Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Обратное значение импеданса, т. е. У(з) = 1/ю(з), характеризует проводимость и называется адмитансол. Итак, мы видим, что замкнутый электрический контур, обладаюший ,г, 7 ипдуктнвностью, сопротивлением г/5/ гх+Р'г и емкостью и описываемый в про- странстве оригиналов ннтегро-дифс ференцнальным уравнением (20.1), в пространстве изображений замеРис. 20.!. Контур с иидуктив- няется контуром, обладающим тольиостью ь, сопротивлением й и хо сопротивлением о(з) и подииемкостью с и эквивалентный плющимся закону Ома.
Поэтому для схематического изображения контура в пространстве изображений не требуется отмечать на схеме условными знаками индуктивности ь'., сопротивления !т и емкости С (рис. 20.1, а). Вместо этого достаточно начертить блок и вписать в него выражение функции ю(з) (рис. 20.1, б), т. е. поступить так же, как было сделано раныпе с передаточной функцией 0(з) при исследовании системы, описываемой одним дифференциальным уравнением.
г, гв Рис. 20.2. Импедаксы при последовательном и па- раллельиом включении. Если два контура с импедансамн х1 и 2п соединены последовательно, то получается контур с импедансом х = Л, + х, (рис. 20.2, а). Если два контура с адмнтансами У, = 1/Х, и У, = 1!2, соединены параллельно, то получается контур с адмитансом У! + Ув (рис. 20.2, б). Описание связей на языке пространства изображений особенно оправдывается в тех случаях, когда несколько контуров соединены в т!ель, так как переход из пространства оригиналов в пространство изображений приводит к замене сложных дифференциальных и интегральных соотношений линейными алгебраическими соотношениями. Покажем это на примере цепи, о го! система уравнении для элгктгичаскоп цепи !1З изображенной на рис. 20.3.
Эта цепь имеет два входных и два выходных зажима, следовательно, представляет собой четырехполюсник, На входе имеется генератор с напряжением еп Ф требуется найти напряжение ео на выходе. ()) Прежде всего отметим Е в каждом контуре величину 1„(!) протекающего в нем е, Щ Я Я ю, е„ тока и произвольно устано- 6 г„,'' вим положительное напранление тока (на схеме — вез- г л де по дви ению стрелки ркс, об.а. Электрическая цепь кз пятя часов). Затем к каждому контуров, контуру применим закон Кирхгофа. При этом учтем, что в контуре, отмеченном через (ь ток в Сг равен (~ — (г; в контуре, отмеченном через 1г, ток в г.г равен 1г — (! и т. д.
Следовательно, уравнения Кирхгофа будут иметь вид с Г. и й1'1+ С „1(!1-(г) (т+(. т (,=е о и 1 Г . г г ((г 14) + ( (зг ез) от + тсг!г + ) (!г — 11) с(т = 0 Ф С,,( с, .) о о Г . Аззз + — ) (гз — !г) дт = 0 Сг о ЛА+ (-г — (!ч — !г) = О Л1 !тз(з = ео Применим к этим уравнениям преобразование Лапласа. Учтя, что, согласно сделанному ныше предположению, цепь до момента времени ! = 0 находилась в состоянии покоя, мы получим в пространстве изображений следующую систему линейных алгебраических уравнений ( 1 1 "+л' с ) ' Е, Сгк С,а 1 1 ! 1 — — 1, +! Его+ Кг + — + — ! Уг — — 1, — Агат„ -о С,з Са Сз! С,а ! 1 ! — — 1,+~Из+ — уз о Сек ~ С, 1 — ьгзтг + (доз + д~) lе О зсзгз — Ео О 114 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ~гл.
з (в каждом уравнении мы расположили отдельные члены в порядке неизвестных величин l„и ЕВ). При достаточном опыте в вычислениях нет нужды выписывать интегро-дифференциальные уравнения. Можно сразу составить соотнетствующие им изображающие ураннения, поступив для этого следующим образом: для каждого контура взять протекающие в нем токи, для каждого из этих токов выписать соотнетствующий ему импеданс, перемножить соответственные токи и импедансы и, наконец, сложить полученные произведения с учетом направления тока. В рассматриваемом случае токи 1, являются лишь вспомогательными величинами, и интерес для нас представляет только напряжение Е,. Его можно вычислить при помощи правила Крамера независимо от величин 1„. Для этой цели в определителе системы изображающих уравнений следует заменить последний столбец (пустые места в нем заполняются нулями), т.
е. числа О, ..., О, — 1 величинами, стоящими справа от знаков равенства, т. е. величинами Е„О, ..., О, и затем разделить новый определитель на первоначальный определитель. Тогда мы получим искомое напряжение Ед в ниде рациональной функции от з, разложив которую на простейшие дроби, найдем оригинал еа. Если цепь в момент времени 1 = 0 пе была в состоянии покоя, то праные части изображающих уравнений следует дополнить членами, зависящими от начальных значений токов 1„и от величин у (см. стр. 111). В общем случае источники напряжения содержатся не только в первом и последнем контурах, но и в других контурах. Следовательно, в случае л контуров система изображающих уравнений будет нметь вид Лн (з)/1(з)+ ... +71„(з)(„(з) Е, (з), Уг1 (з) ~1(з) + + Уь1 (з) Ул (з) = Ег (з) (20А) 2„1(з) !1(з) + ...
+ Е„„ (з) !„ (з) = Е„ (з), где 1„(з) есть ток, приписываемый у-у контуру, а Л„,„(з) — импе. данс, соотнетствующнй току 1, в р-м контуре (если У-й и р-й контуры не име1от общей ветви, то У„„= 0). Если требуется определить тони 1'„(з), то для упрощения не. обходимых вычислений целесообразно принять все напряжения Е„(з), кроме одного, равными нулю. Тогда, сложив а полученных таким путем частных решений, мы получим общее решение.
Сначала выпишем то из частных решений, которое соответствует случаю Е1 ФО, ЕВ = Е,, = ... = Е, = О. Искомое решение обо* значим через 1ун(з). Определитель системы уравнений (20.4) 5 м1 СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ыв равен 2н ... 2М .0(з) = (20.5) Если теперь мы примем не равным нулю произвольное напряжение Е„(з), остальные же Е(з) положим равными нулю, то аналогичным образом получим (20.6) где минор Оя„получается из определителя 0 вычеркиванием р-й строки и т-го столбца.
Введя обозначение мы придадим формуле, определяюшей 1~,"~, ннд 1м~ (з) 0 (з) Еи (з) (20,8) Так же как и в $12, функция 0„„(з) называется передаточной функцией системы, однако теперь в отличие от того, что было в 5 12, приходится иметь дело с па такими функциями. Определин токи 1Ф(з) при сделанных частных допущениях, мы получим токи 1„(з) для произвольных напряжений Е„ЕЙ ... ..., Е„в виде суммы 1, ( ) = ~~.", 0Р„(з) Е„( ). (20.9) В развернутом виде он представляет собой сумму произведений функций вида (20.2').
Для вычисления тока 1„(з) в т-м контуре при помоши правила Крамера заменим величины У-го столбца величинами, стоящими н правых частях уравнений (20.4), т. е. величинами Е~ ФО, Е2 = Ез = .. = Е = О. Развернув новый определитель по элементам у-го столбца, мы получим умноженное иа ( — ))'+' произведение напряжения Е,(з) на минор г„ ... г„ , геуы ... 2.„ .0„(з) ° ° ° г„, ...
г„,, 2„„, ... г„„' который получается из определителя Р(з) вычеркиванием первой строки и т-го столбца. Разделив это произведение на первоначальный определитель О(з), мы найдем искомый ток !!е овыкновенные дич фнгенцилльныв гвхвнвния !гл. з Если в качестве напряжения (действительного, а не преобра- зованного) в !х-м контуре взять импульсную функцию ев (!) = б (1), то ток 1,"'(!) в т-м контуре следует назвать откликом на иж- пйльсное возбуждение. В этом случае Е„(з) = 1, следовательно, !ч (я) = Ояч(з), т. е.
передаточная функция 6„„(з) является 8-изображением от- клика ч-го контура на импульсное возбуждение в р-м контуре. Пусть оригинал, соответствующий изображению 6„,(з), ра- вен д „(1); тогда, выполнив перевод уравнения (20.8) в прост- ранство оригиналов, мы увидим, что действительный ток в т-м контуре при наличии напряжения только в 1г-м контуре равен !'„ш(Г) = а„,(!) * е„(1). (20.10) Следовательно, величину й"„„(!) можно назвать весовой функ- пией для воздействия р-го контура на т-й контур (см. в связи с этим стр. 65 и сноску на стр. 46). й 21.
Начальные значения для аномального случая уравнений электрической цепи Если в уравнения электрической цепи ввести, как это было сделано в й 20 [см. уравнение (20.2)], вместо токон заряды конденсатора, то система ннтегро-дифференциальных уравнений заменится системой дифференциальных уравнений. В $ 20 мы молчаливо предположили, что для этой системы имеет место нормальный случай (см. $ !5). В соответствии с этим мы приняли, что числители всех встречавшихся там рациональных передаточных функций 6„,(з) имели меньшую степень, чем знаменатели, и поэтому соответствующие весовые функции д„,(!) были обычными функциями.
Кроме того, мы без всяких сомнений считали, что решения ураннений электрической цепи удовлетворяют заданным начальным значениям. Между тем и для уравнений электрической цепи может иметь место аномальный случай (ф 16, 17), и притом даже довольно часто. Так, например, для электрической цепи, рассмотренной на стр. !!3 и 114, ток 1з входит в уравнения либо сам, либо под знаком интеграла, поэтому при введении зарядов конденсатора ни в одном из уравнений пе может появится вторая производная заряда конденсатора.
Это означает, что определитель (16.1), составленный из коэффициентов при высших производных, имеет н одной из строк только нули, следовательно, оп равен нулю, н поэтому рассматриваемая система апомальна. Для того чтобы наглядно пояснить, какие соотношения возникают в таком случае, рассмотрим пример более простой, чем на стр. 113, а именно электрическую цепь, состоящую только из двух контуров (четырехполюсник с индуктивностью, сопротивлением и емкостью, рис. 2!.1). Пусть до момента времени 1 = 0 электрическая цепь находится в состоянии покоя, ~ А х лл !ео т.
е. в ней до этого момента нет пи тока„ ни напряжения, ни заряда. В момент времени 1 = 0 на входе е=т/х цепи прикладывается напряжение рвс 2),). Чстырсхволюсивк с е(1). Требуется найти напряжение ввдуктивностью 1., сопротввлеео(1) на снободном выходе. Обозна- вием к в емкостью с. чим через 1 н 1о контурные токи; тогда, согласно сказанному в 5 20 и с учетом того, что 1(1) = = 1о(1) = 0 при 1< 0, ураннения Кирхгофа будут иметь вид 1. — (1 — 1о)+%+3 ~ 1(т)с(т=е(1), о (2 !.!) - — ео(1) где для сокращения записи величина 1/С (обратная емкость) обозначена через 8 (по американской терминологии — эластане). Так как второй контур открытый, то 1о(1) = О. Следовательно, мы имеем только две неизнестные функции 1 и ео, определяемые одним интегро-дифференциальным и одним дифференциальным уравнениями: ) Артюхов)~~1а - (О, ~ о 1.1' — е =О. (21.2) Заменим эту систему с входящим в нее интегро-дифференциаль- ным уравнением системой дифференциальных ураннений.
Для этой цели введем в качестве новой переменной заряд конденса- тора й (1) ~ 1(т) г(т, о Тогда мы получим систему дифференциальных уравнений вто- рого порядка Ьйв+ 1сй+ Зй = е(1), Ы» — е,=О, О он АНОМАЛЬНЫИ СЛУЧАИ УРАВНЕНИИ ЭЛВКТРНЧЕСКОИ ЦЕПИ ! )7 1!8 овыкноввнныа диоеврвнцилльныв грдвнвния !гл. з или (Ьзз + Яз + 3)! = зЕ, Ез1 — Ео-— - О, (21. 3) решениями которых будут 1( ) =,+з Е(ч), (21 А) (21.5) Хотя ток !(1) нас не интересует, все же вычислим его.
В уравнении (21.4) множигель А(з) перед Е(з) имеет в числителе степень, меньшую чем в знаменателе, поэтому для него существует оригинал а(1), После перевода уравнения (21.4) в пространство оригиналов мы получим !'(1) = а (!) е е (!). (21.6) Так как при 1(О ток !(1) был равен нулю, то, рассматривая г(!) как обычную функцию, а не как распределение, мы должны считать для 1(!) заданным начальное условие !'( — 0) =О. (21.7) Далее, уравнение (2!.6) показывает, что !'(+0) =О, (21.8) ') Такие же изображающие уравнения мы могли бы получить, если бы к уравнениям (212) применили правила ч' н !Х для обычных функний и, кроме того, вместо правостороннего предельного значения !(+О), необходимого при преобразовании Лапласа производной !', испольэовали бы левостороннее предельное значение 1( — О), равное нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
