Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Аномальная система совместных дифференциальных уравнений с невыполнимыми начальными условиями. Решение посредством распределений Случай, когда начальные значения не удовлетворяют условиям, требуемым структурой аномальной системы дифференциальных уравнений, встречается особенно часто именно на практике, Это легко понять, если вспомнить сказанное на стр. 83 об отдельном дифференциальном уравнении. Начальные значения, задаваемые при решении какой-либо задачи, описы.
вают то состояние физической системы в момент времени 1 = О, которое определяется прошлым систелье Следовательно, начальные зпачсния — это те значения, с которыми функции подходят от отрицательных 1 к нулевой точке. Поэтому нх целесообразно называть предельноыси значениями слева и обозна. чать через у( — 0), у'( — 0) и т. д. Требование, чтобы они совпа. дали с предельными значениями справа, т. е. с у(+0), у'(+0) и т.
д., определяемыми функциями при 1) 0 (именно эти предельные значения требуются при преобразовании Лапласа) в общем случае, очевидно, невыполнимо. В самом деле, это требование означает, чтобы будущее состояние (1) О) непрерывно смыкалось с прошедшим состоянием. Но с физической точки зрения нельзя ожидать непрерывного смыкания прошедшего с будущим, так как прошедшее состояние является откликом на какие-то неизвестные бывшие возбуждения, в то время как будущее состояние зависит от заданных возбуждений )(1), которые совсем не должны быть связаны с прежними возбуждениями.
Только в том случае, когда начальные значения, обусловленные прошедшим (1(0), и возбуждения, действующие прн 1) 0 и связанные с начальными значениями условиями совместности (в которые входят те и другие, см, соотношение (16.5)1, согласованы между собой, возможен непрерывный переход от прошедшего к будущему '). Мы видим отсюда„что с физической точки зрения нс оправ. дано опираться на классическое математическое представление и требовать, чтобы функции при 1- +О непрерывно переходили в начальные значения, т.
е. требовать, чтобы эти начальные значения представляли собой предельные значения справа. При ') Как уже было подчеркнуто на стр. 83, в случае отдельного дифференциального уравнения всегда происходит непрерывное смыкание прошедшего с будущим. Причина этого заключается в том, что для отдельного дифференциального уравнения опрсделитель бе11аы1 состоит только из коэффициента при уш>, который всегда не равен нулю, и, следовательно, всегда имеет место нормальный случай. 4а >оо ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1гл. 3 таком подходе решение аномальной системы дифференциальных уравнений в общем случае невозможно.
Если же ввести в рассмотрение также прошедшее, т. е. значения 1< 0, и понимать под начальными значениями предельные значения слева, то рассматриваемые функции и их производные будут иметь в нулевой точке скачки, т. е. разности между у( — 0) и р(+0), между у'( — 0) и у'(+0) и т. д, Вследствие этого теряется дифференцируемость в классическом смысле, та дифференцируемость, которая является необходимым допущением для каждого дифференциального уравнения.
Эта трудносгь отпадает, если решения дисрфервн>1иальных уравнений рассматривать не как обынныв срунк>(ии, и как распределения, и в соответствии с этим заменить обычные производные на обобшенные производные [см. Добавление, формулу (11)), так как обобщенные производные имеют смысл также для функций со скачками. Такой подход позволяет получать математическое описание безусловно существующих физических явлений также в тех случаях, когда на основе классического анализа зто совершенно невозможно.
Далее выяснилось, что понятие распределения допускает применение преобразования Лапласа, хотя на первый взгляд это кажется невозможным вследствие незнания правосторонних начальных значений. Разобьем решение системы совместных дифференциальных уравнений с невыполнимыми начальными условиями посредством теории распределений на два этапа, 1. Начальнь>е значения равны нулю Достаточно рассмотреть одно из решений системы. Обозначим его через у(!). Если все начальные значения (15.6), которые теперь мы будем рассматривать как предельные значения слева уы>( — 0) (т = 0,1,...,и — 1), равны нулю, то это равносильно допушению, что функция у(1), следовательно, и ее производные, а также возбуждения при ! < 0 равны нулю.
В таком случае функция у(1) определена в промежутке — со <1< со. Будем рассматривать теперь у(1) как распределение иэ пространства;У+ (см. Добавление, раздел !!!), элементы которого как раз обладают свойством быть равными нулю при 1< 0 (точнее, регулярному распределению, равному нулю). В соответствии с этим обычные производные следует заменить обобщенными производными, которые существуют и в том случае, когда вследствие неравенства нулю правосторонних производных (предварительно неизвестных) в точке ! = 0 имеются скачки. Конечно, возбуждения следует рассматривать теперь так же как распределения.
А и! системА с неВыпОлнимыми ИАЧАльными услОВиями !О! Система дифференциальных уравнений (!6.2) и (!6.3), рассмотренная на стр. 95, в иовом понимании принимает вид Ру, + у, + 2ух = ! (1), Рзу, + 5у, + ЗРд2 =- О. Применив к этим уравнениям преобразование Лапласа в смысле теории распределений, мы получим в пространстве изображений на основании правила Н' (см. Добавление, раздел Н1) следующую систему алгебраических уравнений: (з + 1) У, (в) + 2УЯ (в) = Р (в), (аз+ 5) У~ (в) + Звуа (в) О. (17.2) Так как эта система совпадает с системой (16.6), если в последней положить а = Ь = с = О, то мы получим решения Уи Ут и соответствующие оригиналы у1, уи положив и Ь =с = 0 так. же в уравнениях (16.7) — (16.10), но при этом будем понимать / уь ут как распределения из пространства Я~.
Мы видим, что, отвлекаясь от этого нового толкования, мы могли бы получить тот же самый результат, если бы применили преобразование Лапласа к первоначальным дифференциальным уравнениям, но вместо правосторонних начальных значений использовали бы заданные левосторонние начальные значения (равные нулю). Выясним, какие лравосторонние начальные значения имеют решения системы (17.1). Эти начальные значения можно получить из ранее вычисленных значений (16.!2), если в последние подставить а = Ь вЂ” с = О.
Тогда мы получим д, (+ О) = О, д', (+ О) = 3) (+ 0), у, (+ О) = — ! (+ 0), (У7 3) Следовательно, решение у~(1) примыкает непрерывно к значению у,( — 0) = О, но зато, если 1(+0) чьО, производная у',(+0) имеет в точке Г = О скачок 3!(+0), а решение ут(!) в той же точке 1 = 0 имеет скачок — 1(+0). Небезынтересно выяснить, каким образом решения, рассматриваемые как распределения, удовлетворяют системе уравнений (17.1). Для этого воспользуемся формулой (12) из Добавления. Если левосторонние предельные значения равны нулю, то формула (12) принимает вид Р у=у~ ~+у(+0)Ь~ и+... +у~ ~(+0)Ь. (17А) С учетом равенств (17.3) мы получим Ру, =д,', Рту, =у",+31(+0)Ь, Ру, у,'-~(+0)Ь, 102 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1гл. з где величины со штрихами представляют собой обычные производные для значений 1> О. Подставив зги выражения в уравнения (17.1), мы будем иметь д', + д, + 2д, = 1 (1), д," + 31 (+ 0) 6+ 5д, + Зд,' — 3) (+ 0) б = О.
Члены, содержащие 6, взаимно уничтожаются и остается система уравнений (16.2) и (!6.3), которая действительно удовлетворяется обычными функциями. 2, Произвольные начальные значения Р"д-д'"'+(д(+ О) — д(-О)]бы и+ .. + [д~ — >(+О) — д<"- ~(-О)) 6. (17.6) Это означает, что правую часть соотношения (17.4) надо дополнить выражением, учитывающим левосторонние производные, следовательно, заменить дел не просто через Р", а через Р"д-д(-О) 6'" "- ... — д' ц(-0)6. (17. 6) Таким путем в рассмотрение вводится прошедшее состояние и учитываются не равные нулю левосторонние предельные значения.
Только после такого изменения дифференциальных уравнений они будут математически правильно описывать физическое явление. С наглядной точки зрения эта процедура вполне понятна: для значений 1 > 0 дифференциальные уравнения совершенно не изменяются, так как 6, 6' и т. д. при 1 > 0 равны нулю, но зато скачкообразные изменения производных в нулевой точке описываются правильно. Заменив в рассматриваемой системе уравнений все производные выражениями вида (1?.6) и выполнив преобразование Лапласа в смысле теории распределений, мы получим, на основании правила 'Ч' (Добавление, раздел 1Н) и формулы (19) Добавления, из каждого выражения вида (17.6) выражение з У(з) — д( — 0)з ' — ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
