Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Подста- вив выражение у(1) в дифференциальное уравнение (12.1) с пра- Вой частью ((1) = ег"', мы получим Н(ш)(1хв)" е +с„гН(ш)()хв)" егм + ... + + с,Н(ш)()ш)е +с,Н(ш)е" =е" пли, если для сокращения записи использовать такое же обо- значение, как и (12.4), Н(ш) еимр()ш) = е™ 78 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !ГЛ. а Сделаем теперь существенное допущение, а именно предположим, что изображение 6(в) = Я(у) сходится также на мнимой оси, что равносильно предпологкению, что полюсы а„ дробно- рациональной функции 6(в) лежат слева от мнимой осн. В таком случае интеграл О 6()„) = )" е-ш~у(т) дт о существует, и равенству (13.12) можно придать вид = 6()аг) еяи — еьм ) е !Ф'д(т) дт. (! 3.13) При 1- ФФ второе слагаемое в правой части стремится, очевидно, к нулю, и остается только первое слагаемое, тождественно совпадающее с выражением (13.11).
Этому слагаемому соответствует установившееся состояние системы, к которому система приходит через достаточно большой промежуток времени после возбуждения. Обозначим это установившееся состояние через у„(1) и запишем уа (1) = 6 (!ьг) ени (! 3.14) В тех случаях, когда не требуется знать значений функции у„(1) при малых й т. е. когда не требуется знания переходного процесса, решение (13.14) вполне достаточно для практических целей, хотя оно, не будучи полным решением, передает только асимптотическое поведение системы. Полученный результат особенно интересен потому, что он дает возможность определить установившееся состояние системы непосредственно по изображеяию 6(з), не прибегая н переводу последнего в пространство оригиналов. Предыдущий вывод, который привел нас к понятию частотной характеристики, основан на интуиции и опыте.
Для математически строгого вывода понятия частотной характеристики следует прибегнуть к преобразованию Лапласа. По-прежнему будем считать, что начальные значения равны нулю. Тогда выходкой функцией ув(1) для входной функции е'"', согласно формуле (12.10), будет у (1) = д (1) * ег ' е! ' ) е ' 'д (т) дт. а отклики ИА специАльные Виды ВОЭБуждения 79 Необходимо, однако, иметь в виду, что формулой (13.14) можно пользоваться только в том случае, когда полюсы функции 6(5) имеют отрицательные вещественные части. Это означает, что собственные колебания системы (см.
стр. 32) при возрастании т затухают. Следовательно, рассматриваемая физическая система является «пассивной», т. е. не обладает внутрен. ними источниками энергии и поэтому сама собой не может начать раскачиваться. Добавим к сказанному, что формула (13.14) описывает установившееся состояние также в том случае, когда начальные значения не равны нулю. В самом деле, ненулевые начальные значении добавляют к полученному решению только сложную совокупность собственных колебаний„ которые при возрастании г затухают до нуля (см.
$14). Связь между частотной характеристикой и откликом на единичныйскачок Технически частотную характеристику можно измерить обычно легче и точнее, чем отклик на единичный скачок. Поэтому целесообразно определять этот отклик путем вычисления из частотной характеристики, конечно, при условии, что последняя существует, для чего необходимо, чтобы полюсы дробно-рациональной функции 6(5) имели отрицательные вещественные части. Если выразить частотную характеристику 6(/в) через ее модуль и фазу, т. е. положить 6 (!а) = ! 6 0а) ) а~о ' ', то можно вывести следующую формулу: () ). 1 ~'~") 51П(Га+ф(а)),(а (1>б) (13 13) о то будут иметь место формулы Уи (Г) = ) 51П ЙО г(а Г гт(а) о Уи (1) = ) соз ЙО йд 2 Г У(а) "й (13.16) (1 > 0).
(13.17) Если же разложить 6(]а) на вещественную и мнимую части, т. е, положить 6 (1а) = 6 (а) + 1)т (а), 80 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. 2 Эти формулы особенно примечательны тем, что каждая нз иих позволяет вычислить ул(() только по одной из составляющих (.> и У. Так как у'„(()=д((), то формулы (13.1б) н (!3.17) позволяют вычислить по частотной характеристике также весовую функцию д(().
й 14. Однородное дифференциальное уравнение и-го порядка с произвольными начальными значениями. Собственные колебания + с,[ВУ вЂ” р(0)]+ + с„у = О. Его решением будет У()(0)с+сл — Ы+»+с>2+с~ + (0) 2 + с 5 + ' ' + с2 + Р (с) (л-2>(0) 2+сл 1 ! [л — Н(0) Р (2) л Р (2) ' (14.2) где по-прежнему для сокращения записи введено обозначение Ел+с„>Ел->+ ... +с>а+ с,= р(а). У всех дробно-рациональных функций, входящих в это решение, степень числителя ниже степени знаменателя, поэтому все они Еглн не имеется никакого возбуждения, следовательно, если физическая система предоставлена самой себе, то она описы- вается однородным дифференциальным уравнением ргл> + сл,у<л " + ...
+ с >у'+ ссу = О. (14. 1) Если все начальные значения для такого уравнения равны нулю, то имеется только тривиальное решение у(() = =О. Поэтому будем решать дифференциальное уравнение (14.1) в предположении, что заданы произвольные начальные значения р(+0), р (+0), ..., р~ >(+0), которые для облегчения записи будем обозначать через у(0), ..., уш-'>(0). Применив правило Ч, составим для уравнения (14.1) изображающее уравнение; мы получим алу — д (О) ал ' — у'(О) ал -' — ...
— рм '> (О) а — »>л '> (О) + + сл, (ал->У вЂ” >((0) зл-2 р'(0) ал-2 р>л-2>(0)] ! и! одпогод!юв дн ььвгснциллы!ов иглвцвнив я-го погядкх В! могут быть разложены на простейшие дроби и затем переведены в пространство оригиналов. Однако если порядок дифференциального уравнения (14.1) высок, то практичнее пользоваться следующим способом, Пусть заданы начальные значения у(0)=у'(0)= ... =у!--~!(0)=0, у! -п(0)=!. 'Тогда решением изображающего уравнения будет 'г'(з) = — = 6 (з), ! и (з) а решением заданного дифференциального уравнения— у(г) - а(() Это означает, что весовая функция и(() обладает следующим важвым и часто используемым свойством: ~(() удовлетворяет однородному дигрференциальному уравнению д" (()+с„й!"-!!(()+ ...
+с!и'Я+сед(()=0 (14.3) и имеет начальные значения д (+ О) = д' (+ О) = ... = ды з! (+ О) = О, д!" и (+ О) = 1. (14,4) Отсюда, на основании правила Ч, получаем ( ) = 6(з) и((), — = з6 (з) ь л' (г), р (е) (!4.5) — зч-!6 (з) ° чв!и-Н (() яр(е) 5~ р (з) за 6 (з) 1 ь йы! (() Слсдовательно, оригиналы, соответству!ощие множитслям при у(0), у'(О), ... в равенстве (14.2), можно составить из производных весовой функции и((), которые очень просто вычисляются.
В результате мы получим у(!) =у(0)(дм и(()+с„.!дь' ~!(()+ ... +су'(()+с!д(1)]+ +у'(О) 1д~" "(()+ с„!д'" "(1)+ ... +сед(()]+ +у!™!(0) И'(()+ с.— а(О]+ + у! — ! (0) и ((). (14. 6) Для определения самой весовой функции д(() следует разложить 6(з), как зто было показано в 5 !2, на простейшие 82 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНШП1Я !гл. з дроби, а затем перевести эти дроби в пространство оригиналов. В результате получится сложное выражение, составленное из а1 функций е а, умноженных, если нули п„имеют кратность й„ па 1, 1, ..., ! ' .
Производные от д(!) имеют такой же вид. Следовательно, у(!) представляет собой линейную комбинацию таких функций с коэффициентами, составленными из начальных значений и коэффициентов с,, Таким образом, если система не получает никакого внешнего возбуждения, то в решение у(!) входят только функции а,1 аи ,Ы вЂ” 1 а!. а! которые называются собственными колебанияаш системы. Такая система, предоставленная самой себе при произвольных начальных значениях, совершает движение, складывающееся линейно из ее собственных колебаний. Численный пример На стр.
59 н 64 мы рассмотрели случай, когда р(э) = (ээ+ 16) (эа+ 10з + 74) = э! + 10эз -1- 90ээ-1- 160Б + 1184 Такой функции р(э) соответствует однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка у1У + 10у"' + 90ра + 160у' + 1184 = О. На стр. 61 мы нашли, что д (!) = — — (20 соэ 4! — 29 Б!п 4!) + еР и (35 соэ 71 — 4 з!и 7!) ! ! 8828 17 374 (напомним, что там у функции 1/р(э) был мне>китель 112, ко- торый здесь отсутствует). Следовательно, 8'(!) = 2482 (208!Н4!+29соз4!)— 4 еР и (203 соэ 7! + 225 з)п 7!), ! йа(!) = — (40СО84! — 5881П4!)— !24! — — е "(280 соз 7! — 1273 Б!и 77), ! 8887 й"'(1) = — !24! (1608)п4!+ 232 соз4!)+ + — е "(10 311 соз7! — 44058)п 7!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
