Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Положив / 1 1р(1) н имея в виду соответствие 1 ' °, „К(з) (а<1), мы получим для Ф(е) изображающее уравнение Ф(е)= 6(з), !Аз и!1тегРАлъпые уРАВ11еиия и иитеГРАльные соотношения (гл. 5 решением которого будет (з)= а Г (! — а) юа Так как 1 !а-1 — а — (а) О) оа то изображению Ф(з) соответствует орип1нал Г (а) Г (1 — а) (Обратим внимание на то, что при прямом преобразовании мы приняли юх < 1, а при обратном преобразовании юх > О, следовательно, в целом О < со <!.) Так как, согласно известной формуле, 1 Мп ап Г(а)1'(1 — а) и то явным выражением для функции гр(() будет мп ал о Отсюда на основании теоремы 26.! и при условии, что функция д(() дифференцируема и при ( = О непрерывна, следует !«1=а«1="' [ю!ю!С-'ю).'-'ю!ю —.!ю~.

!ююю! о й 27. Интегральные соотношения В й 26 мы исходили из уравнения для неизвестной функции, в состав которого входил интеграл типа свертки, и переводили зто уравнение посредством преобразования Лапласа в алгебраическое уравнение. Теперь поступим наоборот: будем исходить из алгебраического уравнения для известно!х функций и переведем его посредством обратного преобразования Лапласа в соотношение, содержащее интегралы типа свертки. Такой прием позволяет просто получать некоторые важные интегральные соотноиюения для функций, встречающихся в физике, в то время как вывод таких соотношений прямым путем иногда крайне труден. Приведем несколько примеров.

!п!теГРАльнып саотношн!ия О 27! !57 В теории теплаправодности приходится иметь дело с функцией двойного источника ф (х !) — «и -«чи 2,1п еи« !см. формулу (24.8)). Для пее мы имеем соответствие ф(х, С) е-''' (х)0). Применив к равенству е «2«' е "'' =е ы+"'' (х,)0, х,)0) обратное преобразование Лапласа, мы получим для функции ф интегральное соотношение ф (х!, !) о !от(хо, !) =ф(х + х2, 1), (27.1) которое в явной записи имеет довольно сложный вид. Если мы попытаемся получить это соотношение прямым вычислением его левой части„то увидим чта для этого понадобится весьма кропотливая работа. Для функции Бессе,гя «о часто встречающейся в физике, мы имеем соответствие «о(«)' ' («он !)п2 ' Разложим изображение на множители следующим образом: ! ! 1 «+ !)и2 ! ! )и2 ( ди2 ' Тогда, приняв ва внимание, что г( — ' 2 -П2 -о«[,Я и применив теорему свертывания, мы будем иметь го(!) = — (( '"е ")о(( '"е") = — ~ т-иое '(( — т) ияе2н-'>йт= о = — ен ) т и'(( — т) и е 2!'йт„ ! и о !ЕЗ ИНТЕГРАЛЫ!ЫЕ УРАВПШ2ИЯ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ !ГЛ.

О или после подстановки т = Ги l,(1) = — е!'~ и-'!'(1— о ! [ еги!-2м [и (1 о и) Е '!Рог(и= — и)) о'ди. Положив 1 — 2и=о, следовательно, приняв ! — о и=— 2 2+о 1 — и=— 2 мы получим формулу +! 7„(Г) ' ~ е!22 (1 оо)-!!2,(о (27.2) которая после подстановки о=-созф, 1 — о' з(поф переходит в так называемый интеграл Пуассона Д !2/2 Уо (1) = — [ еи""ч с(ф = — [ соз (1 соз 2р) 22ф. (27.3) Г 2 Г Приведенные примеры достаточно убедительно показывают, что глубоко скрытые свойства некоторых функций часто могут быть очень просто и наглядно обнаружены посредством преобразования Лапласа.

ГЛАВА 6 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ $ 28. Комплексный интеграл, осуществляющий обратное преобразование Лапласа Решение функциональных уравнений (дифференциальиых, разностных, интегральных) посредством преобразования Лапласа производится всегда таким образом, что заданное уравнение отображается из пространства оригиналов в пространство изображений, а затем решается изображающее уравнение, Последний и обычно самый трудный шаг состоит в вычислении оригинала, соответствующего найденному изображению, Важнейшим средством для вычисления оригинала по изображению является комплексный интеграл (2.8) а+!г ) (Г) = 1пп —. ~ еьР (з) дз (! > 0), (28.!) 2п/ -сг где я есть абсцисса в полуплоскости абсолютной сходимости интеграла Лапласа ЕЩ.

Правда, для непосредственного вычисления функции 1(!) формула (28.1) мало пригодна, так как она требует знания функции !с(з) для комплексных значений з = = а + !у ( — оо < у < +со). Но поскольку она представляет собой интеграл от аналитической функции, взятый по пути интегрирования в комплексной плоскости, ее можно преобразовать, применив для этого методы, известные из теории функций комплексного переменного, например изменение пути интегрирования, вычисление вычетов и т. п. Такого рода преобразования иногда позволяют вскрыть важные свойства функции, определяемой комплексным интегралом. Поясним использование формулы (28.!) на следующем примере.

Пусть проводник тепла, рассмотренный в $ 24 и простирающийся от х = 0 до х = со, имеет начальную температуру, равную нулю, и пусть иа его конце х = 0 граничная температура изменяется по закону соз ый В таком случае формула (24.9) для температуры в сечении х в момент времени ! примет вид и(х, !) = сова( вф(х, !). ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 1Гл. б ьзо СОЗ Ы(о а я «+ю принимает внд (7 (х «) е-кт« «2+ юя Подставив это изображение в комплексный интеграл (28.1), мы получим а+/У и(х, 1) = 1нп —. е'* я, е — "У' с(з.

(28,2) «я+ю« а-/У Изображение (7(х, з) имеет в следствие наличия в подынтегральном выражении знаменателя за + юя простые полюсы в точках з = .+1ло и, крометого, вследствие наличия показателя степени 1' з— точку разветвления в з О. В качестве абсциссы а можно взять любое вещественное число, большее нуля. Рассмотрим изображенный на рис. 28.1 замкнутый контур б, состоящий из вертикальной прямой, проходящей через точку з = = а, нз трех дуг двух окружностей, имеющих радиусы е и )ч' и общий центр в нулевой точке, н из двух горизонтальных отрезков, проходящих выше и ниже отрицательной вещественной оси. Внутри этого контура функция 0(х, «) остается однозначной и аналитиполюсов э = ч-)ю; поэтому, согласмы имеем Рис.

28.П Контур, внутри которого функция ГГ (х, «) остается одно. вначной и аналитической всюду, аа исключением полюсов « = ->1а. ческой всюду, за исключением но теореме Коши о вычетах, —. ~ е"0 (х, з) с(э= сумме вычетов функции е"(7(х, з) в точках з = + 1оз. Вычисление этих вычетов производится на основании следующей теоремы: Эта формула внешне очень изящна, однако она не позволяет по- лучить никакого представления о поведении функции и(х,г). Поэтому вернемся к изображению (24.7), которое вследствие со- ответствия КОМПЛЕКСНЫЙ ИН1ЕГЯЛЛ % 281 )е( Теорема 28А, Пусть функции г" 1(з) и Ро(з) в окрестности точки з, аналитические и пусть го(зо) ~ О, в то время как гг(з) имеет в зо простой нуль; тогда вычет функции г",(з)/го(з) в точке зо авен Р р1 Ом) 2( о) Представив функцию е'*У(х, з) в виде екоо к к Р~(к) +в ~2 (к) мы будем иметь: го(з)=2з, следовательно, ее вычеты будут равны е ие -к2Г(е 2)в е (-)в) е -!)е ° ° ° -к Г -)е в точке зо =- /в, в точке во= — )в.

— 2)ко Таким образом, — Е" (У (Х, З) 0(З = — (Емя к 2Г)е + Е )е' " т -)е). 2п( ' 2 Так как п .. и )+) )г)' =:соз — +) з(п — = —, 4 4 )Г2 и .. и ! †( 'у — ) = соз — — ) з! и — = =, 4 4 гГ2 то полученный результат можно представить в более простом виде: — Е"У (Х, З) 0Ь = — Е " """ (Е)(е' * т"" ) + Е )("" ' "' '2)) 2п) ' 2 = е ." т ""' соз (вг — х )г в/2 ). (28.3) Будем теперь устремлять е к нулю, а Р к бесконечности. Оче- видно, что при этом интеграл (28.3), если его взять только по пути АВ, будет стремиться на основании формулы (28,2) к и(х,().

Для того чтобы выяснить поведение этого интеграла на обеих круговых дугах СП и 6И, воспользуемся следующей теоремой, очень часто с успехом применяемой при подобного рода иссле- дованиях. Теорема 28.2. Пусть при г-е ее функция г(з) = Р(геоч) стре- мится в левой полуплоскости Кез40 (т.

е. при и/2 <у43п/2) равномерно относительно ор к нулю. В таком случае, если ф есть полуокружность радиуса г, имеющая центр в точке О и располоасенная в левой полуплоскости, то при условии, что г ) О, 162 вычисля!шР ОРпгинАлА по изОБРАЖБпню 7гл в инуег1оал ~ е'"Р(з)йз-РО при г — ьоо.

Ф То же самое имеет лгесто и в том случае, если вместо полной полуокружности взять какую-либо ее дугу, но при этом при изменении г оставлять неизменным центральный угол '). Если точка з расположена в левой полуплоскости, то точка 'угз лежит в правой полуплоскости, следовательно, Ке )Азз ) О и ! е-» Уе ~ е-лпе Уе ( 1 Далее, для больших 1з) мы имеем з 1 зе+ ме е и поэтому функция 0(х,з) в левой полуплоскости при )з) -ь оо равномерно стремится к нулю относительно 1р.

Таким образов!, на основании сформулированной теоремы интегралы, взятые вдоль дуг СВ и ОН, при 7ч'- оо стремятся к нулю, если только 7 > О, что в нашем случае и имеет место. На дугах ВС и НА функции е" и е "У' ограничены, а множитель з/(зз + юз) обеспечивает равномерное стремление подыптегрального выражения к нулю.

Длина самих дуг ВС и НА прн 711-ь оо остается ограниченной. Поэтому интеграл (28.3), взятый вдоль каждой из этих дуг, при Я- оо стремится к нулю. На круговой дуге ВР все подынтегральпое выражение ограничено, а длина пути интегрирования стремится к нулю при е-1- О, следовательно, интеграл (28.3), взятый вдоль дуги ЕР, также исчезает. Таким образом, в левой части равенства (28.3) остаются только: интеграл, взятый вдоль проходящей через точку сс вертикальной прямой и равный и(х, 7), и два интеграла, взятые вдоль горизонтальных лучей. Эти два последних интеграла следует заменить теперь интегралами, взятыми вдоль верхнего н нижнего берегов отрицательной вещественной оси. Перенеся их в правую часть равенства (28.3), мы будем иметь и (х, 7) = е " ! вп соз (юу — х )/ — )— о е — "е"(7'(х з)1Ь вЂ” — " е"с7(х, з)йз. 2м/ г ее о ') Этз теорема, часто называемая леммой Жордвиз, конечно, ио является сзмоочевидиой. И самом деле, хотя фуикпия е" в левой полуплоскости прп 1) О остается огрзиичеииой и поэтому подыитегрвльиое вырзжеиие рзвиомерио стремится к нулю, но зато иеограиичеиио возрастает длииз пути иптегрироввиия.

!63 РАзложвнне В Ряды Внеся з = гегв в интеграл, взятый вдоль верхнего берега отрицательной вещественной оси, н з = ге !" — в интеграл, взятый вдоль нижнего берега этой оси, мы получим ему(х, з) Ыз= — ~ е ",, е м~" й, е"у(х, з)гЬ=- ) е ' е+и'' г(г г2+ а2 о о и формула (28.3) примет следующий окончательный вид; и(х, 1)- е-'т~'сов~а! — х1~ — ! — — ) е '", „, з!пх )/г пг. о (28.4) Эта форма решения, выведенная путем использования комплексного интеграла (28.!), позволяет получить о поведении функции и(х,г) значительно более глубокое представление, чем форма решения, найденная в $24. Интеграл, входящий в правую часть формулы (28.4), представляет собой интеграл Лапласа, только в нем з заменено на !, а ! — на г.

Характеристики

Список файлов книги