Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования, страница 6

!(+0)/2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОВРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА !ГЛ. ! этого вместо функции 1(1) затухающую функцию е "г)(1) с параметром х > 0 и составим для последней спектральную плотность, которая теперь, конечно, будет зависеть от х. Обозначив ее поэтому через Р„(у), мы будем иметь У. (у) = — „~ е '"' (~ "Ч (1)) с(1. о (2.3) Очевидно, что вследствие очень быстрого убывания множителя е "' при 1- + интеграл (2.3) сходится для всех ограниченных функций 1(1), причем даже для таких, которые возрастают в бесконечности так же, как показательная функция е"'(а > О), если только выбрать х > сс '). Следовательно, вводя вместо функции 1(1) функцию е-"г((1), мы устраняем расходимость интеграла (2.1) для всех практически встречаюшихся функций. Спектральное представление (1.10) будет иметь теперь следующий вид: ~ е-зг)'(1) при 1>0, 0 при 1<0.

ез „у у (2.4) Перепишем формулы (2,3) и (2.4) в несколько ином виде: — ~ е-м+гзн ) (1) ж = У„(у), е + ОО вол+на гг (у) г(у Г ( ) 1 ' (2.6) (2.3) ') Умножение функции 1(г) на е™ в случае первоначального промежутка — оо ( Г (+ею не привело бы к желательной цели, так как множитель е-"' при Г-ь — ао резко возрастает и поэтому даже ухудшает сходимость интеграла при à — со. ') В технической литературе часто вместо з применяется буква р. Это обозначение заимствовано иэ исчисления Хевисайда, которое при его применении к дифференциальным уравнениям приводит к такому же формализму, как н преобрааованне Лапласа. Однако у Хевисайда буква р означает ие переменную, а дифференциальный оператор х). Хевисайд взял букву р вместо хт для того, чтобы избежать путаницы с диэлектрическим смещением, обозиачавшимся им буквой 1).

Так как в математике при одновременном рассмотрении двух переменных принято применять для их обозначения две со- Мы видим, что в эти формулы параметр х и частота у входят только в комбинации х+)у. Следовательно, сама собой появилась комплексная переменная, для обозначения которой можно использовать только одну букву, Взяв для этой цели, как это принято в математике, букву зх), мы будем иметь з-х+1у. э з) интеграл лапласа и вго физическим смысл 27 Очевидно, что функция Р,(у) зависит от этой комплексной переменной, поэтому целесообразно ввести обозначение р. (у) = р (х+)у) = р (з).

Конечно, переменную з следует ввести вместо у также в формулу (2.6) в качестве переменной, по которой производится интегрирование. Так как в формуле (2.6) у изменяется от — оо до +со, в то время как х остается постоянным, то в = х+ )у будет изменяться от х — )оо до х+)оо. Такому изменению переменной в соответствует в комплексной плоскости перемещение вдоль вертикальной прямой с абсциссой х (рис. 2.!). Наконец, с целью обычного в математике нормирования заменим функцию )(() функцией 2п(((). Тогда, имея в виду, что йз = )'йу, мы можем переписать формулы (2.5) и (2.6) в следующем окончательном виде: Ю )г е-'Ч(г') Ж = Р (в), (2.7) е г ( Р(С) при У>0, егер (з) йв = (2 8) Рис 21 Комплексная 2п) 3 0 при Г(0.

переменная з-х+)у. х-)ч Интеграл в левой части формулы (2.7) представляет собой не что иное, как интеграл Лапласа. Формула (2.8), если отвлечься от ее смысла как спектрального представления, называется обращением интеграла Лапласа, Из сказанного выше вытекает следующий физический смысл совокупности формул (2.7) и (2.8).

Если в функции Р(з), определяемой интеграла,ц Лапласа (2,7), рассматривать аргумент в как комплексную переменную (в = х+ /у), то Р(х + )у) при постоянном х будет спектральной плотностью затухающей функции времени е хг)(г), для которой круговом' частотой является переменная у'). Функцию времени седине буквы алфзвита (напрнмер, х и у или и н о), то для обозначения аргумента функции с" естественно взять букву з, поскольку аргумент функции ) обозначается буквой й Пользоваться из исторических соображений бук.

вой р тем более нецелесообразно, что теперь ее обычно применяют для обозначения положительной постоянной. ') В технической литературе переменную з иногда называют комплексной частотой, что с физической точки зрения не имеет никакого смысла и только затемняет действительную сущность этой переменной.

В самом деле, во всех случаях может идти речь только о вещественных частотах, которые определяются значением !гп з = у. Величина же Вез = х представляет собой параметр, определяющий затухание е-"' функции )(Г). ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА (гл. ! )(г) можно построить по спектральной плотности Р(з) при по- мощи формулы (2.8), Однако если эту формулу понимать как спектральное представление, то ее следует переписать в виде ( 2пе-хг)(0 при г>0, ейлР (х+ /у) йу 0 при г<0, (2.9) т. е. рассматривать как спектральное представление функции 2пе хЧ(() (дополненное нулем длл отрицательных значений вре- мени) .

Перенеся множитель е"' в левую часть, мы получим (ехге)вг) Р (х+ )у) ау 2пг'((). (2.10) Эту формулу, являющуюся спектральным представлением функ- ции 2п(((), можно понимать как суперпозицию нарастающих колебаний е те)вг, что, однако, менее наглядно'). й 3. Некоторые свойства функций, получаемых из интеграла Лапласа. Примеры Если при каком-либо значении хс параметра х спектральная плотность затуха~ощей функции е "'((() существует, то из физических соображений очевидно, что она подавно существует и при более сильном затухании х >хь.

Математически это означает следующее: если интеграл (2.7) при з = хс+ /у сходится, то он сходится также при з х+ /у, где х > хс. Отсюда можно вывести заключение, что точной областью сходимости интеграла (2.7) является полуплоскость Кез> 8, так называемая полу- плоскость сходимостю Следовательно, функция Р(з) = Р(х + /у) представляет собой бесконечно большое число спектральных плотностей, а именно бесконечно большое количество функций е и')((), для которых х > р.

В физических приложениях функция г(() часто бывает вещественной (ио не всегда — вспомним, например, функцию ((() = — е)""), В таком случае Р (з) = )г е зт) (() сИ = )Г е зг( (() г(2 = Р (з), ~) В электротехнической литературе иногда утверждается, что формулы (2.8) и соответственно (2ЛО) представляют фуикцяю г(г) квк суперпозицию затухающих колебвиий. Такое утверждеиие было бы правильным тольковтом случае, ясли бы параметр х был отрицательным. Но тогда ие было бы пиявкой иеобходимости вводить иигсгрвд Лапласа, гвк ивк при отрицательном х схсдился бы уже первоивчальиый интеграл (2.!), э 3! сВОйстВА Фу!!кцпп, получлемых из !ПгтеГРАлА лАплАЕА 99 т. е. значениям переменной з, являющимся взаимным зеркаль- ным отражением относительно вещественной оси, соответствуют значения функции, также являющиеся взаимным зеркальным отражением относительно вещественной оси.

Если отвлечься от физического смысла функции Р(з) как спектральной плотности и рассматривать се с чисто математи- ческой точки зрения, то прежде всего необходимо отметить сле- дующее: если Р(у) вообще существует, то всегда в одной поло- вине комплексной плоскости. Наиболее важное ее свойство за- ключается в том, что в этой полуплоскостн опа является анали- тической функцией, т.е, ее, как комплексную функцию, можно любое число раз дифференцировать. Производные от функции Р(з) вычисляются путем дифференцирования под знаком инте- грала: Рап (з) = (-1)" )г е "1"/ (!) Ж. (3.1) о Следовательно, к функции Р(з) применимы мощные методы тео- рии функций комплексного переменного. Из получаемых таким путем результатов, касающихся функции Р(з), можно вывестн интересные следствия о функции времени /(!), для исследова- ния которой не существует общих методов.

Прежде чем перейти к изложению этих идей, вычислим для некоторых функций времени соответствующие функции Р(з), Предварительно подчеркнем, что функцию /(!) достаточно определить только для значений ! ) О. Является ли функция /(!) определенной также для 1< 0 и как именно, для вычисле- ния интеграла Лапласа безразлично, Если же ввести в рассмо- трение также значения 1< О, как это, например, сделано в фор- муле (2.8) обращения интеграла Лапласа, то при этом необхо- димо помнить, что при 1<0 функция /(!) всегда равна нулю (в смысле, разъясненном в $2).

!. Г1усть функцией времени будет /(!) = 1. С этой функцией мы неоднократно будем встречаться в дальнейшем, причем вы- яснится„что практически целесообразнодополиить ее значением, равным нулю для всех 1< 0. Будем называть ее 4уыкциек еди- ничного скачка или просто единичным скачком и обозначим че- рез и(!).

Таким образом, ( 1 при 1>0, и (/) = ~ (3.2) Вопрос об определении функции и(1) в точке разрыва( = 0 оста- вим открытым, так как при вычислении интеграла Лапласа без- различно, какое значение имеет и(!) при 1 = О. В некоторых случаях будет целесообразно принимать и(0) = О, а в других— полагать и(0) = 1 или 1/2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА зо [ГЛ.