Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Обычно левая часть нелинейного дифференциального уравнения состоит из линейной части такого же вида, как и в 5 12, и из нелинейной части Ф(у, у', ..., у< >), следовательно, уравнение имеет вид л ~ с,у'"+ср(у, у' °, у' ') =1(1). (22.1) л 3 В случае электрического контура в левой части вместо линейного дифференциального выражения может стоять интегро-дифференциальное выражение вида (20.1).
Применив к уравнению (22.1) преобразование Лапласа и введя для сокращения записи обозначение л ~~'.~ с,з'=- р(з), л-< мы получим изображающее уравнение р(е) г'(з) — е(з, у(0), у'(0), „у'л и (0))+с(Ф(у, ...))=г" (з), (22,2) где д есть многочлен относительно з, зависящий от начальных значений (см. 5 14). Решив уравнение (22.2) относительно У(з) и введя для сокращения записи обозначения — = 6 (з), г (з) + е (з, у (О), у' (О), ..., ум- " (О) ) = Н (з), !24 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !гл. з мы будем иметь У (з) = 6 (з) Н (з) — 6 (з) 0 (Ф (у, ...)), (22.3) Изображению У(з) соответствует в пространстве оригиналов функция у (!) = д (!) .
й (!) — д (!) . !1ю(у, ...) = -д(С)юй(!) — ) д(1 — т)Ф(у(т), ...)йг, (224) ю где й(!) есть оригинал, отвечающий известному изображению Н(з). Уравнение (22.4), определяющее у(!), представляет собой нелинейное интегральное уравнение, которое можно решить обычным образом путем последовательных приближений. Если пренебречь нелинейным членом Ф, то в первом приближении получается решение линейной задачи, уже известное из $ 12 н 14, а именно: Ую(!) — й "" Введя эту функцию в правую часть уравнения (22А), мы найдем второе приближение: у!(!)=ую(!)-) у((-т)Ф(ую(т)," )«т. ю Повторив эту операцию и раз, мы получим у.
(!) = у (!) — ) у(! — ) Ф (у.— ( ), " ) й ю (22.5) (22.6) Если функция Ф достаточно регулярная, то решение у(!) получится как 1ип у„(!). На практике ограничиваются вычислением и-ъм лишь нескольких приближений и затем выясняют, приближаются ли оии к предельной функции, что, конечно, может иметь место только в некотором промежутке 0 ( ! 4 (ю. Такой метод, пригодный для расчета переходного процесса, не позволяет сделать никаких выводов об устойчивости системы (о ее асимптотическом поведении). Рассмотренный процесс аппроксимации можно упростить, если прибегнуть к преобразованию Лапласа. Применив это преобразование к уравнению (22.5) и использовав теорему свертывания, мы будем иметь У (~) = У ( ) -2Ы2'(Ф(у.-~ )) з зз! нвлинвиные диеевгвнцилльнык уядвнени я 125 Возвратимся в пространство оригиналов, но уже без применения теоремы свертывания; тогда мы получим Уа(г) = Уз(!) и ((г(з) 2(Ф(У -! ° ))) (22.7) Если для изображения 0(з) В(Ф(у„ь ...)) легко определить соответствующий ему оригинал, то вычисление функции у„(г) по формулам (22.6) и (22.7) осуществляется значительно проще, чем по формуле (22.5), так как отпадает необходимость трудного интегрирования.
Поясним этот способ на конкретном примере. Пример Исследование одной системы регулирования привело к нелинейному уравнению') у" + (2 + аут) уа Р (1 + йу') у = О. Выделив линейную и нелинейную части, перепишем это уравнение в таком же виде, как и уравнение (22.1): (у" + 2у'+ у)+(ауту'+ йут) = О. (22.8) Выполнив преобразование Лапласа '), мы получим изображающее уравнение (з + 2з + 1) 1 (з) У (О) а — у' (0) — 2у (0) + 2 (ауту'+ (гуз) = О откуда найдем у (О) з+ р' (О) + 29 (О) 1 (з + 1)з (,), (ау у'+ Ьу ). Предположим, что начальными значениями будут у (О) О, у'(0) = с ~ О. Тогда У( ) п(,узу .ьйуз) ') Описание этой системы см. в статье Ма1п ась йа Н., %сЬ!!!пеагр 1а!еп ип Ггея!сг гпг тгегьеглегппя бег Педе12н1е, помещенной в книге Рене!ггпаз!есьп()г, Мобегпе ТЬеопеп нпд 1Ьге ЧеггчепбЬагйе11 (Вег!сЬ1 0Ьег гне Танцпп )п Не)бе1Ьегк, 1956), ОюепЬопга 'ггег)аа, !957, стр.
172 — 177. В этой статье нелинейное дифференциальное уравнение заменено разностным уравнением, решение которого выполнено численным путем для разлнчнык значений параметра. Полученные результаты представлены в виде кривых. з) Решение этого уравнения посредством преобразования Лапласа дана в статье (котя а с)г( Р. Л, 01е Веьапд!ипа топ п!сйппеагеп Ргоыегпеп !п бег Кеае)ппаз(есйп)й, Кеае)ппаз1есЬпгй 8 (!960), стр. 47 — 50.
В этой работе полученные первые приближения для отрезка 0 < Г < 1,5 изображены в виде кривых н сравнены с результатами, найденными посредством исчисления конечных разностей. 126 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (гл, з Отбросив второй член справа, мы получим первое приближение с уа(з) — (э + 1)з г которому в пространстве оригиналов соответствует приближение уа(1) =с!е '. Получив это приближение, вычислим нелинейную часть уран. нения (22.8).
Мы имеем у' = ст!зе " уз = сэ(зе-зг у' = с (( — !) е-'. следовательно, аузоуо+ (гуот = ст(ага+ ((г — а) (з) е-зг или, после выполнения преобразования Лапласа, з з/ 2а 6(Ь вЂ” а) ! ~(~УеУо+~У1 С (( +3)з+ ( +3) )' Таким образом, вторым приближением в пространстве изобра. жений будет с 2ас' 6 (Ь вЂ” а) с' ! ( ) (з + !)' (з + 1)'(з + 3)' (з + 1)' (з + 3)4 Соответствующий оригинал уз(() мы найдем способом, изложен- ным в 3 (2, после разложения дробно-рациональной функции на простейшие дроби, Для сокращения необходимых вычислений примем, что 5 = а, вследствие чего последний член в правой ча- сти отпадет.
Тогда после разложения на простейшие дроби мы получим с 2 з ( — 3!16 1/3 3116 1/4 1/4 (з+1)' т э+1 + (з+1)' + э+3 + (з+3)з + (з+3)')' Оригиналом для этого изображения будет у, (Е) = с(е-' — 2ас' Ц вЂ” —,. + 3 !) е-'+ ~ —,6 + 4 г+ — 1') е-зг~. При вычислении следующих приближений мы получим, очевидно, ряд по показательныы функциям, умноженным иа многочлены относительно ('). ') Другой приближенный метод, также основанный на использовании преобразования Лапласа, см.
в статье: Н ау и о в Б. Н. Приближенный метод вычисления переходных процессов в системах автоматического регулирования, содержащих нелинейные элементы, помещенной в книге, цитированной в сноске 1 иа стр. !25. Краткое изложение этого метода можно найти в статье Новацкого, цитированной в сноске 2 на стр. 125. О различных способах, позволяющих получать с помощью преобразования Лапласа решения нелинейных дифференциальных уравнений в смысле теории возмущений в виде рядов по степеням некоторого параметра, см.
в книге. Р)рея (.. А., Орегаиопа! ше!йобз 1и поп1шеаг птесйап1сз, ()очес Риыкаиопэ, (Чечг Уогк, !965. ГЛАВА 4 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ й 23. Общие указания о применении преобразования Лапласа к уравнениям в частных производных') В уравнении в частных производных неизвестной является функция нескольких независимых переменных.
Мы рассмотрим здесь только случай двух независимых переменных, которые обозначим через х и з; неизвестную функцию обозначим через и(х, з). Для уравнения в частных производных всегда необходимо заранее указать область определения функции и(х,(), т. е. ту область плоскости хг, внутри которой должна быть опреде. лена неизвестная функция. Для уравнений которые мы будем ах а Рис. 23.!.
Разлнчнме области определения функпик рассматривать в этой главе, введем следующее принципиальное условие: примем, что переменная 4 изменяется на полупрямой 0 л 1 ( оо, а переменная х — в конечном или бесконечном промежутке. Следовательно, в зависимости от того, изменяется лн х в конечном промежутке, на полупрямой нлн на всей прямой, обласгью определения функции и(х,1) в плоскости х( будет либо полуполоса, либо четверть плоскости, либо полуплоскость (рис. 23Л).
~) Читателю, совершенно незнакомому с материалом настояшеа главке рекомендуется прочитать $23 сначала только бегло, затем разобрать пример, решенный в й 24, н только потом вновь вернуться к $23 для его тщатель. нпгп научения. еьлвннния в члстных пгонзводных [гл. 4 Для того чтобы из бесконечного множества функций, удовлетворяющих уравнению в частных производных, выбрать вполне определенную, необходимо задать на границах области определения искомой функции некоторые условия. На практике встречаются условия двух родов: либо задаются значения самой функции или некоторых ее частных производных, либо задаются некоторые соотношения, связывающие между собой эти величины.
Сказать что-лнбо общее о числе и виде этих условий заранее нельзя. Однако для уравнений в частных производных, встречающихся на практике, всегда момсно указать, исходя из физических особенностей рассматриваемой задачи, какие условия могут и должны быть предписаны для того, чтобы существовало однозначное решение. Если переменной 1 является время, то условия, существующие на горизонтальной границе г = 0 области определения (т.е. вдоль промежутка на оси х), называются начальными условиями, а условия на вертикальных границах (если таковые существуют) — граничными условиями. Если мы хотим применить к уравнению в частных производных преобразование Лапласа, то мы должны выполнить его для функции и(х, Г) и для всех ее производных, входящих в уравнение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
