Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования, страница 2

Настояшая книга предназначена для инженеров. Она несо- держит деталей доказательств, порой опускаются и сами доказательства, но зато методы применения преобразования Лапласа к различным задачам изложены здесь с исчерпываюшей полнотойа). Автор очень бережно относится к формулировке теорем и правил и во многих местах наглядно иллюстрирует, как неточная, расплывчатая формулировка того или иного правила приводит при применении его к ошибочным результатам, Несмотря на сравнительно небольшой объем книги, в ней излагается материал, обычно не содержашийся даже в более подробных и полных книгах по преобразованию Лапласа. Отметим изложение 3-преобразования и его применения к импульсным системам, численного метода определения оригинала по изображению, способа определения максимума оригинала ') ГГое1зсЬ 6., Напбьись бег 1ар!асетгапз1оппа!!он.

Том первый: ТЬеопе бег Ьар!асе-Тгапз(оггпа!!он, В!гЬЬапзег Чег)ая, Вазе1 — 8!и!!яаг1, !956, 581 стр. Том второй: Аптчепбнпяеп бег Ьар!асе-Тгапз!оггпаиоп (первый раздел!, В(гйьанзег )Гег!ая, 1955, 436 стр. Том третий: Аптчепбппяеп бег Ьар!асеТгапз1оппа!юп (второй раздел), В!гйьанзег чег1ая, !956, ЗОО стр. а) 0 ое1зсЬ б., Е!ппаьгппя ги ТЬеог!е ппб Апчгепднпн бег ).ар1асеТгапз(оппаПоп, В)гйьанзег Чег!ая, !958, 364 стр.

') Все доказательства имеются в учебнике Г. Деча, цитированном в предыдущей сноске. На русском языке почти все доказательства можно найти в нииге: Гарднер М. Ф. н Бэрнс Дж. А„Переходные процессы в линей. иых системах, перев. с англ., Физматгиз, Москва, 1963, пгадисловив к ггсскомэ пвгвводт по изображению н т.

д. Читатель встретит в книге много интересных замечаний по поводу неточных подходов, часто встречающихся в технической литературе при решении систем дифференциальных уравнений, при использовании спектральных представлений, прн исследовании устойчивости, Большую помощь прн решении конкретных задач окажет весьма продуманно составленная Р. Гершелем таблица соответствий. Книга Г. Деча завоевала большую популярность. Ее первое издание (1956) было переведено на русский (1958), французский (!959) и японский (1959) языки, а второе издание (196!), переработанное н дополненное, — иа английский (1961), польский (1964) и русский (1965) языки. Предлагаемый вниманию читателя русский перевод сделан с третьего издания (1967), которое существенно переработано и дополнено автором.

Использование теории обобщенных функций или, по терминологии автора, теории распределений позволило значительно проще и строже изложить способы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Большое внимание уделено методу 3-преобразования для решения разностных уравнений. Изложению этого метода и его применений посвящена отдельная глава.

Автору удалось без заметногоуве* личения объема книги изложить в простой и доступной форме многие вопросы преобразования Лапласа и Я-преобразования. Без сомнения, эта книга окажет большую помощь всем,кто пожелает не только получить представление о преобразовании Лапласа, но и сделать его действенным инструментом в своей работе. Научные работники, инженеры, аспиранты, студенты найдут много интересного н полезного в этой книге. Я. 3. Цыпким ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Для применения преобразования Лапласа к решению технических задач необходимо знать ряд теорем, относящихся к этому преобразованию.

В значительной части случаев доказательства этих теорем далеко не простые, а в некоторых случаях даже довольно кропотливые. При том большом объеме математических знаний, который необходим для современного инженера, от него нельзя требовать, чтобы он изучал также все доказательства. Часто ему не остается ничего другого, как просить математика только привести необходимые теоремы в абсолютно безупречной формулировке и гарантировать возможность их доказательства.

Абсолютно безупречная формулировка теорем особенно важна, так как любая расплывчатость или недоговоренность, умалчивающая о части допущений, лежащих в основе той или другой теоремы, таит в себе опасность ее ошибочного применения. Именно такими соображениями я руководствовался при составлении настоящей книги. Поэтому теоремы, необходимые для выполнения основных операций, постоянно применяемых на протяжении всей книги, собраны во второй главе в виде ясных и точно сформулированных «правил» и не сопровождаются никакими доказательствами.

Некоторые другие теоретические по. ложения, необходимые для понимания излагаемого материала, приводятся, по мере необходимости в соответствующих местах книги в виде точно сформулированных теорем, выделенных курсивом для того, чтобы читатель имел возможность сразу обнаружять их среди остального текста. Те из допущений, которые, как показывает опыт, прн применении преобразования Лапласа часто оставляются без внимания, что приводит иногда к серьезным ошибкам, отмечены на полях посредством знака предостережения, Конечно, некоторые положения в книге все же доказываются.

Сделано это в тех случаях, когда без доказательств изложение осталось бы непонятным или когда таких доказательств нельзя найти в других книгах. Разгрузка изложения от теоретических рассуждений позволила выдвинуть на передний план методы применения преобра- првдисловив лвторл к трвтьзмк изданию зования Лапласа и пояснить их на большом количестве численных примеров, При этом я стремился выделить на первый план наиболее существенные особенности. Если какая-либо техническая задача математически сформулирована в виде, например, системы дифференциальных уравнений, то преобразование Лапласа указывает совершенно однозначный путь решения этой задачи независимо от того, какой физический смысл имеют величины, входящие в уравнения. Это означает, что технические задачи, совершенно не похожие одна на другую по содержанию, но приводящие после математической формулировки к одним и тем же уравнениям, могут быть решены одинаковым способом.

Во втором издании учтена связь преобразования Лапласа со спектральным представлением функций ($1), поскольку спектральный подход к исследованию ряда задач особенно близок инженеру. Преобразование Лапласа включает в себя идеи спектрального представления, однако выходит далеко за рамки этих идей. Подлинное значение преобразования Лапласа заключается в том, что оно преобразует функцию времени в аналитическую функцию, которую можно рассматривать как распространение спектральной плотности на комплексную плоскость. Кроме того, эта аналитическая функция передает свойства функции времени значительно более совершенным образом, чем спектральная плотность, которая, кстати, для многих встречающихся на практике функций вообще не существует.

Фрейбург Густав Дйч в области Брайс ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Новое издание отличается от предыдущего, если не считать многочисленных отдельных изменений, прежде всего использованием теории распределений, к чему меня побудили неоднократные просьбы инженерных кругов. Теория распределений, краткие сведения о которой даны в добавлении в конце книги, позволяет в первую очередь строго рассмотреть понятия импульса и его производных, понятия, необходимые для техники, по не укладывающиеся в рамки классической математики. Кроме того, использование теории распределений неизбежно при решении систем совместных дифференциальных уравнений втом наиболее частом для практики случае, когда заданные начальные условия несовместимы со структурой рассматриваемой системы, и поэтому полученные решения не могут удовлетворять этим условиям, Во втором издании настоящей книги такой случай был исследован лишь настолько, насколько это было возможно в ш пгвдисловив автора к тввтьвмг изданию рамках классической математики.

Излагаемый теперь метод, о котором я впервые сообшил на заседании Научного общества авиации и космонавтики, состоявшемся 21 — 25 октября 1963 г. в Брауншвейге, дает возможность получать окончательные решения указанных выше систем совместных дифференциальных уравнений и притом такие решения, которые ие оставляют никаких сомнений в их правильности, в то время как раньше получаемые реше)гия приводили к многочисленным дискуссиям в инженерной литературе. Использование понятия распределения потребовало полной переработки третьей главы, посвященной обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Следующее изменение касается так называемого Я-преобразования, которому в предыдущем издании, при рассмотрении разностных уравнений и импульсных систем, было уделено сравнительно мало внимания. Между тем в последние годы применение Д-преобразования в технике значительно возросло, в связи с чем в настоящем издании оно выделено в специальную главу как самостоятельный метод, причем кое-что удалось изложить проще и нагляднее, чем это было сделано раньше. Из чисто внешних изменений особо следует упомянуть, что в новом издании я присоединился к ставшей широко распространенной записи функций времени малыми буквами, а отвечающих им функций, полученных в результате преобразования Лапласа, — соответствующими большими буквами (раньше я поступал наоборот).

Г. Дйч Фрейбург в обааств Брава ГЛАВА 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА $1. Спектральное представление функций посредством ряда Фурье и интеграла Фурье Инженеры, а также физики особенно охотно пользуются такими математическими понятиями, которые можно связать с каким-либо наглядным представлением. К числу таких понятий принадлежит, в частности, так называемый интеграл йапласа Для того чтобы выяснить, какой физический смысл можно придать этому интегралу, рассмотрим известное разложение вещественной функции !(!), имеющей период 2п, в ряд Фурье Ю ! (!) аь+ 2 2~ (а„сов п1+ Ь„з!и пг), (1.!) а 1 коэффициенты которого определяются формулами (и = О, 1, 2, ...).