о р е и а.

Т!!с!ги!ь 1' ~ Х. !!одх!ножггг!!по Е мнажогспоа У огпкрыспо огиносагагльно 1 гиоеда сс гчолько июи)а, когда Е =.— У П 6 для нгкоиюрого о!пкропиого иодяноегтс и!ос! 6 гсросгирангигоа Л. Кгичиинтингнг мни нгг!пги 47 46 Гл. 2 Эзгмгнггии теории мнемгхти у!сио, что ка>кдог копечпос миожсство комиактио. С1~исство- 2Д!4. Т сором а. Ких~цггкгиньге погьииоигсгпна мси риисских ваиис широкого класса бсскоие шых компактиых мпожеств в будет следовать из теоремы 2.41.

Д и к а з а т с л ь с т в о. 1!усть К комиактпос подхиюжество Мы заметили рапес !в п. 2.2!!), что если Гс 1'~Л, то ки!о. мстри и-сього пространства Л. й!ы докажем, что допилив~пи миожсство Г москит быть открытым отиоситель~ о 1, ис будзчи от- жсства К есть откр|~тес игыхи|откествг~ простра»стив Л'. крытым отиоситслшю Х. ( войстио миожсства Е быть открытым !!редположим, по рРЛ'.

рй К. Если с!Е К, зо пусть !гч и !!"и— зависит, таким образом. от простраиства, в которос оио пгя руже~в. окресыюсти согпве~ствеиио точек р и д рачиуса. меньшего ! о >ко верио и в отиошси1ш свойства множества бып, зимкиутым. Однако, кш' мы уи.дим. комиактиость--более удобиюе поия- и тшь Чтобы сфоризулировять слсдующ! ю теорему. мы будем 1!виду того что К вЂ” компактигь иа!!дстся конечный пабор .. говорить времеиио, что миожсство К компактно отиосптсльпо Л, точек гй, ..., гун, прииидлсжащих миожсству К, таких, что сели в~л~отиеиы требования опрсделсиия 2. !2.

Кс: й'...,!!... !!В::и !Г. 49 Компактные множества Гл 2. Элеменпгы теории множеета такой, что Кг ~ 6, Ц ... 1) 6, . ?1о это означает, чго миоекес.гво г ''' и' Кг г ) Ка () ° ° ° П Ко„ пусто. Мг.г получили противоречие с условиями теоремы. С л е д с т в и е. Если (Кп) — ггсгс.гсдсгвапгельносгггь нсегрспггнх компакгпных лгнооксстпв, тикая, нпкг Кп:л К„, (и =-!, 2, 3 ...), пго и мномссство Д К„нсггрсгпо.

и=.! 2.37. Те о ре м а. Если Š— бесконечное пос)лгнонсссгпво колгпиачп ново мно.кссгчво К, ггю Е имссгп ггрсдсльнрго тогк!г, принидлсски гг!ггго К. всществсиныс числа х,: (1.е..1.. й), такие, что 1!олагаях*=(х,"..... хн), мы видим, что х" Е(„при и= 1, 2, 3,.... Теорема доказаиа. 2.40. Т с о р е м а. Лкгбсгя й-мерном клетка колгггикпгна. Д к за тельство.

Пусть ! есть )е-мерная клетка, состоящая из исех тсгчек х =- (х,, ..., хг,), таких, что а,.:,.х,- (1:= 1, )г). Пололоог и й — "' (л ((гг — ггг) г Гл. 2. Элементы теории мноечестл Сооеремемнои мноооеотом (с) каждое бесконечное подмножество л~ножества Е имеет предельную точку, принадлежашую Е. Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если (а) выполнено, то Е с:. 7, где 7-- некоторая й-мерная кл~ тка, и (б) следует из теорем 2.40 ге 2.35. Теорема 2.37 показывает, что (б) влечет за собой (с). Остается доказать. что из (с) следует (а). Если множество Е нс ограниче|ю, то опо содержит точки х„ такие, что / х„( > и (и = 1, 2, 3, ...) Множество 5, состоящее из этих точек х„, бесконечно и, очевидно, не имеет предельных точек в Рс' и тем более в Е.

Совершенные множества 2АЗ. Т е о р с м а. Пусть Р— непустое совершенное множество в й(". Тогда Р несчетно. Доказательство. Поскольку множество Р имеет предельныс точки, оно должно быть бесконечным. Допустим, что Р счетно, и обозначим точки множества Р через х,, х,, х„.... Мы построим последовательность окрестностсй ()е„) следующим образом. 11усть Г', — какая-нибудь окрестность точки х,. Если 1', состоит из всех у рЯ", таких, что ~ у — х, (г, то соответствующая замкну~пал окресптость )г, есть по определению множество всех уЕД", таких, что )у — х, (: г.

(Как и н теореме 2.21, легко доказать, 52 Гл. л. Элвмвногы теории мноэевоо>в Продолжая таким образом, мы получим последовательность компактных множеств Е„, таких, чм> (а) Е>~Еэ зЕэ~ ((>) Е„ есть объединение 2" сегментов, длина каждого из которых равна 3 ". Множество Р— -- () Е, называется множеством Кантора. Мно»=.г жество Р, очевидно, компактно, и теорема 2.36 показывает, что Р непусто. Никакой интервал вида где й и т — положительные целые числа, не имеет общих точек С.вяэяив множества рсмы 2.33): пространство связно, если оно нс является объединением двух непустых неперссекагощихся открытых множеств. Первая часть утверждения. набранного выше курсивом, почги тривиальна: сслп Е не является связным относительно Х, то существуют ящожества Л и В, обладающие свойствами, указан>>> гэггг в определении, и рассмотрение множеств Л() Е и В() Е показывает, что Е не связно от>>с>ситсльнг> Е (ср.