Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Частные случаи граничных значений Приведем решения уравнения теплопроводности для случаев, когда на правом конце проводника тепла температура ар(1) =О, а температура ар(() на левом конце изменяется по законам, выражаемым некоторыми простыми, часто встречающимися функциями. 1. Пусть ар(П = 6(г) = импульсу, следовательно, Ар(з) = 1. Тогда прн бесконечной длине ! проводника мы будем иметь и (х, г) = ф (х, г), а при конечной длине 1 и(х, () = и„(х, Г).
В рассматриваемом случае граничная функция 6(1) дает идеализированное описание теплового взрыва в точке х = 0 в момент времени г = О. Функцию Грина ф или соответственно функцию ир можно понимать как распределение температуры, возникающее вследствие этого взрыва. 2. Пусть ар(1) =и(1), следовательно, Ар(з) = 1/з. Тогда при бесконечной длине проводника изображение У(х, з) равно У (х з) е-л1 л Этому изображению соответствует оригинал и(х, г) =ег1с — '" (х)0, Г>0) (24.!5) 2'г' г (см.
соответствие № 168 в таблице в конце книги). При конечном 1 изображением У(х, а) на основании равенства (24.11) будет У(х,з)= — Ур(х, з)= ~ е-~Р +»' ~~ е-Р ~- и~ л ! 139 »плвпгпис теплопповодиости следовательно, и (х, 1) = ег1с =+ у "ег1с — — ег(с 1. (24,18) 2»гТ 1 2)/! 2 Рг! л ! 3. Пусть ап(!) — ез"г.
Тогда прн бесконечной длине проводника решением будет и(к, г)=е/о'тф(х, г) =еды ) е-сп'тр(х, т) Ыт. (24.17) о Установившееся состояние, к которому стремится и(х, г) при оо, можно определить аналогично тому, как мы это сделали в 5 13 при рассмотрении частотной характеристики. Так как изображевие 2(ф(х, 1)) при з = )ю сходится, то О .о, и= " 1.-'"ть, чг -1.-'"т(* )«) = О -. (.-* "— 1*- то.чь~. Второе слагаемое в скобках при 1- оо стремится к нулю, следовательно, установившееся состояние определяется функцией й (х, 1) =е-"Пор егнг, (24.!8) или й(к, г) =е — !гпгтгег("'-» ~та), (24.19) так как 1= егпгт, 7пт = егпи соз — +/яп —" = — (1+ 1), и ..
п»г2 4 ' 4 2 Таким образом, функция й представляет собой колебание с такой же круговой частотой, как у граничной функции, но с амплитудой и начальной фазой, зависящими от х и от. Множитель 6 фо) =е 'П"' =2(т»(х, 1)), гп может быть назван, как и в 5 13, частотной характеристикой температуры в бесконечно длинном проводнике тепла. 2. Начальная температура произвольна, граничные температуры равны нулю Теперь необходимо решить неоднородное уравнение (24.4) при граничных условиях и(+о,.)-о, и(1 — о, )=о.
Если у читателя ие имеется под руками какой-либо книги по УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 140 1гл. 4 дифференциальным уравнениям, из которой он мог бы взять решение этой краевой задачи в готовом виде, то для отыскания решения можно поступить следующим образом. Найдем посредством преобразования Лапласа решение уравнения 1>" — эс> = -ио(х) при заданных начальных условиях с>(0) = 0 и 1>'„(0) и затем подставим в это решение х = !. Мы получим соотношение между У,(0) и !>(!), которое позволит выразить с>х(0) через (1(!). Подставив это значение 1/х(0) в найденное решение, мы будем иметь с! (х, э) = ) Г (х, $; з) иО (В) Н$, 0 где ОЬ а г' О О!> (! - х) г' х (24.21) при х ч.:; Р (1, Г (х, $; з) = Рассмотрим сначала случай ! = Оо, для которого Г принимает вид = е-х У' ВЬ $ 'у' з е-1УО- з)> х ЬУВ )'г прн 0($(х, (24.22) прн х ($ (~~.
Г (х, В; з) = Выразив гиперболический синус через показательные функции и использовав соответствие 1 — 1 =е АУ' " Π— е "!"'=Х(я !) я~0 (24.23) который в противоположность изображению имеет во всем промежутке (О, Оо) одинаковый вид. Наконец, заменив в интеграле (24.20) верхний предел на чо и перейдя в пространство оригиналов, мы получим ц (х, !) = 2 ) 1Х (з х !) Х($+ х, !)1 и~ $) >К~. (24.25) (см. таблицу в конце книги, соответствие № 160), мы найдем для иэобра>ксиня Г оригинал 7(х' з' !) 2 1Х — х, !) ХИ+ х, !)1 (24.24) З 251 снстемА уРАВнений для ВВухпроВодноп липин ы Если ис(к) при х-+с имеет предельное значение, то этот интеграл сходится нри х > О, ( > О. В случае конечной длины проводника поступим так же, как и на стр.
136. Заменим в выражении Г(х, $; з) гиперболические синусы показательными функциями, развернем получившееся выражение в ряд и применим к каждому члену этого ряда обратное преобразование Лапласа. Тогда в качестве оригинала для изображения Г мы найдем у(х $' т)= — ~~ (Х(2п1+х — ~; 1) — т,(2п1+х+ й, Г)), (24,26) следовательно, решением краевой задачи будет и (х, Г) = ~ у (х, Е; 1) ис ($) 5$. о (24.27) Выражение для у в виде (24.26) особенно удобно при малых 5. При больших 1 лучше пользоваться для у другим выражениелц указанным во второй строке соответствия № 188 из таблицы В конце книги.
Функции у(х, $; т), и,(х, () и и~(х, Г) мо~ут быть выражены также через тета-функцию да, известную из теории эллиптических функций. й 26. Система уравнений для двухпроводной электрической линии с распределенными параметрами Рнс. 25.6 Электрическая двухнроаолная линия с раснрелеленнымн нараметрамн. Если электрическая линия настолько длинная, что ее параметры (сопротивление и т.
д.) не могут рассматриваться сосредоточенными в отдельных точках, то в такой линии напряжение е и ток 1 зависят не только от времени й но сй;Гу л ал 5 Ул и от координаты х, измеряющей длину, следова- нхт, ю 5'дт о ~ел тельно, являются функциями е(л, 1) и 1(л, 5). Если линия состоит из двух параллельных проводов, то токи 1(х, 5) в точках обоих проводов с одинаковой координатой х равны по величине, но направлены в противоположные стороны.
Функция е(х,() определяет разность потенциалов между проводами в точке х. Пусть тс есть сопротивление, 7. — индуктивность, С вЂ” емкость, ст — утечка нз одного провода в другой (рис. 25.1), причем все эти величины отнесены к единице длины. Тогда для 149 уРАв!!ения в члст>!Ых произнод!!ых 1гл. ! рассматриваемой двухпроводной линии имеет место следующая система уравнений в частных производных первого порядка: д' + с дг + тс! = О, — +С вЂ” + бе =О. д! де дх д! (25.!) Для того чтобы привести зту систему к одному уравнению в частных производных второго порядка для функции е(х, 1), перепишем уравнение (25.1) в виде Продифференцировав первое уравнение по х, мы найдем Подставив сюда дг/дх из второго уравнения, мы получим так называемое телеграфное уравнение д.
=(Т. дг+)~)~Сдг+С)е, или д, =ЕС дг, +(Ж+ЯС) д, +Ибе. (25.2) Такое же уравнение получится и для тока г(х,1), При гс = 6 = = О телеграфное уравнение переходит в волновое уравнение дае дге — =ВС— дха ды ' а при г'. = 0 = О в в уравнение теплопроводности д'е де — )сС— дхт д! (уравнение кабеля Томсона, см. $ 24). Однако для дальнейшего исследования мы будем пользоваться не уравнением (25.2), а системой уравнений (25.1), причем предположим, что в момент времени ! = О двухпроводная линия была в покое'), т.
е. примем, что е(х, +О) =1(х, +О) =О. (25.3) ') Полное решение для случая произзольиого начального состояния бесконечно длинной линии можно найти я кинге: Чое!хе г Р. нпд Рое1зсЬ О., Ьне тжеьенпепзыпа1е Еар1асе-тгапз1оппа11оп, В1гййанзег Чег1ак, Вазе!, 1999, стр. 74, а также е книге: Рое1зсЬ Сз., Напдьнсй бег Ьар!асе-тгапз1оппа11оп, т. 3, В1!гйьанзег Чег1ад, Вазе!, !9бб, стр. 49, Применив к уравнению (25.1) преобразование Лапласа, мы по- лучим изображающие уравнения + Еай (х, з) + И (х, з) =- О, 1 (25.4) + СзЕ (х, з) + ОЕ (х, з) =- О.
~ Это есть система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которую мы можем решить, применив еще раз преобразование Лапласа (на этот раз по х), при условии, что начальные значения Е(0, з) и 1(0, з) можно рассматривать как известные. Это означает, что соответствующие им оригиналы е(0, !) и ((О, !), т. е. напряжение и ток, в начале линии заданы, Введем обозначения ~ е-"*Е (х, з) дх = Е, (у, з), ) е-у"1 (х, з) г(х =. 1, (У, з), о е Применив теперь к системе (25.4) преобразование Лапласа пох, мы получим следующую систему линейных алгебраических уравнений: УЕ, (у, з) — Е (О, з) + (Ьз + )1) 1, (у, з) = О, у1, (У, з) — ! (О, з) + (Сз + 6) Е, (у, з) =- О, (25.5) из которой легко найдем Е(О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
