Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 33
Текст из файла (страница 33)
$30, Численное определение оригинала Способы определения оригинала по изображению, изложенные в $29, основаны на предположении, что изображение представляет собой функцию, теоретически настолько известную, что можно, напрнмср, определить ее особенности или разложить ее в ряд определенного вида.
Тогда для оригинала можно получить выражение в общем виде, пригодном, например, для таких теоретических целей, как исследование поведения оригинала при малых илн больших й Однако во многих случаях требуется знать только численные значения оригинала в некоторых промежутках. Конечно, результаты, полученные в 5 29, можно использовать также для численных расчетов, но такой путь является с точки зрения практики окольным, поэтому нерациональным.
Наиболее рациональным путем является численное определение оригинала >(1) непосредственно по некоторому количеству численных значений изобраэсения г" (е) ггри помощи некоторой стандартной схемы. Однако необходимо отдавать себе отчет, что такое вычисление оригинала связано с неваде>кностыо. В самом деле, небольшим изменениям изображения г" (з) может соответствовать значительное изменение оригинала )(1) (обращение преобразования Лапласа не обладает свойством «устойчивости»). В этом можно убедиться из следующего примера. Оригиналу 1(1) = з!и е>! соответствует изобрахсение 2 (з!и е>!) = Очевидно, что >г" (з) )(1/се при з ) О, поэтому изображение г(з) при ь>-ь «О стремится равномерно к нулю.
Напротив, оригинал 1(1) = з!пи>! при ч>- ео колеблется все быстрее и быстрее, сохраняя при этом неизменной свого амплитуду, равную единице. Следовательно, если изображению при большом и> сообщается малое возмущение, то оригинал з!па>г может получиться силыю искаженным. ЧИСЛЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНЯЛА 177 посредством подстановки е-"=созд, ((1) =)( — — (псозб) =ф(О), (30.1) 1 о в интеграл ОР (з) = ~ (соз б)"' ' з(п д гр(6) Ю, (30.2) Тогда мы будем иметь гиз О (Р (2п + 1) О) = ~ созга О з! п О гр(б) бгб, (30,3) о 1) Этот способ предложен А, Папулисом; см. Р арон!!з А., А пете птерпоб о1 !птегыоп о! (ке 1.ар!асе 1гапз(огщ, анас(ег(у о1 арриед птариегпаисв 14 (!957), стр. 405 — 414.
В этой >ке статье даны еще два способа численного определения оригинала, основанные па разложениях по функциям Лежандра и Лагерра. По поводу таких разложений см., например, В о е(ас Ь О., Напб. Ьнсь бег 1.ар!асс-тгапз!оггпаиоп, т. 1, В(гйаанзег Нег!ан, Вазе!, !960, стр, 301. ') ххля однозначного определения В .изображения достаточно задать его значения в последовательности равноотстоящих одна от другой точек, расположенных вдаль прямой, параллельной вещественной оси. Предло>кено столь много способов численного определения оригинала по изображению, что нет возможности всем им уделить внимание.
Мы ограничимся изложением только одного из них, довольно быстро дающего пригодное для практических целей численное выражение оригинала ((1) и требующего для своего применения только обычного математического аппарата '). Этот способ основан на следующих двух допущениях, не ограничивающих, однако, его общности; 1) Предполагается, что изображение Р(з) существует при Кез > О. Этого всегда можно достичь, если влтесто изображения Р(з) рассматривать изображение Р(з+ а) при достаточно большом а, что равносильно умножению оригинала !'(1) на е '. 2) Предполагается, что 1(+0) = О.
Если это не имеет места, то следует определить )'(+0), пользуясь теоремой 32.2, и вычесть это значение из 1(1), что равносильно замене изображения Р(з) изображением Р (з) — 1 (+ О) /з. Рассматриваемый способ дает для оригинала ((1) выражение, для вычисления которого требуются только значения изображения Р(з) при равноотстоящих значениях з = (2Л + 1) О, где О есть произвольное число, болынее нуля, а п = О, !...,з). Прежде всего преобразуем интеграл Лапласа г Р (а) = ~ е- г( (1) с(1 е $ ВП ОПРБДВЛВНИВ МАКСИМУМА ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 1ТЗ Таблица ЗОЛ.
Значения ковффнцненчов прн еч вв уравнения (ЗО.В) Взяв конечное число коэффициентов с„, мы получим частичную сумму ряда (30.4), следовательно, приближенное значение функций ф(6). Если требуется знать оригинал )(1) для некоторых значений 1, то следует вычислить у(6) для значений 6 = агссозе ". Выбор значения О обусловливается величиной промежутка, внутри которого необходимо вычислить значения оригинала 1(г); а имеяно, следует выбирать О для малых г' большим, а для больших г, наоборот, малым, так как при (- О переменная з- ео, а при ~- оо, наоборот, з- О (см. теоремы 32.2 н 32.3). й 31. Определение максимума оригинала по известному изображению В некоторых случаях представляет интерес не все поведение функции времени Г(1) в том или ином промежутке, а только ее абсолютный максимум.
В качестве примера можно указать на случай, когда требуется выяснить, не превышает ли напряжение некоторого допустимого предела. В связи с этим возникает заманчивая задача определения максимума оригинала непосредственно по изображению, т. е. без вычисления оригинала. Однако эта задача достаточно трудная и поэтому нет ничего удивительного в том, что оиа до настояшего времени не решена. Даже если известно явное выражение функции Г(~), заданной на отрезке, то и в этом случае невозможно сразу определить абсолютный максимум.
Сначала необходимо по правилам дифференциального исчисления определить нули производной )н(~), затем найти те значения г, в которых производная не сушествует, и, наконец, вычислить значения функции ((г) при найденных значениях г и на концах отрезка. Наибольшее из всех этих значений Г'(() и будет абсолютным максимумом. Можно поставить более узкую задачу: по известному 8-изображению Е(з) определить те значения г, при которых !80 Вычислю!иг ОРигинллл по изовгл>квнию 1гл.
а оригинал /(1) имеет относительные экстремумы. Эта задача может быть решена, если воспользоваться следу!ошей теоремой '). Теорема 31.1. Пусть /(!) есть вещественная функция, и раз меняющая знак при значениях ! ) О. В таком случае производные Р!М(з) для всех достаточно больших й имеют в точности и вещественных нулей. Если функция /(!) лгеняет знак при !а, то производная Р<м(з) имеет нуль за, причем й гь а"аю аа Необходимо иметь в виду, что для непрерывной функции значение аргумента, при котором происходит перемена знака, всегда является нулем, в то время как при нуле функция не обязательно должна менять знак.
Для наших целей применим эту теорему не к самой функции /(!), а к ее производной /'(1). Мы имеем 2 (/') = яР (я) — / (+ О) = Р! (3), причем начальное значение /(+0) момсет быть определено со- гласно теореме 32.2 по изображению Р(з) как 1пп зр(з). Сле- довательно, функцию Рг(з) можно считать известной.
Теперь мы должны вычислить некоторое число производных Р! (з) и для каждой производной найти нули з!'>, ..., з'"'. Тогда пре- дельные значения отношений й/з"', ..., я/з1и! дадут значения при которых производная /'(!) меняет знак, т. е. имеет нули, а функция /(!) обладает относительным максиму- мом нли минимумом. (Точек перегиба с горизонтальной каса. тельной при этих значениях !ь ..., (а не может быть.) Сами значения функции /(1) могут быть вычислены, например, спосо- собом, указанным в 9 30.
Изложенный метод определения относительных экстремумов требует большой вычислительной работы и для некоторых функ- ций представляет собой очень медленно сходящийся процесс. Однако имеются и такие функции, для которых сходимость по- лучается хорошей. Для примера рассмотрим функцию /(/)-!е '. Производная /'(!) = е '(1 — 1) сразу показывает, что единствен. ный максимум имеется прн !а = 1.
Если бы было известно только й-изображение функции /(1), т. е. 1 Р(З) (а ! 1)зг ') Доказательство можно найти в статье: 07> г! аег 1>. >1., Тке 1пчегз1оп о[ Рле Ьар!асе !и!акга! апа Ше ге(а1еа гаогпеп1 ргоыеп>, Тгапа. Агнес. Майк зое, 26 (1934), стр. !07 — 200 (стр. 156). $ 31! ОПРЕДБЛЕИИЕ МАКСИМУМА ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ !3! но не сама функция г'(1), то прежде всего следовало бы определить 1(+ 0) = ! Нп (, + !), = 0 и затем рассмотреть функцию г,(з) ( !), . Согласно правилу Лейбница, ГА ГА-! г"1м з — (з+ ц '+й — (з+ ц ' лзА лзА-' Так как БА )г А + -и+и то р(м- (-ц'(й+ ц!( + ц-и'а+й(-ц'-'й1 ( + ц-и+и- 1 А-~й( Гг-А ( ! !)А+2 ' Следовательно, каждая й-я производная имеет единственный нуль БА = й, и позтому й/ЗА = 1.
Таким образом, в рассмагриваемом случае все приближения дают точные значения А = го. ЗА ГЛАВА 7 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ й 32. Некоторые теоремы о предельных значениях Часто решение у(1) дифференциального уравнения в явном виде, т. е. полная картина исследуемого процесса, не представляет особого интереса для практики. Вместо такого решения практику достаточно знать только некоторые свойства функции у(1), например, ее поведение вблизи 1 = О, т, е. непосредственно после «включения», или вблизи 1 = о», т.е. для больших Г, когда в особенности важно выяснить, устойчиво или неустойчиво состояние системы.
Естественно, что было бы весьма желательно выявлять подобного рода свойства функции у(1) только на основе рассмотрения ее изображения, т. е. без составления явного выражения функции у(1). С примером возможности такого определения свойства оригинала мы уже встретились в $ 28, когда в результате вычисления комплексного интеграла (28.1) путем деформирования пути интегрирования получили формулу (28.4); в состав этой формулы вошел интеграл Лапласа, который позволил получить представление о поведении оригинала при больших значениях аргумента. Наоборот, могут быть и такие случаи, когда желательно установить свойства изображения непосредственно из поведения оригинала. В переводе на математический язык сказанное выше означает следующее; можно ли иа основании свойств некоторой функции судить об асимптотическом поведении другой функции, "вязанной с первой прямым или обратным преобразованием Лапласа, при приближении аргумента последней функции к нулю или к бесконечности.
Прежде чем заняться этим вопросом, приведем несколько простых теорем, часто очень полезных в практических применениях. Теорема 32Л. Все 8-изображения Р(з) обладают следующим общим свойством: они стремятся к нулю, когда переменная э, пробегая вещественные значения, стремится к +со; это свойство сохраняется даже в том случае, когда э стремится к со з зи НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗИЛЧЕНИЯХ «33 вдоль луча комплексной плоскости, образуюи(его с положительной вещественной осью угол, по абсолютному значению мень«иий п(2. Сформулированная теорема дает необходимое условие, которому должно удовлетворять каждое Э-изображение; часто она позволяет непосредственно установить, что та или иная функция не может представлять собой результат преобразования Лапласа какой-либо исходной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
