Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Включение в изображение этих начальных значений оказывается особенно ценным при применении правила Ч к дифференциальным уравнениям. Примечания 1. Обратим внимание на следующее «Начальные значения» обозначены в формулах, выражающих правило Ч, не через )(0), 1"'(0),, а соответственно через 1(+0), )'(+0), ... Это сделано с целью подчеркнуть, что имеются в виду не значения, которые функции 1, 1', ...
имеют при 1= О, а предельные значения, к которым стремятся ), )', ..., когда ( стремится к нулю справа. Можно сказать и наоборот, а именно, что имеются в виду значения, от которых функции ), )', ... начинают свое непрерывное изменение вправо, Так, например, рассмотренная в примере 1 5 3 функция и(1), т. е. единичный скачок, может иметь при 1 = О, смотря по обстоятельствам, вообще любое значение и(0). Но предельное значение и(+0) совершенно однозначно равно единице.
Так как при 1) 0 производная и'(1) = О, то 9(и') = О, и так как 1(и) = 1/з, то правило Ч дает О=в —, — и(+0). 1 Это равенство соблюдается только для значения и(+0) = 1. Для других значений и(0), отличающихся от и(+0), оно было бы неправильным. 43 ДИФФВРПНШ1РОПЯННЙ $ т! Разница между «значением функции в точке» и «предельным значением при приближении к этой точке» играет особо важную роль при решении уравнений в частных производных. 2. Правило Ч предполагает, что наивысшая встречаюпзаяся производная )1и1 существует в каждой точке ! > О'). Покажем на примере, что если не учитывать это обстоятельство, то применение правила Ч может привести к неверному результату. Для единичного скачка и(! — а), рассмотренного в примере 2 э 3 и происходящего в момент времени ! = а >О, мы имеем е а' 2 (и (! — а)) = —, Предельное значение функции и(! — а) прн (, стремящемся к нулю справа, равно нулю.
Применив неосторожно правило Ч, мы получим с (ит (т а)) е-аз (7.1) Если же мы вычислим это изображение, т. е. 9(и'(! — а)), прямым путем, т. е. составим сначала производную и'(! — а) и только затем выполним преобразование Лапласа, то получим совсем другой результат. В самом деле, мы имеем О при !~а, не определяется при т=-а. Следовательно, ь'(и'(! — а)) = О, (7.3) так как очевидно, что интегрирование функции, равной нулю всюду, за исключением одной-единственной точки, дает такой же результат, как и интегрирование функции, равной нулю ВС1ОДУ.
') При ! -0 л-я производная не обязательно должна существовать. Та. кой случай встречается довольно часто. Для л = ! примером может служит функция )(О - ! с производной Г (!) - — ! . Для втой функции мы из -1а 2 имеем г <-) г <-) О٠—, О(!')= — — =, ()-ьО) О, за из и правило Ч приводит к верному результату; г(1) г(з) 2 зиз зза ° так как Г( — ) = — !' (2).
пвхвиях выполнения опееяции !гл, г 44 Несовпадение результатов, даваемых формулами (7.1) и (7.3), объясняется тем, что функция и(1 — а) дифференцируема не при всех 1, а именно в точке 1 = а она не только не имеет производной, но даже не непрерывна. Следовательно, к такой функции прави.ло Ч применять было нельзя. О другой интерпретации формулы (7.2) и другом смысле формулы (7.!) см. Добавление, стр. 258, пример 2. Правило У! (теорема дифференцирования для изображения) В 5 3 мы упомянули, что изображение является всегда аналитической функцией, следовательно, обладает всеми производными. Эти пооизводные легко получить путем дифференцирования под знаком интегоала, что поиводит к следующему правилу: Мы видим, что, как и в случае дифференцирования оригинала, сложная операция дифференцирования изображения заменяется в пространстве оригиналов совсем тривиальной операцией— умножением оригинала на независимую переменную, взятую с отрицательным знаком.
й 8. Интегрирование Правило 1ГП (теорема интегрирования для оригинала) Лифференцированию оригинала соответствует в пространстве изображений, если не считзть прибавления постоянной, умножение изображения на з. Интегрированию оригинала от нуля до переменной точки Г соотвстствует в пространстве изображений деление изображения на тп В основе зтого правила лежит предположение, что функция 1(1) обладает изображением, При таком предположении авто.
магически обладает изображением и интеграл от функции 1'(1). Умножение н сиевтыилние 45 Правило У)(! (теорема интегрирования для изображения) Как мы видели в предыдущем параграфе, дифференцированию изображения соответствует умножение оригинала на — й Интегрированию иэображения соответствует обратное действие — деление оригинала на — у, при условии что в качестве постоянной начальной точки интегрирования берется точка з = оо. Поэтому, заменив ) на — ), мы получим а — ~ г" (а)йа ! (а! Это правило основано на предположении, что функция ((!)у! обладает изображением, следовательно, функция !'(!) и подавно имеет изображение.
В качестве пути интегрирования при вычисч ленни интеграла ~ можно взять любой исходящий нз точки з луч, образующий с вещественной осщо острый угол. Правило Л!! в противоположность остальным правилам применяется крайне редко и приводится здесь только ради полноты. 9 9. Умножение и свертывание До сих пор мы занимались операциями, производимыми над одной функцией. Теперь рассмотрим операции над комбинациямн нескольких функций. Сумме конечного числа оригиналов отвечает сумма соответствующих изображений.
Этот факт настолько очевиден, что мы не будем формулировать его в виде особого правила '). Следующей наиболее простой комбинацией является произведение. Начнем с произведения изображений. Правило (Х (теорема свертывания) Произведению изображений гч(з) гв(з) соответствует своеобразная интегральная комбинация функций (г(Е) и )в(!), час~о ') !чонечио, длн бесконечно большого числа слагаемых такое соответствие имеет место не всегда, См. по этому поводу 9 29, 46 ППАВИЛА ВЫПОЛНННИЯ ОПНРАЦПН ~гл, т встречающаяся в физике'), а именно 6~ (т) г 2 (э т) гэт.
(9.() о Эта интегральная комбинация называется свергкой функций 4г и гз и символически обозначается через ~~ е)з (читается: функ- ция )г, свернутая с функцией 4з). Таким образом, г Г' ° 4з = ) 1 (т) Г (à — ) гу е Указанный символ свертки, напоминающей символ произведе- ния, практически удобен потому, что свертка ведет себя так же, как и произведение. А именно, она обладает свойством коимуги- тивности, т. е.
1! «1з-~те11, или в раскрытом виде г ~ ), (т) ут (у — т) с(т = ) )з (т) ~, (г — т) сгт о е и свойством ассоциативности, т. е. (Г г е Гт) е )з = 1~ е (г г е ге). (9.2) (9.3) Следовательно, свертка нескольких функций 6 'й °" е1о всегда дает одинаковый результат независимо от того, в каком порядке выполняется свертывание. Итак, мы имеем следующее правило, устанавливающее соответствие между сверткой оригиналов и произведением изо- бражений (9.4) Это правило основано на предположении, что существуют инте. гралы Лапласа от функций )г и )з и что по крайней мере один ') Если, нзпрнмер, в течение времени, длящегося от т =- О до т = Г, дей.
ствуют некоторые факторы й(т), то их суммвриый эффект в простейшем с случае равен ) А (т)лт. Но если каждому фактору прнписзть весовой коэф. е фнпнент Гз, зависящий от промежутке времени, прошедшего между иомеитом т возникновения фактора и моментом Г наблюдения, следовзтельно, от 4 — т, то суммарный эффект всех факторов будет определяться интегрелом (9.Ц. УМНОЖЕНИЕ И СВЕРТЫВДНИЕ 47 нз них абсолютно сходится').
В таком случае интеграл Лапласа от свертки // е/а сходится автоматически. Правило 1Х является после правила '(/ важнейшим для приложений. Правило Х (теорема комплексного свертывания) Произведению двух оригиналов соответствует «комплексная свертка» изображений. Если предположить, что при двух фиксированных вещественных значениях хт и ха интегралы ( е кт/)/' (/)(с(/ ) е ~л")~ (/)(~/// (и=1 9) (9.5) о о сходятся, то при всех е, для которых Йе з)~ха + ха, имеет место соответствие 1! (/) ' /2 (/) .те/ — г", (а) г"'з (з — а) с(а при х, ( х ~( Це е — х / "'к /м или аз./ — Р, (е — а) ее (а) т/а при хз .
х «( Ке з — х, ! 2п/ л-/чч (9.6) Если абсциссы х прямых, вдоль которых производится интегрирование, будут выбраны так, как указано, то переменные, входящие в функции гт и га, будут перемещаться в полуплоскости абсолютной сходимости интегралов Лапласа 9(Ц и 9Щ. ') интеграл ) е и/(й ш назмваетса абсолютно сходящимся, если схо. о дитсн интеграл )г ) е м/ (/) ( с// ~ е и' *'/( 1 (/) 1 пп о о Это соблюдается длн всех фуикннй, которме мажорируюгск показательной функдней ~1(/) ~ ( А е" при условии, что ке з > и.
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИЯ 48 !ГЛ. 2 Предположение (9.5) сохранится, если заменить Ь на 72 Функции 72 соответствует изображение О е (!2) = ) е 72 ~(г) гт( = ) е-272(г) ггг = Р,(у). О О заменим в первом из соответствий (9.б) !2 на 72 и г2(а) па г2(У) и примелп что з = х, + хл и х = х!. Тогда, заменив знак соответствия явным выражением интеграла Лапласа, мы получим х,ь! е-'"1+м!г! (!)(2(!) О(! = —, ~ г, (о) гг(х!+ х, — ь) йт, о х,-! или, положив о=х, +!у, о=х, — !у: е-!" +г ! 21! (!) 12 (г) гг! = — ~ гч! (х, + !у) г2 (х2+ !у) г(у (9.7) Это соотношение называется обобщенным рааенствог! Парсе- валя для преобразования Лапласа.
Оно справедливо, если выполняются условия (9.5). При 1! = (2 = ! и х! = хл — — х соотногпение (9.7) принимает вид е-2"г~,Г(!) РО((= — '„~ 1Р(х+(у) Рг(у (9.5) ~ ! ! (!) ! Влг, ~ ! ! (!) !2 г1(, О О то равенство Парсеваля примет внд (9,10) которое называется рпвенством Парсеваля и справедливо, если сходятся интегралы ) е -"г| ! (!) 1 !11, ~ е Огг| "! (!) РЖ. (9.9) О О Если положить х = О, следовательно, предположить, что сходятся интегралы кмножение и свггтывхнне а о] Это соотношение находит широкое применение в технических приложениях. Если, например, 1(1) есть ток на выходе электрической цепи, то равенство (9.11) определяет выраженную через плотность амплитуды )Р(19) ) полную энергию, необходимую для преодоления сопротивления, равного одному ому. Если 1(1) есть регулируемая величина системы регулирования, то интеграл ~ 1 ( (1) Р (1 а представляет собой так называемый квадратичный критерий качества регулирования, Один из способов оптимизации в технике регулирования состоит в придании этому критерию минимального значения.
Так как в этом случае функция 1(1) вещественная, то Р(1у) = Р( — 1у), и равенство (9.1!) принимает вид +оо +! (~ (1)4' сй = — „~ Р (1у) Р (- 1у) йу = — „. ~ Р (о) Р ( — а) гЬ. (9.12) 0 -! ф Если Р(з) есть дробно-рациональная функция, то комп,тексный интеграл в правой части этого равенства можно определить путем вычисления вычетов. Результат будет зависеть от конечного числа постоянных, определяющих дробно-рациональную функцию, и может быть сделан минимальным прн помощи методов дифференциального исчисления путем подходящего выбора пос т о я н н ы х.
В следующих главах будет показано, как при помощи преобразования Лапласа и изложенных выше правил можно решать некоторые типы функциональных уравнений со значительно меньшей затратой усилий, чем при помощи классических методов. ГЛАВА 3 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ $10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
