Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Конечно, не всегда удается доказать, что условие (29.11) выполняется. В этих случаях правильйость разложения (29.12) остается под сомнением. Существует видоизменение рассмотренного метода. Проходящую через точку а прямую, вдоль которой производится интегрирование, последовательно заменяют другой вертикальной прямой с перемещающейся влево абсциссой и притом таким образом, чтобы эти прямые проходили между полюсами (рис. 29,2), Это можно сделать в тех случаях, когда при перемещении з вверх или вниз функция (/(х, з) в полосах, заключенных между каждой из вновь г проведенных прямых и первоначальной оФ прямой, равномерно стремится к нулю.
Тогда в качестве «остаточного члена» а получится интеграл, для которого путь интегрирования расположен между и-и и (и ]- 1)-м полюсамк. Для того чтобы разложение (29.12) было обеспечено, указанный интеграл при и-+ со должен стремиться к нулю. Рис. 29.2. Замена пути ии- Изложенный метод применим толь- тегрирования параллельиыко при условии, что функция (7(х, з) ми прямыми.
однозначная, так как иначе нельзя пользоваться теоремой Коши о вычетах. Если среди особых точек функции (7(х, з) имеются особые точки неоднозначного характера, то необходимо либо изменить путь интегрирования примерно так, как это было сделано в $28, либо воспользоваться способом, который будет изложен ниже в 9 Зб. Ввиду ограниченного объема книги мы ие приводим специальных примеров, иллюстрирующих рассмотренньш метод. Читателей, желающих ознакомиться с применением этого метода в более сложных случаях, отсылаем и литературе, указанной в сноске на этой странице.
') См, по этому поводу: Оое|всЬ 6., Напбьись бег Ьар1асе-Тгапв!оггпацоп, т. 1, В!гйьйцвег тег!ад, Ваве1, 1950, стр. 277 — 281. Пример, в котором в качестве кривых 6 выбраны круговые дуги, рассмотрен в книге: Оое1ас Ь 6., В!п!|Йгцпя |п ТЬеог!е нпд Апттепдипк бег Ьар1асе.тгапа|огпаИоп, В|гйьйцвег Ауег!ак, 1958, стр. 169»хругие примеры можно найти в книгах: Сага! а тт Н. 5. апг! 3 а е кег 3. С, Орегацопа| гпе!Ьоба |и аррцеб гпа!Ьегпацса, Ох!огб |]п1тега!1у Ргевв, 1941 (имеется русский перевод: К а р лсл о у Х. и Егер Дж., Операционные методы в прикладной математике, ИЛ, Москва, 1948 (лрихс перев)] н С Ьц гсЬ|11 й. Ъг., ОрегаИопа! гпа|Ьегпацса, МсОгатт-Н!И Воой Согпрапу, |чети Уогй, !958. !72 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИИАЛА ПО ИЗОВРАЖЕНИЮ !гл.
е В технических публикациях изложенный метод иногда применяется для изображений, представляющих собой дробно-рациональную функцшо, что, однако, совершенно нецелесообразно, так как в этом случае изображение просто разлагается на конечное число простейших дробей и затем почленно переводится в пространство оригиналов. Если изображение представляет собой мгроморфну1о функцию, то доказательство выполнения условия (29.11) обычно весьма затруднительно, поэтому в технической литературе этим доказательством часто пренебрегают. Обычно ограничиваются тем, что выполняют только первые шаги метода, доходя до уравнения (29.10) включительно, а самое главное — проверку условия (29.11) не выполняют.
Но в таком случае результат (29.12) имеет только эвристический смысл. Без доказательства выполнения условия (29.11) рассмотренный метод не точнее, чем более простой прием, изложенный на стр. 168 и основанный на разложении изображения в бесконечный ряд простейших дробей (на сумму главных частей) с последующим почленным переводом этого ряда в пространство оригиналов. Если нет возможности или желания доказать выполнение условия (29.11), то бессмысленно применять тонкий аппарат теории вычетов, так как достигаемая при этом ббльшая точность не реальная, а только кажущаяся.
Так как всегда может случиться, что условие (29.11), следовательно, и равенство (2912) вообще не выполняются, тоге, кто почему-либо не доказывают условие (29.1!), должны помнить, что изложенный метод обеспечивает нужный результат только в том случае, когда выполнение условия (29.11) может быть доказано. 3. Разложение в ряды по любым функциям Рассмотренные выше разложения относятся к функциям специального вида, а именно к степенным и показательным функциям, Приведем теперь две теоремы, касающиеся разложения по любым функциям и находящие применение во многих практических случаях.
Теорема 29.3. Пусть функцию с (з) можно представить в полуплоскости Ке з )~ ха в виде бесконечного ряда, членами которого являются 9-изображения р(з) = Х р„(з), р„( ) ~„(!), Конечно, при этом должны существовать все интегралы )г е-'Ч„(1)д! Р„(з) (п=О, 1, ...) о ьлзложение В Ряды в общей полуплоскости Ке з .ь хь. Пусть, далее, выполняются еще два условия: а) интегралы ~ е с~ 1 (г) (сц ="ср (в) (и= р, о также существуют в полуплоскости Ке з)~ха, б) ряд Ю Х и' (хо) «-.ь сходится, В таком случае ряд Х, ~.
(1) сходится, и притом даже абсолютно, стремясь к )(() почти для всех т'.ьб, причем 2Я=Р(з), т. е. Ю Х Р. () - Х ~. (1). Выражение «почти все Ь, взятое из теории интеграла Лебега, означает следующее: для всех (, за исключением, быть может, некоторого множества меры нуль, т. е, множества,точки которого можно покрыть счетной системой интервалов с произвольно малой суммой длин.
В практических случаях полученный ряд сходится обычно для всех й Покажем применение этой теоремы не на каком-либо отдельном ряде, а на целом классе рядов. Важный класс рядов образуют так называемые 4акториальные ряды, имеющие вид Х «„й! « (« + 1) " (« + в) «О (29. 13) С этими рядами часто приходится иметь дело при интегрировании дифференциальных и разностных уравнений, Каждый член факториального ряда может рассматриваться как изображение, полученное в результате преобразования Лапласа, В самом деле, ,(,+, (,+„) ° (1 — е-')" прн Вез>0. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНЛЛЛ ПО ИЗОЕРЛЖЕНИ!О 1гл.
е Так как соответству!ощий оригинал положителен, то е *'()„(1) (Ж ~ ес м! а„((! — е ')" е(1= Е о и) =(аи! ( 1 Фи(е) пРи )сез>0, Условие б) сформулированной выше теоремы требует, чтобы ряд Х ! а„! и! (29.14) хо(хо + 1) (хо + и) и сходился при некотором значении хо > О.
Но этот ряд совпадает с рядом (29.13) прн з = хо > 0 после замены в последнем а„на )аи). Существует весьма общая теорема, согласно которой факториальный ряд, подобно интегралу Лапласа, всегда сходится в полуплоскостн )!е з > Х (еслн только он вообще имеет точку сходимости) и, более того, сходится абсолютно по крайней мере для Ке е > ) + 1.
Если выбрать значение хе так, чтобы оно было не только больше нуля, но и больше й+ 1, то для ряда (29.!4) условие б) будет выполнено. Следовательно, факториальный ряд (29.13) всегда можно рассматривать как 2-изображение (если только он где-либо сходится), и соответствующий этому ряду оригинал почти везде равен о ~ а„(1 — е ')". (29.15) и Е Но это есть степенной ряд относительно ! — е-'. Если какой-либо степенной ряд ~~'.~ а„г" -Е сходится при ге > О, то он подавно сходится и при 04г (ге. Так как 0<! — е1!Еп при О (1 ((е, то из сходимостн ряда (29.15) при 1е > 0 следует его сходимость при 0.4( ~(о Таким образом, ряд (29.15) сходится для всех 1, а не только для почти всех 1.
Всякое 2-изображение можно разложить при весьма об!цих допущениях в факторнальный ряд. Коэффициенты этого ряда определяются следующим образом: еР (з) -Р ае — з (е + 1) ~Р (е) — а' 1 - а, — з(з+1)(э+2)е!Р(е) — — — — ~-+ам ... при з-+со. 1 Г ао а~ 1! 21 х х(о+1) 175 Разложение в Ряды Если этн коэффициенты легко вычисляются, то ряд (29.!5) дает удобную формулу для определения оригинала. Этот способ, играющий в теории преобразования Лапласа важную роль'), заслуживает применения и в практике, где, однако, он до настоящего времени почти не используется. Теорема 29.4. Пусть иэображения Я(Ц = Р1(э) и 9(Ы = = Ра(э) абсолютно сходятсж Далее пусть гр(гг, гг) есть функция двух переменных, аналитическая в окрестности гг = га О и равная нулю в гг —— га = О, т.
е. функция ~р(гп г,) = ~~ а„„г",г,"' (где а, =О) аль О сходится при ) г~ ) < г, ) гг) < г. В таком случае функция гр(Рг (э), Га (э) ) представляет собой Я -иэображение, оригинал которого получается почленным переводом в пространство оригиналов ряда а„,„.,р, (э) ' рг(э)"*, елл~ О Аналогичная теорема имеет место и в том случае, когда функция гр зависит от одной или от более чем двух переменньгх. Теорема 29.4 позволяет чрезвычайно просто доказать, например, правильность разложения (24.!2) для функции ио(х, г), с которой мы встретились при решении уравнения теплопроводности.
В 9 24 мы имели изображение «) )г г е11-«1У« Е-11-«)Ул -«1 л -1и-«1УО Ьго(х, э) . Ьг у,г У.,-~~'т, -М УТ Положив Р, (з) =е «~', Р (э) =е гн ЫУ«, мы представим это иэображение в виде г", (.г) — се (а) цо(х, э)= лг (а) Ра ОО Примем теперь, что л О =,~~ (г",+'г," — г",г,"+') (причем ) ггг,~ < !).
л-О ') См. Ьгое1ас о 6., Наог)ьнсь г)ег Ьар1асе-тгапа1оппаиоп, т, 2, гя. Ц, В)г)гнапаег Че«1ак, Ваае1, 1955. 1те ВЫЧИСЛБНИГ ОРИГИНАЛА ПО НЗОБРА>КГНИЮ [ГЛ. В Эта функция удовлетворяет условиям теоремы 29.4. Следовательно, 1>и(х, з) представляет собой такое 2.изображение, которое, будучй разложено в ряд их ~ч"', [е-ги+пхУ«е-иаг-х>У« е-их> хе-си+>>гтг-х>У«1— и г> [Е-ггиг«х» х Е-аги+Пг х>У«~ и 0 может быть переведено в пространство оригиналов почленным преобразованием этого ряда, причем в результате получится ряд (24.!2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
