Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Э 11. Дифференциальное уравнение второго порядка Для дифференциального уравнения второго порядка У" + с,У'+ с,У =1(1), (11.1) коэффициенты которого будем предполагать вещественными '), изображающим уравнением, согласно правилу Ч, будет [з'У вЂ” у(+0) з — у'(+0)[+ с, [зу — у(+0)1+ с,у =г" (з). В него входят два начальных значения, а именно, начальное значение самой функции у и начальное значение ее производной у'.
Именно столько значений и должно быть задано для того, чтобы решение дифференциального уравнения второго порядка было однозначно определено. Изображающее уравнение опять является линейным алгебраическим уравнением. Его решение получается сразу и имеет вид (11.2) Хотя оригиналы, соответствующие отдельным слагаемым этого решения, можно взять прямо из таблицы соответствий, мы все же покажем, как их можно вычислить, так как это послу- '1 Мы разделили зсе члены уравнения на козффициент при у", позтоиу козффициент при высшей производной стал разным единице. Эго облегчит дальнейшие вычислении. е п) диФФеРенцг!Алыгое уРЛВнение ВТОРОГО пОРядкА 55 жит хорошим упражнением для решения дифференциального уравнения любого порядка.
Дроби, входящие в формулу (11,2), суть рациональные функции, в которых степень числителя ниже степени знаменателя. Такие функции могут быть разложены на так называемые простейшие дроби совершенно так же, как это делается в интегральном исчислении при интегрировании дробно-рациональных функций. Для этого прежде всего найдем нули аг и из многочлена, входящего в знаменатель функций, т.
е. представим этот мпогочлен в виде произведения двух линейных множителей: р (з) = з'+ с,з + со = (з — а,) (з — аг). Дальнейшие вычисления будут различными в зависимости от того, бУдет ли аг чь аг или иг — — ссз. Первы й случай: аг чь аз В этом случае дробно-рациональные функции, входящие в формулу (11.2), могут быть разложены на сумму двух дробей: "г(, г(г — +— з-аг з-а, ' из которых каждая содержит в знаменателе только один линейный множитель.
Применим такое разложение сначала к первой дробно-рациональной функции нз формулы (11.2) и напишем 1 1 г(г 1 г(г (1 1.3) р (з) з' + с,з + сг з — а, з — аг ' Для определения пока неизвестных коэффициентов с(г и агз сложим обе дроби в правой части равенства '); И, + иг) з — (г(,а, + г( а, ) р (з) (з — а,) (з — аг) 11риравняв множители при одинаковых степенях з в числителях слева и справа, мы получим для определения коэффициентовг(г и дг уравнения с(1+ с(г = О, агг(, + афг — — — 1г из которых найдем 1 1 с( = г с(г=— а,— а, ' а, -аг Так как для каждой из полученных простейших дробей ориги. палы известны, то оригиналом всей дробно-рациональной ') В $12 мы познакомимся с более изящным способом онрехелення этих когффншгентон. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1гл.
3 66 функции (11.3) будет 0 (з) = — с (е"' — е"') =д(/), (11,4) 1 1 р(с) а, — а, причем а! и из в явном виде равны соответственно с, а! = — — ' — )/ — 0, 2 2 где сз 0=с,—— 4 есть дискрнмннант уравнения г'+ с,з + сс = О. Если 0 ч. О, т. е. если с! —. с, 0 то /е = )/- 0 есть вещественное число, и д(1)= — е с~е'(ем — е А') — е '"'ЕЬ/41, (11.5) 2Е 4 следовательно, движение, определяемое функцией и(/), есть апериодическое движение. Если же 0 > О, т, е.
если сз ! — ~с„, 4 то нули а! и аз суть комплексно-сопряженные числа, н поэтому функция и(1) записывается в комплексной форме. Однаковдействительности функция д(!) представляет собой вещественную функцию. В самом деле, положив )à — 0 =ге/, мы получим у (1) = — е с>пз (е1Ф! е 1м) — е сжи зщ мГ (1 1 8) 1 1 ЕФ! и В этой вещественной форме функцию д(1) можно получить также непосредственно, если преобразовать выражение 0(з) = = 1/р(з) к виду 2 2 3 1 1 ! (с+ с /2) + (сс — с~!/4) (4+ с)/2)з-~-1З (с+ с,/2)зч Фз н затем воспользоваться соответствием 1 1 ° -с — 3!п гв1 сс .1- ссс Ф (см, таблицу соответствий, № 38). Применив зто соответствие к нашему случаю, мы на основании правила 1Ъ' (теорема э !ц диФФЕРснцпхльное уРАВнение ВТОРОГО НОРядкА зг затухания) найдем с(з) Р— е-'ахз!и а1 =д(1).
1 Таким образом, движение, определяемое функцией у(1) в случае 0 > О, есть периодическое колебание, которое вследствие наличия множителя е ' "' либо затухает, либо нарастает. Если с',,)4 ( с„ то из практических соображений целесообразнее взять эти коэффициенты с самого начала в виде с, = 26, сс = Ьз+ а' (11.7) т. е. придать дифференциальному уравнению (!1.1) вид у" .1 26у' + (ЬЯ + ГВЯ) у = ) (1). (1 1.8) Тогда мы будем иметь 0 = Газ, и С(з) = — е-Р— е мз1п м(.
1 1 р(у) а (11.9) Следовательно, в этом случае запись дифференциальногоуравнения (11.8) сразу указывает круговую частоту сэ и затухание б, соответствующие функции 1((1). Кроме того, для отношения двух последовательных экстремальных амплитуд затухающего колебания получается постоянное значение е 'МФ. Так называемый коэффициент затухания б/с! позволяет сразу судить о затухании колебаний. Перейдем к отысканию оригинала для второй дробно-рациональной функции из изображения (11.2). Представив ее в виде суммы простейших дробей, мы получим с+ с! а! с)! (!Г! + а!) с — (а!а, + 4а!) р(у) с — а, с — а! р (с) откуда, имея в виду, что — с! = а! + ам найдем а! + с! а! ыя а! — а, аэ-а, ' — а,— с! а, й,= ас-а, а! — а, следовательно, ! (азеак — а!е™) = д (Е). (11.1О) р(у) а — а, з Если для случая 0 > О использовать запись коэффициентов с, и сс в виде (11.7), то обратный переход в пространство оригиналов осуществляется особенно просто (см.
таблицу и для определения коэффициентов й! и йя будем иметь уравнения й!+ йя= 1, аяй, +а!йя= — с„ 58 овыкноввнныв диафвевнцикльные энквнеиия (гл. з соответствий, М 38 и 48, а также правило 1Ъ'). А именно, мы получим «+26 е+Ь э'+ 2Ь|+ Ь'+ ея (е+ Ь)'+ вн + —,, „, ое 'созе!+ — е ыз!па(=д!(!). (11.11) в Второй случай: и! — — аз (О = О) В этом случае е~ а =ах= ! и, согласно таблице соответствий, № 42, мы имеем ! ! — — «-о /еаэ (е-еш» — д (!) (11.
12) р р(э) (э — а,)ч э»с, »+с, р (») (» + с,/2)' — + ', «-ье-ь от+ —" /стоит = д (!). (11.13) » Е с1/2 (е+ с,/2)' 2 Итак, мы нашли оригиналы у(!) и д!((), соответствующие дробно-рациональным функциям, входящим в формулу (!1,2). Теперь остается применить к первому члену правой части фор- мулы (! 1.2) правило 1Х (теорему свертывания), и мы получим решение дифференциального уравнения (11.1) в следующем виде: у (!) = / (() «у (!) + у (+0) д! (() + у' (+0) д (/). (11.14) В практических расчетах выведенные здесь общие формулы не должны применяться; вместо этого следует каждый раэ вновь выполнять укаэанные выше отдельные шаги решения.
Так поступать следует потому, что вычисление свертки /«д, определяемой интегралом (9.!), представляет собой очень не- удобную операцию, между тем часто ее можно избежать путем явного определения изображения Р(э) и последующего перевода функции г'(э)/р(э) в ее «комплектном» виде из пространства изображений в пространство оригиналов.
В самом деле, впрак- тически наиболее частых случаях возбуждающая функция /(!) имеет один из следующих видов: и(!), е"', !«е«', соз !ь! и з!п ый Во всех этих случаях изображение г(э) представляет собой дробно-рациональную функцию, поэтому такой же функцией является и изображение Р(з)/р(э), следовательно, соответст- вующий оригинал можно определить непосредственно путем раз- ложения г"(э)/р(э) на простейшие дроби. Рассмотрим числен- ный пример, иллюстрирующий этот способ.
З 1Ц ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРО10 ПОРЯДКА 5О Численный пример Пусть дано дифференциальное уравнение у" + 10у' + 74у = 28 з(п 41 с начальными условиями у(+0) =О, у'(+0) =2. Изображающим уравнением будет згУ вЂ” 2+!ОЕУ+74У = —. 112 зз+ 16 ' Решив это уравнение, мы получим 1!2 2 (з! Ф 16) (зз+ 10з -1- 74) зз Ф 1Оз Ф 74 ' Рассмотрим сначала второе слагаемое и найдем корпи урав- нения зг+ 10з+ 74 О, Опи равны а, = — 5+ 71, аг = — 5 — 7/, следовательно, мы должны принять, что ! !Т! !(з зг-Р !Оз+74 з+5 — 7! з+5+ 7! из которых найдем ! Ог = . ! !1г = 14! ' Изображению 1 1 141 з'+!оз+74 з+5 — 7/ ! 141 ' 1 14! з+ 5+ 7( соответствует оригинал Р! (() — (е1-ЕФтп» вЂ” е(-з-и! !) = — е-и з(п 71 ! 14! 7 При достаточном навыке в вычислениях к этому результату можно прийти, минуя комплексные величины. В самом деле, нетрудно видеть, что зг+1Оз+74 7 (з+5)'+4О Приравняв множители при одинаковых степенях з в числителях слева и справа, мы получим уравнения для определения коэффициентов !(1 н !(г! !(!т з(г=О, (5 + 71) з(! + (5 — 71) з(г = 1, во овыкновенные д!!ееегенцизльные ггзвнвния 1гл.
з На основании примера 5 нз $3 мы имеем — о з!п7!. 7 з'+ 49 Применив теперь теорему затухания, мы сразу получим функцию я(!). Оригинал, соответствующий первому слагаемому изображения У, можно было бы вычислить на основании теоремы свертывания. Однако поскольку это слагаемое, включающее в себя в явном виде изображение г"(з) возмущающей функции /(!), представляет собой дробно-рациональную функцию, целесообразно воспользоваться опять разложением на простейшие дроби, Знаменатель имеет четыре различных нуля: 4/, — 4/, — 5+ 7/, — 5 — 7/, поэтому разложение на простейшие дроби должно иметь вид 119 4 лз <!з (зг+ 16) (зг+!Оз+ 74) з — 4! з+4! з+5-7/ э+В+7/ Приведя к общему знаменателю правую часть этого равенства, мы получим в числителе з(! (з+ 4/) (зг+ 10з+?4) + г(г(з — 4/) (эг+ 10з+ 74) + + з( (э'+ 16) (з + 5 + 7/) + газ (з'+ 16) (з + 5 — 7/) = = зз (з(! + ог+ «з+ г(з) + + зг 1(! 0 + 4!) г(! 4 (10 — 4/) г(г + (5 + 7/) г(з + (5 — 7/) з(4] + + з ((74 + 40/) г7, + (74 — 40/) з(г + ! 6з(з + 16г/41+ + (296/з(~ 296/г(г + (80 + 1! 2/) г(з + (80 1121) з(з! следовательно, г(ь г(г, з(з и о!4 должны удовлетворять линейным уравнениям г(, + г(г + з(з+ г( =О, (! О+ 4/) г(! + (!0 — 4!) з(г+ (5+ 7/) г/з+ (5 — 7/) з(, = О, (74+40/) з(!+(74 — 40/)з(г+ 16!(з+ 1Ыз=О, 296/з(, — 296/г/г+ (80 + 112/) з/з+ (80 — 112/) з(з = 112.
Решив этн уравнения, мы найдем — !74! (20+291), г(з= !241 (20-29/), 7 7 г(з !эз! (35+ 4/), ззг 1241 (35 з 4 4 !2! Н!'ОШ!ОРОДПОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ П.ГО ПОРЯДКА 61 Таким образом, первому слагаемому изображения т' соответствует оригинал 4 (20+ 29/) е'!' — —,, (20 — 29!) е-'!' + + — (35+ 4!) е' '+'!''+ — (35 — 41) е'-э-2л'= 4 4 124! 1241 = — — [20 (е'!' + е '!') + 29! (е'!' — е-4!!)[+ 1241 + , 4, е-" [35 (еэд + е-П') + 41(е2!! — е-2!!)[ = 4 1241 = — — (20 сов 41 — 29 з)п 4!)+ —,е-м(35 соз 71 — 4 з)п 71).
1241 !24! Сложив с этим оригиналом ранее вычисленный оригинал для второго слагаемого изображения, мы получим полное решение. Выполняя в рассмотренных примерах разложение дробно-рациональной функции иа простейшие дроби, мы применяли каждый раз примитивный способ: складывали дроби и, приравнивая затем множители при одинаковых степенях з в числителях слева и справа, получали систему линейных уравнений для определения коэффициентов !(!, 212,...
Решение такой системы уравнений при большом числе неизвестных требует много времени и весьма утомительно, поэтому в следующем параграфе мы покажем на примере дифференциального уравнения любого порядка, как мон!Ио выполнять разложение на простейшие дроби значительно более простым способом. й 12. Неоднородное дифференциальное уравнение и-го порядка с начальными значениями, равными нулю Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение п-го порядка у'"'+ с„,ум н+ ... + с,у'+ с„у=)(1) (12.1) (как и в ранее рассмотренных примерах, мы принимаем, что коэффициент при высшей производной равен единице; это не только упрощает последующие вычисления, но делает их, как показывает опыт, более надежными с точки зрения предохранения от случайных ошибок).
Для однозначной определенности решения уравнения (12.1) необходимо задать и начальных значений, т. е. значения у(+0), у'(+0), у" (+0), ..., у — !(+0). Для упрощения записи будем обозначать их в дальнейшем просто через у(0), у'(О) и т. д. Таким образом, нам необходимо б2 ОБЫШ1ОВЕННЫС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1гл. з решить так называемую задачу с начальными значениями (задачу Коши) для дифференциального уравнения (12.1). Для большей обозримости решения разобьем эту задачу на два этапа. Сначала предположим, чтодифференциальное уравнение неоднородное, т. е. возбуждающая функция 1(1) не равна тождественно нулю, но зато все начальные значения равны нулю (на практике такой случай встречается чаще всего).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
