Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Некоторые авторы — инженеры считают дифференциальное уравнение вида (!8.4), в котором слева и справа применяется к искомым и заданным функциям один и тот же оператор, «правильным» уравнением и посвящают ему подробные исследования, между тем как при по-настоящему правильном подходе к решению системы дифференциальных уравнений уравнение (18.4) вообще не появляется. 9 19. Система дифференциальных уравнений со структурой, различной в отдельных интервалах Как мы неоднократно видели, одним из пренму!цеста преобразования Лапласа по сравнению с классическим методом решения дифференциальных уравнений является автоматический учет начальных значений. Это преимущество особенно выгодно проявляется, например, в тех случаях, когда постоянные системы и возбуждающие функции не универсальны, т.
е. не остаются неизменными для всех ( > О, а скачкообразно изменяются, как только одна из неизвестных становится больше или меньше некоторых определенных значений. Так происходит, например, в случае системы регулирования, обладающей зоной нечувствительности, внутри которой регулируемая величина мо- 4 !Ь! УРАВНЕНИЯ СО СТРУКТУРОЙ, РАЗЛИЧНОЙ В ОТД.
ИГ!ТЕРВАЛАХ 107 жет изменяться, не вызывая включения регулятора. Интегрирование уравнений, описывающих такую систему, следует выполнять только до того состояния, цри котором соответствующая неизвестная достигает своего критического значения; затем, определив здесь значения неизвестных и приняв нх за новые начальные значения, надо продолжить интегрирование до следующего критического состояния и т. д.
Пронллюстрнруем зтот способ на примере, взятом из практики расчета системы регулирования с зоной нечувствительности'). Пусть исследуемая система описывается двумя дифференциальными уравнениями с двумя неизвестными у!(1) и уа(1): у',+ 26у, — (62+ ать) у = си(1), 0 при ) у, !~(т1, уг 1 — у, + (з(ппу)т! при (у, ~) ТЬ где 6 есть мера затухания, а ег — круговая частота. Начальные значения пусть равны у, (+ О) = О, у, (+ О) = О. Первое уравнение имеет обычный вид и содержит в правой части возбуждающую функциго, равную кратному от единичного скачка.
Второе же уравнение иного рода: оно предписывает, чтобы производная ут была равна нулю до тех пор, пока функция у!(1) изменяется в промежутке от — т! до +21, и становилась равной — у!(1)+. ТЬ как только у!(1) выходит из границ указанного промежутка, причем знак перед величиной т! должен совпадать со знаком величины у!(1), Так как у!(+0) = О, то вначале безусловно будет (уг) <21, следовательно, у'(1) = О, а потому на основании условия у,(+0) = 0 функция уа(1) в течение некоторого промежутка времени равна нулю. Таким образом, первое уравнение для некоторого промежутка времени справа от 1= 0 приводится к уравнению у', + 2 бу, = си (Т).
Предположим, что зто уравнение имеет место для всех г ) О, н применим преобразование Лапласа, что не помешает нам затем использовать полученное решение только до определенного значения ! = Тн Изображающее уравнение вследствие условия 1) Описание этой системы регулирования, вывод ее уравнений и последуюнпгй расчет см. в статье: 01депЬон гя й., Апмепднпя г!ег 1.ар1асеТгапь!оггпацоп Ье1 аЬьсьпгиьме1ье Ппеагеп Пеяемогяйпвеп, помегпенной в книге: О1е Ьар1асе-Тгапь!агота!!оп ппг! йге Апмепг!нпя 1п дсг Ггеяеьнпяьтесьпй (приложение к мгурналу «йеяе1нпяь1есьпйь), стр. 104 — 114, 01депЬонгд-Чег.
1ая, Мйпсьеп, 1955. !08 овыкноввнныа диоеерйнцилльнын нрлвнания и'л. 3 уг (+ О) = О имеет вид с з)г! + 2 бу! = —. Его решению с с /! ! и (з + 26! 26 ! з з + 26 ) соответствует оригинал у,(/) = — (! — е тсг). Для 6 > О эта функция возрастает монотонно от нуля до значения с/26.
Если с т! (рис. (9.1), то всегда будет у!(/) < Ч, и во втором дифференциальном уравнении всегда надо брать для правой части первую строку. Это означает, что функция у!(/) имеет только что найденное выражение, а функция ут(/) = О при всех ! > О. Если же Ч( то имеется такое значение ! = Ть при котором функция у!(Т!) становится равной Ч. Это значение Тг определяется уравнением (! е-т ст ) йй откуда имеем ! с Т, = — !п —. 26 с — 26Ч ' рис. !з,!, Графики регулируемой н регули- Выберем теперь морукинсй всличии Аля системы рсгулнрова- мент времени Т~ за нання с зоной нечувствительности.
чальную точку новой шкалы времени /ь положив для этого / = /, + Т!. Штрихи, отмечающие дифференцирование, теперь будут означать дифференцирование по /!. Так как, начиная с момента времени Ть функция у! )~Ч, то теперь во втором дифференциальном уравнении следует взять для правой части вторую строку, и система примет вид у',+ 2ду! — (ба+сот)у, = си(Т, +/,), у + Уз= Ч причем начальными условиями будут Тн(Т,+О)=П, у,(Т<+О)=О (так как до момента времени Т, функция уз все время была равна нулю).
Опять предполом<им, что эта система имеет ме- сто для всех моментов времени (! > О, и выполним преобразо- вание Лапласа; мы получим изображающие уравнения — + 2 бу — (бт+ т) — с из которых найдем с+ — + (д!+ с!!)— с ! у ч 1 Ч с!Ч 2б .Рбсб и! у = 26и — с 2 с(с! ! 2ЗАЧ азР<б!) Для обратного перехода в пространство оригиналов воспользуемся соответствиями № 47 и 48 нз таблицы в конце книги и правилами !Ч н Ч: — Е З(П б11„ -б! с (с-) б)сЧ-<бб «1, <<б — ~ — е з(п б!(1~) — е ' ( — б з(п е1! + <з соз бб! ) 1 ! Ьс+б!! ! с-Ра с(( +З)1+„з! с (с са)~Ч !б! Ь (с+ 6)1+ б!с ь ! — е-б<~созбб( — — е б!1з(па(.
1 „!' Выполнив вычисления, мы получим Тн (Т1-) Т,) = т! ~ ! + — ~ — — 2б) е бп з)п <б(!1, рз((1+ Т1) =,, „„, ! ! — е и ~ — з(п <с(1+сов<в(1)~. Мы видим, что функция уь имея в момент времени Т! = О зна. чение ть в дальнейшем изменяется как затухающая синусоида, следовательно, сначала возрастает, а затем уменьшается, вновь достигая значения т( в некоторый момент времени (! = Тз. Этот момент времени, определяемый из уравнения зйп <АТ, = О и равный и Т2 б! ! з 19) уРАВнения со стРуктуРОЙ, РАзлично!т В Отд, интеРВАлАх <о9 Ий ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ.
3 мы опять примем за начальную точку новой шкалы времени 1ь Начиная с момента времени 1, = Т,, т. е. с 1э = О, во втором дифференциальном уравнении следует взять для правой части опять первую строку, так как теперь у, ( гь Новыми начальными значениями будут я1 У,(Т,+ Т,+0) =и, Уе(Т,+ Т,+0) =,„, 11+ — с Так как у,', начиная с момента времени 1э = О, равно нулю, то уэ сохраняет прп 6 > 0 найденное постоянное начальное значение, а функция у~ определяется из уравнения у', + 2 йу, — (б'+ иэ) у, (Т, + Т,) = си (Т, + Т, + 1,). Из предыдущего ясно, как этот процесс должен быть продолжен дальше. й 20.
Система уравнений для электрической цепи Т. —, + Ю + — ) 1(т) в(т =- в (1). гл . 1 (20.1) Это интвгро-ди44срснциалвнос уравнение, определяющее ток 1(1), можно преобразовать в дифференциальное уравнение второго порядка ' — '+~ а,+С =с(1), УА (20. 2) Прн определении токов и напряжений в электрических цепях получается система функциональных уравнений, очень похожая на систему дифференциальных уравнений, рассмотренную в 5 15, но в одном отношении существенно от нее отличающуюся.
Вследствие важной роли, которую в современной технике играет теория электрических цепей, выполним решение этой системы при помощи преобразования Лапласа. Рассмотрим сначала одиночный замкнутый электрический контур с сосредоточенными параметрами: индуктивностью Т., активным сопротивлением Й и емкостью С. В этом контуре находится генератор, создающий переменное во времени напряжение в(1), которое вызывает в контуре ток 1(1). Падение напряжения равно ЕЖ1Ж на индуктнвности, % — на сопротивлении и 1 — ~ 1(т) г)т — на емкости. Согласно закону Кирхгофа, сум- 1 С марное падение напряжения в контуре равно приложенной электродвижущей силе е(1), следовательно, имеет место урав- нение Ф аа СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ы! если в качестве новой переменной ввести заряд конденсатора й(Е) = ) с(т) с(т или если продифференцнровать уравнение по Е.
Последний прием возможен только в том случае, когда функция е(Е) дифференцируема, но именно этого часто не бывает, например, если е(Е) является разрывной функцией. Однако для применения преобразования Лапласа нет никакой необходимости заменять уравнение (20.1) дифференциальным уравнением. В самом деле, положив с о ~ Е(т) с(т ~ с'(т) Ест+ ~ с'(т) с(т = ~ Е(т) с(т+ у и применив к левой части этого соотношения правило тсП, мы получим с с (т) осто-« -1(8) + —, ! т Ю после чего сразу сумеем перевести уравнение (20.1) в пространство изображений.
В дальнейшем в целях лучшей обозримости вычислений примем, что контур в момент времени Е = 0 находился в состоянии покоя, т. е. что с(Е) =-0 при Е(0, следовательно, у = О. Тогда для уравнения (20.1) соответствую- щим ему изображающим уравнением будет 1,81 (8) + и (8) + С 1 (8) = Е (8). Введя для сокращения записи обозначение Аз+ЕЕ+ С =г(8) 1 2 (8) 1 (8) = Е (8). (20.2') мы получим (20.0) В $12 мы ввели для функций 1(Е) и у(Е) в пространстве оригиналов названия «входная функция» и «выходная функция» и затем перенесли эти названия на соответствующие функции в пространстве изображений.
Поступим так же и здесь и назовем функцию 1(8) током, а функцию Е(8) — напряжением. !!2 опыкновзннып диоопппнцнлльнып ивлвнвния !гл. в Тогда на языке пространства изображений уравнение (20.3) будет выражать не что иное, как закон Ома, если только функцию 2(з) назвать сопротивлением. Однако вместо этого названия для функции 2(з) принят термин импеданс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
