Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Электрическая двух- Е(1 з)= хг(з)1(1~ З). (25.25) проводная линия с источником питании и нкгруэкой нв Дл" Определения этих граничных концах. значений мы можем использовать прежние результаты. Подставив в равенства (25.8) и (25.9) х = 1 и введя полученные выражения для Е(1, з) и 1(1, з) в равенство (25.25), мы найдем Е (О, з) [ с)г И (з) + — ' я)г И (я)1 — 1 (О, з) [2 з)г 11г (з) + Яг с)г И (з)[ = О. Присоединив уравнение (25.24), мы получим систему из двух уравнений для определения двух неизвестных Е(0, я) и 1(0, з). Определитель этой системы равен 1)(з) (Ее+юг)с)гИ(з)+ ' ~~ я)гИ(з), и решениями будут Е(0, з)=- () [Ез)гй(з)+Его)гИ(з)[Е(з), 1(0, з)= ( '[с)гИ(я)+ — 'з)гИ(з)[Е(з).
Подставив эти выражения в уравнение (25.8), мы получим Е(х, з) = — [Уя)гИ(з)с)гхй(з)+ 2гс)гИ(з) с)гхй(з)— — Яс)гИ(з) з)гх)г(з) — Угз)гИ(з)з)г хуг(з)) Е(з) = 2 (э) эн (1 х) Ь(э) + лг(э) сь (г х) й (э) Е (з). (Х (э) + Ег (э) ) сгг И (э) + — (Л (э) хг (э) + 2 (э)) эи гй (э) 2 (э) (25.26) Таким образом, мы определим 8-изображение напряжения е(х,1). Для перевода этого изображения в прострааство оригиналов целесообразно заменить гиперболические функции ') Если источник электродвижущей силы находится во внутренней ветви нитвюшей сети, то соотношения (25.24) и (25.25) могут иметь несколько иной вид.
$251 система уравнении для двухпроводноп линии 15< паказательнымн; тогда мы будем иметь (2+2<) е" "'"'" — (2 — Я<) е'< (2 + 2о) (2+ 2<) е<що< (7. Яо) (2 2<) е 2(,),— "<1 (а)е-<т<- !а<м Е (з), (25.27) 2 (а)+ 2о(а) 1 — ро(а) р< (а) е а<а<о< где 2 (а) — 2о (а) 2 (а) — 2< (а) Я (а) + 2, (л) ' р' ( ) Я (а) + Х < (л) суть так называемые коэффициенты отражения '). Дальше можно поступить так же, как было сделано при переходе от формулы (25.17) к формуле (25.19), т.
е. разложить Е(х, з) в ряд и затем почленным переходом из пространства изображений в пространство оригиналов получить искомый оригинал е(х, () '). Интересный частный случай получается при 7<(з) Е(з). Тогда коэффициент отражения р<(з) = О, и изображение напряжения принимает внд (25.28) Это означает, что если линия на стороне потребления тока нагружена характеристическим импедансом, то возникает распространение напряжения без отражений. Однако в общем случае функция л(э) не является дробно-рациональной и поэтому не может быть точно реализована посредством электрической цепи. Рассмотренные примеры показывают, что преобразование Лапласа дает возможность легко и автоматически свести краевую задачу и задачу Коши для уравнения в частных производных от двух независимых переменных с постоянными коэффициентами к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения, Последняя задача обычно легко решается. Трудность возникает только при переходе от решения в пространстве изображений к ре<пению в пространстве оригиналов.
Способы такого перехода, проиллюстрированные на рассмотренных примерах и заключающиеся в использовании таблиц и разложений в ряды, могут быть применены таки<е к решению многих других задач. Другие способы определения оригиналов по известным изображениям будут изложены в гл. 6. ') Обе формулы (25.26) н (25.27) получены в работе 01 Р а в Ч ц а и <оп1о Р., дррнсаглопе дена <еопа депе 6<а<с!Ьо<<оп< а1гапаИМ де< <гапаног< беде Инее с1е1<мсйе. !. Ргой!егпа <)еца Ипеа <пыла!<пеп1е а г!роао.
Апа Гге. Чпепла 34 (!955), стр. 707 — 733 [формулы (3320), (3316!). ') Выполнение этой операции см, в работе, цитированной в предыдущей сноске (стр. 719). ГллнА б ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 2 26. Интегральные уравнения типа свертки 1 й(г — т)1(т)г(т= у(1), о с )(1)=- (1)+ ~ ( — ))~(,) д,, (26.1) (26.2) где 1(1) есть искомая функция, а й(1) и д(1) — заданные функции. Уравнение (26.1) называется интегральным уравнением первого рода, а уравнение (26.2) — интегральньлм уравнением второго рода. Так как интегралы, входящие в эти уравнения, представляют собой свертку, то оба уравнения называются интегральными уравнениями типа свертки.
Рассмотрим сначала интегральное уравнение второго рода, так как оно проще с точки зрения возможности решения, Если интеграл 2(й) абсолютно сходится, то преобразование Лапласа переводит свертку й ч 1 на основании теоремы свертывания (правило 1Х) в алгебраическое произведение изображений, которые мы будем обозначать, как всегда, соответствующими большими буквами. Следовательно, уравнение (26.2) после преобразования перейдет в изображающее уравнение р (в) = 6 (в) + К (в) г (в), решением которого будет "(з) = К (г) В этом виде функция Г (з) не допускает непосредственного применения обратного преобразования Лапласа, Но если придать В физике часто встречаются интегральные уравнения следующих типов: % гя ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ ей вид р()=а()-, к",) г'(е), (26.4) то можно показать, что функции е)= "" 1 К(5) всегда соответствует оригинал д(1).
Следовательно, решение (26.4) легко перевести назад в пространство оригиналов, после чего мы будем иметь '1 Я = и(1)+ 4(() ° а(г). (26.5) Перенеся свертку дад в другую часть равенства, мы придадим соотношению (26.5) вид а(г)=)(г)+(-ч) й, сходный с первоначальным интегральным уравнением, но с переменой ролей функций Г и К и с заменой ядра я(г) на взаимное ядро — д (г) . Для вычисления оригинала д(1) можно воспользоваться его представлением в виде бесконечного ряда. В самом деле, из ра- венства О (з) = Х (К (з))" следует, что 4 (() = Х й (г)*" а ! где я' = Й, я(()' = й(() а й(г) и вообще й (1)"" = Й а Ф * ...
а й (и = 2, 3...,). (26.6) В теории интегральных уравнений ряд (26.6) называется рядом Неймана. Иногда удается найти для изображения 1;1(у) соответствую- щий оригинал непосредственно. Если, например, ядро а(1) пред- ставляет собой многочлен Й (г) = ао+ а/+ ...
+ а,г' (или аппроксимируется таким многочленом), то и, следовательно, К(А) аоа'+11а~а' '+ ... +г1а, 1 — К (г) аг г' — аевг — 11аыг ' — ... — г1а [54 интегьллы[ыя угквне!!ия н интеГРАлы[ыи соотнои[ег[ия [Гл, 3 т. е. изображение (;[(з) представляет собой дробно-рациональную функцию, числитель которой имеет степень, меньшую степени знаменателя. Отыскание для такого изображения соответствующего оригинала поризводится одним нз способов, указанных в $!2. Интегральное уравнение первого рода допускает решение только в некоторых специальных случаях, в общем же виде его решение невозможно. Изображающее уравнение для уравнения (26.1) имеет вид К(э)Р(э) = 0(э).
О (г) р(а) К( ) Его решение (26,7) [" ([) =[,(О)!',(4)+!',«!',. Если [!(0) = О, то допущение о непрерывности функции [з из- лишне. (В такой весьма общей формулировке приведенная теорема используется, например, в теории обыкновенных дифференциаль- ных уравнений,в тех случаях, когда возбуждающая функция об- ладает точками разрыва.) Если функции й(4) и у(!) дифференцируемы н Й(0) ~0, то, продифференцировав уравнение (26.1), мы получим интеграль- ное уравнение второго рода й (0) 7 (4) + ~ Й' (1 — т) 7 (т) дт = у' (Р), о которое можно решить указанным выше способом. Если й(0)-/г'(О) =- ... = й!" "(О), но й'"'(О) ~ О, нельзя перевести назад в пространство оригиналов посредством теоремы свертывания, так как функция 1/К(э) не является Р- изображением. Однако в некоторых случаях интегральное уравнение первого рода можно преобразовать в интегральное уравнение второго рода. Для этого можно воспользоваться следующей теоремой: Теорема 26.1.
Пусть функция )[(1) при 4 > 0 дифференцируема и при ! = О непрерывна; далее, пусть ['! (1) и [;(!) в каждом промежутке 0 ( 4 ( Т абсолютно интегрируемь! и в каждом промежутке 0 ~ Т! (1 (Тг ограничены В таком случае в каждой точке ! > О, где функция [з справа (слева) непрерывна, свертка [Я = 1! ь[4 справа (слева) дифференцируема, и проиэводная 1'(1) равна и11теГРллъные уРАВиеиия тиГ!л свгРтки !55 то после (и + 1)-кратного дифференцирования уравнения (26.1) мы будем иметь й '(О)1(1)+ )' й"' '(1 — т)/(т)г/т=а (1), е т.
е. опять интегральное уравнение второго рода. Однако указанный способ решения уравнения (26.1) не дает результата, если ядро й(/) при 1= О недифференцируемо. Примером такого ядра может служить й(!) =1 (О<а< 1). В этом случае иногда приводит к целы следующий способ. Положим ) 7 (т) е!т = 1р (1). и Так как, согласно правилу 711, 6 ( р) = Ф (з) = — г" (е), то решение (26.7) принимает вид Ф (е) — 0 (е). УК (е) В то время как функция 1/К(г) никак не может быть 2-изображением, функция 1/ЕК(з) может быть таким изображением и„ следовательно, в этом случае допустимо применение теоремы свертывания. Такой случай имеет место, например, для интегрального уравнения Абеля ) (1 — т) '/(т)г(т д(1) (О<а<1), (26.8) встречающегося во многих областях физики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
