Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

е. не прибегая к явному определению орнгинала. Для этой цели весьма полезна теорема 36.1, приведенная в предыдущем параграфе. Вообще можно было бы просто сослаться на эту теорему, но поскольку в литературе исследование устойчивости на основе свойств изображения выполняется часто довольно беззаботно, приведем здесь несколько дополнительных соображений. Если физическая система описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, то никаких сложностей при исследовании устойчивости вообще не возникает. Примем для большей определенности, что система вначале находится в покое, т. е.

что все начальные значения у(+О), у'(+О), ..., у<"-!>(+О) равны нулю. Кроме того, предположим, что возбуждающей, или входной, функцией является единичный скачок и(1), следовательно, решением будет отклик на единичный скачок, или переходная функция. Согласно формуле (13.2), решение изображающего уравнения имеет внд Асимптотическое пОВедение Функций ~гл. 7 Представив решение изображающего уравнения в таком виде, мы можем сразу перевести его в пространство оригиналов, где получим (36.3) у(1) = ~ Ь,е' ' е или соответственно е г) яее .г !е' '~(~е'е'! прн У Ф О, и решение у(г) будет: при 1(еос) О неустойчиввгм; при г(е ае( О устойчивым; при )тепе=О в случае аз= 0 несобственно устойчивым, если нуль ае простой, неустойчивым, есяи нуль ае кратный; в случае 1шаеФО квазиустойчивым, если нуль а, простой, НЕУСГОйниВЫМ, ЕСЛИ НУЛЬ Ве кратный.

Аналогичным образом определяется поведение решения у(~) и в том случае, когда несколько нулей многочлена имеют одинаковую наибольшую вещественную часть. А именно, решение у(г) только тогда будет устойчивым (в указанном выше смысле), когда ни один из нулей знаменателя функции У(з), т, е. ни один из полгосов функции У(т), не лежит в правой полу- плоскости, а нули, расположенные на мнимой оси, являются и ростим и. Решение у(~) привято называть устойчивагм, если оно при 1- оо стремится к своему начальному значению, равному нулю (собственная устойчивость), или к какому-либо другому постоянному значению (весобственная устойчивость) или, наконец, если оно колеблется в конечных границах (квазиустойчивость). В противном случае оно называется неустойчивым, Решающее влияние на поведение решения у(Г) имеет нуль ае с наибольшей вещественной частью (будем сначала считать, что имеется только один такой нуль).

В самом деле, в таком случае иссладовлнив хстоичивости 197 Для того чтобы обнаружить все эти свойства решения у(1), совсем не требуется иметь явное выражение функции у(1); вполне достаточно знать только изображение У(з). Совершенно так же обстоит дело и в том сучае, когда физическое явление описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, так как, согласно сказанному в 9 15, и здесь решение изображающего уравнения определяется только дробно-рациональными функциями (при условии что входными функциями являются единичные скачки).

Однако кроме указанных простых случаев встречаются и более сложные, когда решением У(з) изображающего уравнения является ие дробно-рациональная, а мероморфнал функция, а иногда — например, в случае уравнения в частных производных — даже многозначная функция (см. примеры, разобранные в гл.

4). Впрочем, трансцендентные функции появляются также при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. Так получается, например, для систем регулирования, реагирующих на отклонение не мгновенно, а только по прошествии некоторого промежутка времени. В этих случаях в технической литературе для исследования устойчивости часто применяют тот же критерий, который был применен выше для случая дробно- рациональной функции У(з): определяют особую точку знаменателя р(з), имеющую наибольшую вещественную часть, и по положению этой точки относительно мнимой оси судят об устойчивости оригинала. В основе такого неосторожного приема лежит то же самое наивное представление, о котором мы говорили уже на стр.

!68, а именно, предполагается само собой очевидным, что решение У(з) изображающего уравнения можно представить в виде ряда из простейших дробей, позволяю1цего сразу видеть все полюсы, и затем совершить почленный переход к по. казательному ряду в пространстве оригиналов. На стр.

168 мы уже подчеркнули, что к ряду из простейших дробей в общем случае может прибавляться еще целая функция. Такая функция является аналитической во всей плоскости за исключением бесконечно удаленной точки, где онз имеет особенность, обычно трудно исследуемую~ причем свойства этой особенности могуг сильно влиять на асимптотическое поведение решения у(1), Для иллюстрации приведем один характерный пример. Можно показать, что оригиналу у(1)=з(п1 (а)1) (36.5) соответствует изображение У(з), представляющее собой целую функцию, следовательно, не обладающее в конечности никакими особенностями, При а Ф 2 изображение У(з) не может быть хсимптотичисков поведение. 4 гнкцип (гл.

7 выражено через классвческие функции. При а = 2 мы имеем '.м а/2 ! Гл з2 Яй ! (8) = — ~l — — соз — ) сов х Ых — 3!и —, з!пх г(х. 2 г 2 4 О о Интегралы в правой части этого соотношения известны под названием интегралов Френеля. Далее, оригиналу !"у(!) = !" з!п(" (а = 1, 2, ...) (36.6) соответствует, согласно формуле (3.!), изображение ( — 1) "Уно(з). Так как изображение У(з) представляет собой целую функцию, то такой же функцией является и изображение Уои(з). Таким образом, изображение, соответствующее функции !" з)в !0, принимающей при г-~ос сколь угодно большие значения н, следовательно, описывающей неустойчивое явление, не обладает в конечности никакими особенностями. Очевидно, что для такой функции приведенный выше критерий устойчивости становится совершенно обманчивым. В самом деле, если при решении какой-нибудь задачи получено изображение, содержащее такого рода функцию в качестве слагаемого, то остальные слагаемые, если они обладают только полюсами с отрицательной вещественной частью, будут создавать видимость устойчивости, в то время как неустойчивость, вызываемая первым слагаемым, останется совершенно незамеченной.

Заметим кстати, что функция (36.5) интересна с физической точки зрения тем, что если выбрать а очень близким к единице, то з)п !' в произвольно большом промежутке будет сколь угодно мало отличаться от з!пг, для которого 2-изображение равно В(з!и !) = следовательно, имеет особые точки з = Применение разложения на простейшие дроби особенно опасно в тех случаях, когда для изображения У(з) получается многозначная функция, как это было, в частности, в примере, рассмотренном в $ 35. Этот пример отнюдь не является надуманным упражнением, а представляет собой математическую формулировку конкретной физической задачи.

В подобного рода задачах нельзя пользоваться разложением изображения У(г) на простейшие дроби и тем более нельзя представлять оригинал у(!) в виде показательного ряда. Во всех случаях, когда изображение не является дробно- рациональной функцией, для уверенного суждения об асимпта- исследование. тстоичивости 199 тическом поведении, следовательно, и об устойчивости пригодны лишь теоремы такого же типа, как и теорема (35.1) !).

Таким образом, устойчивость решения определяется не только поведением изображения У(з) в его особых точках, лежащих в конечности, но и поведением У(з) в бесконечности, так как именно от последнего поведения зависит, можно или нельзя заменить в формуле обращения прямолинейный путь интегрирования угловым путем, составленным из двух наклоненных один к другому лучей и круговых дуг. ') Существуют и другие теоремы такого типа, относящиеся к более слож.

ным особенностям. См. по этому поводу: 0ое!аси Сг., Напдиисп бег Ьар!асе. Тгапа!огща!!оп, т. 2, гл. б и 7. ГЛАВА 8 3-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 3 37. Переход от преобразования Лапласа через дискретное преобразование Лапласа к 3-преобразованию В приложениях часто вместо функции времени )(1) задается последовательность значений 1 (а = О, 1, ...), измеренных через определенные промежутки времени, например, в моменты времени 1= О, 1, ...

Преобразование Лапласа применимо к функциям, а не к последовательностям. Тем не менее это преобразование можно применять и к последовательностям 1„, если последние заменять ступенчатой функцией )О(1), определенной условиями )О(1)=1„при п~'(<п+! (в=О, 1, ...) (рис. 37.1). Так как функция 1О(1) кусочно-постоянная, то ее Э-изображение можно вычислить следующим образом: и ч-! 3О,(1))=~~ -"~.а=~~.' ' ''""= О Ов и О (37.1) л=О Каждый раз, когда составляется такая ступенчатая функция н выполняется соответствующее преобразование Лапласа, появляется множитель (1 — е ')Й.

Можно упростить запись, если отбросить этот множитель. Тогда в правой части соотношения (37.!) останется только сумма ~ )че — ОО О О как результат непосредственного преобразования последовательности ! . Такое преобразование обозначается символом ЯО и на* пьввход к а-првоарлзовлнию йй) $ 371 зывается дискретным преобразованием Лапласа '), Итак мы имеем ~) ) „е "* = Ж () „). (37.

Характеристики

Список файлов книги