Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 13
Текст из файла (страница 13)
12.1). Следовательно, У,=6(Р-У), У,=НУР Исключив из этих соотношений Уь мы получим О он+! ~' Таким Образом, всю систему можно изобразить в виде одногоедннственного блока с надписью 6Г'(60+!) (рис, 12.2). Рассматриваемая система с обратной связью обеспечивает деление передаточной функции 6 иа 60 + 1. Второй случай: среди нулей а, имеются равные В этом случае некоторые нули являются кратными. Еслиобозначить Различные нУли чеРез Ггн аь ..., а,„, то каждомУ нУлю 55„ следует приписать кратность Й„ и разложение многочлена р(з) иа линейные мноГкнтели будет иметь вид д (з) = (з — а,) '(з — а ) ' ... (з — а ) А А (!2.12) Теперь при разложении функции 6(з) =!/р(з) на простейшие дроби нулю а„ будет соответствовать не одна-единственная дробь с величиной з — и„ в знаменателе, а Й, дробей с величинами 5 А з — а„(з — а,), ..., (з — а,)" в знаменателе.
В результате мы будем иметь ! ~а) ГГЛ 5ГАЯ вЂ” + ',+...+ ' „+ 5 — а, (5 — а,)' ''' (5 а,)А 6 (з) д (5) Л<П ЛГВ ГГ(АРГ) Этому изображению соответствует оригинал Ат (см. пример 7 в $3). Имея этот оригинал, мы получим искомое решение дифференциального уравнения (12.1) опять в виде (12.!О). 68 оьыкноввнныв диффвевнциальныи квлвнвння 1гл. 3 Для определения коэффициентов г(ч служит формула 1М (12.15) ч в которой г„(з) означает функцию, получаемую делением многочлена (12.12) на множитель (3 — а,) ч, т.
е. ( ) р(з) (3 — ач) ч Однако па практике часто проще пользоваться не этой форму- лой, а приемом, изложенным в следующем примере. Численный пример Пусть определение нулей привело к следующему разложению многочлена р(з) на множители: р(з) = (3 — 2)з(з+ 5) (3 -1- 7), т. е. кратность нуля 2 равна 3, а кратность нулей — 5 и — 7 равна 1.
Из этого сразу следует, что р(2) = р'(2) = р" (2) = О, р"'(2)ФО, р( — 5) =О, р'(-5)МО, р( — 7)= О, р'(-7)чьО. Разложение на простейшие дроби должно иметь вид 1 аз + аз + аз + Ь + Ь (з — 2)з (з -Ь 5) (з -Ь 7) (з — 2)з (з — 2) з — 2 з -1- 5 з зЧ- 7 Для того чтобы изолировать коэффициент дз, умножнм обе ча- сти этого равенства на (3 — 2)з; мы получим 1 7 =аз+из(з — 2)+К,(з — 2)'+ — 5+ 7 з Л (з — 2)з Гз(з — 2)з Положив здесь 3 2, найдем = Яз 7 ° 9 Перенеся теперь известный член йз/(3 — 2)з в левую часть раз- ложения, придадим ей следующий вид: 1 63 — (з+5) (3+7) (з 2)з (з .е 5) (з Ч 7) 63 (з — 2)з 63 (з — 2)' (з + 5) (з + 7) 6 ш нгодноеодное диФФвеенцихльнов ягхвнвнии л.гопояядкл 69 Числитель полученной дроби равен — яя — 123 + 28 = -(я — 2) (я + 14), т.
е. он содержит множитель (я — 2), на который можно сократить дробь, после чего последняя приобретет вид — (5+ 14) 63 (я — 2)' (я+ 5) (4+ 7) ' Приравняв эту дробь оставшейся правой части разложения р(я), будем иметь — (я+ 14) я~, ь А 63 (я — 2)' (я + 5) (я + 7) (я — 2)' я — 2 ' г + 5 я + 7 (Из этого равенства ясно, почему числитель в левой части должен был содержать до сокращения множитель я — 2; в самом деле, в знаменатель правой части последнего равенства множитель я — 2 входит в степени не выше второй, следовательно, то же самое должно иметь место и для левой части; но исчезновение в знаменателе левой части одного из множителей я — 2 могло произойти только вследствие наличия такого же множителя в числителе.) Теперь, умножив обе части последнего равенства на (я — 2)', мы выделим коэффициент дя.
— (я+!4) Л (я — 2)~ Л (я — 2)~ 63(4+5) (4+7) йз й! ( я+6 я+7 Положив я = 2, получим 16 63 7 ° 9 Перенеся член йз/(я — 2)з в левую часть, мы придадим ей вид — (я+ 14) !6 — 63 (я + 14) + 16 (я + 5) (я + 7) 63 (~ — 2)~ (я + 5) (я + 7) 63' (я — 2)' 63' (я — 2)' (я + 5) (я + 7) -(- Числитель этой дроби равен 16я'+ 1293 — 322 = (я — 2) (16я + 161), поэтому ее можно сократить на я — 2, Опять приравняв эту ле.
вую часть оставшейся правой части разложения р(я), мы получим !64+ 161 Ш Л, Л 63'(я — 2) (яж5) (я+ 7) я — 2 4+ 5 я+ 7 ' Умножив это равенство на я — 2 и положив я = 2, найдем коэффициент д!. 193 63'7. 9 76 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (гл, а Перенеся член дз!'(в — 2) в левую часть, будем иметь 16л+ 161 193 63 (16л+ 161) — 193 (з+ 5) (л + 7) 63з(а — 2) (а+ 5)(а+7) 63з(з — 2) 63з(л — 2) (з+5) (а+7) Числитель этой дроби равен — 193 вз — 1308 3 + 3388 = — (в — 2) (193 в+ 1894), следовательно, ее можно сократить на з — 2, после чего мы получим !93 з + !694 А А 63з(з + 5)(з -1- 7) л + 5 з + 7 Умножив это равенство на в + 5 и положив з = — 5, мы найдем коэффициент ул ! = й.
7з. 2 Подставив это значение в предыдущее равенство, получим 193 а + 1694 729 Ь бзз(а+5)(а+7) 63з ° 2(л+5) а+7 ' Наконец, положив в = О, найдем коэффициент й: 1 — й. 9з. 2 Итак, разложение функции 1/р(в) на простейшие дроби имеет вид 1 ! 16 — зз)у'( ~ ~+ззЗ! З ЕИ Из ( — зу Р з ( — 2) 193 1 1 7з, 9з (з — 2) 7з . 2 (з Ф 5) + эз 2 (л + 7) ° 9 13. Отклики на специальные виды возбуждения О поведении физической системы можно получить хорошее представление, если определить ее отклики на некоторые возбуждения специального вида (так называемые проверочные возбуждения), легко осуществимые также технически.
В качестве таких возбуждений используют функцию единичного скачка и(!), импульс б(!) и синусоидальное колебание е!из. Как и в 3 12, будем предполагать, что начальные значения ровны нулю. 1. Отилии иа едииичимй скачок (переаодиаи фуиииии) Решение дифференциального уравнения (12.! ), соответствующее возбуждению 1(!) = и(!)„называется откликом у„(!) на единичный скачок или, по более старой терминологии, переходной функцией системы (последнее название объясняется тем, что эта $ !31 отклики нх специальные аиды возвгждеш1я 71 функция показывает, как система под влиянием скачкообразного возбуждения переходит из состояния покоя в новое состояние). Согласно формуле (12.10), мы имеем у„(/) = д (/) * 1 ) а (т) аЪ, о откуда находим простую связь между откликом на единичный скачок и весовой функцией: (и.!) Еще проще связь между соответствующими функциями в пространстве изображений.
В самом деле, имея в виду, что 9(и) 1/», из формулы (12.1!) находим У„(») = —, 6(»), ) . (~З.2) Так как 1/р(») есть дробно-рациональная функция, то такой же функцией является и 1/»р(»). Поэтому для вычисления решения у„(/) отнюдь ие следует прибегать к применению формулы (1Э.!), т. е. к определению функции д(/) с последующим ее интегрированием. Вместо этого достаточно произвести разложение дробно-рациональной функции 1/»р(») па простейшие дроби и затем перевести этн дроби в пространство оригиналов.
Особенно простая формула для д„(/) получается в том случае, когда многочлен р(») имеет различные нули, ни один из которых не исчезает (последнее означает, что сечьО). Тогда будут различными и все нули О, аь ..., а„функции»р(»), и поэтому разложение на простейшие дроби будет иметь вид ла А А~ - —.+ + + — е зр(з) з з — а, ''' з — ал' откуда ! %~ — г(, + л (з) ,Й з — а„ ч-~ следовательно, 1 На = — . р(о) ' Далее из соотношения з — а~ ) ваО л(з) — в(а ) з — чч — '(» — а,) + ' (» — а,)+ ... +г(,+ ... -!. — "(» ц ) 1 а 72 овыкноавнныв дифевгвнцияльныв ггявнвния )гл. я при з-+а„находим с(.
1 аяр (ат) Таким образом, решением т'„(з) в пространстве изображений будет У„(а) = — -+ у ът р(0) я ' ЛЙ а~р'(а~) е — ан ' м =ч переведя которое в пространство оригиналов, мы получим а 1 1 Ъ-~ е' у. (/) = — +,?, —, р(0) аа ь р'(и,) (1 3.3) стр. 154) (1 3.5) В электротехнике эта формула известна под названием разложения Хевисайда. Если все нули а„ имеют отрицательные вещественные части, то у„(/) при возрастании Г стремится к постоянной 1/р(0), т. е.
система, приведенная скачкообразным возбуждением в довольно нерегулярное состояние (определяемое совокупностью собственных колебаний, см. стр. 82), приближается к новому равновесному состоянию !/р(0) = 1/сю. Впрочем, этот результат получается также непосредственно из самого дифференциального уравнения (12.1). В самом деле, если функция у сглаживается, то производные у', ..., усо стремятся к нулю и остается только член с,у = 1, Так как формула (13.3) часто применяется в технике, то еще раз подчеркнем, что она справедлива только в том случае, когда все начальные значения равны нулю, а все корни функции р(з) различны и отличны от нуля. Впрочем, при численных расчетах нарушения этих условий обнаруживаются автоматически.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
