Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 40
Текст из файла (страница 40)
° ° + Е а ()тв) 1„= Е„. Поэтому все, что было сказано в Э 20 в связи с уравнениями (20.4) — (20.8), можно перенести на комплексные напряжения и комплексные токи, Решение системы уравнений (43.4) полностью решает задачу описания поведения электрической цепи, находящейся, при наличии в ней синусоидальных колебаний одинаковой частоты, в установившемся состоянии '). ') Некоторые авторы, выступающие в техничесиой литературе и вынужденные с целью более глубокого прониниовения в исследуемые нми задачи прибегать н преобразованию Лапласа, тем не менее используют, в силу старых привычек, в качестве возбуждения не произвольные функции, а фуннцшо еп»г (в технике зто называют «спентральным подходом») н рассматривают уравнения (20.3) и (20.4).
в которые входит переменная з, тольао нан «формальное обобщение» уравнений (43.2) и (43.4), содержащих вместо з величину (ы. другие авторы идут еще дальше, а именно переносят уравнения (43,2) и (43.4) в номплекснуго плоскость з, делая зто весьма «простою без достаточной мотивировки и не применяя преобразования Лапласа, заменяют в уравнениях (43.2) и (43.4) чисто мнимую переменную Гю комплексной переменной з, а затем, чтобы сделать зту не особенно приятную для них иомплехсную переменную более привленательнай для инженера, дают ей хорошо звучащее, но бессмысленное название «номпленсной частоты».
Такие яекоррект- й чз! СИСТЕМА СОВМЕСТНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 22! Мы начали с этого предварительного замечания потому, что в этом параграфе мы рассмотрим специальный вид электрической цепи, исследование которой выполняется особенно просто методом комплексных амплитуд. При этом мы используем изложенную выше теорию разностных уравнений.
Цеаочной схемой называется электрическая цепь, в которой все контуры (за исключением, быть может, первого и последнего) имеют одинаковую структуру и расположены один за другим так, что каждый предшествующий имеет общую ветвь с последующим (рис. 43.1). У каждого из контуров, образующих Рис. 43.!. Цепочная схема нз Т-образных четырехполюсников. гакую цепочную схему, в верхней продольной ветви имеется по два одинаковых импеданса д!, а в поперечной ветви — один импеданс лз; нижняя продольная ветвь импедансов не содержит.
Нашей целью является определение только установившегося состояния цепочной схемы: поэтому для вычислений мы можем ности объясняются, очевидно, тем, что требуется некоторое время, прежде чем новые, улучшенные представления вытеснят старые, неточные, но ставшие привычными представления. До тех пор пока преобразование Лапласа не было введено в электротехнику, при расчете электрических цепей не оставалось нного выхода, как пользоваться возбуждениями и откликами на ннх только вида е! . Между тем преобразование Лапласа позволяет с салюго йэг начала рассматривать совершенно произвольные возбуждения и отклики и дает возможность получать полное решение, охватывающее как переходный процесс, так н установившееся состояние.
Однако роль преобразования Лапласа на этом не заканчивается; оно позволяет выявлять глубокие свойства часто весьма сложных решений по значительно более простым 8-изображениям этих решений (в гл. 6 и 7 мы познакомились с примерами такого выявления свойств оригинала по изображению). Метод комплексных амплитуд применяемый при расчете переменного тока, является составной частью теории преобразования Лапласа и находит в последней свое обоснование (см. й !3], Если возбуждения изменяются сннусообразио и при этом все имеют одинаковую частоту, то метод комплексных амплитуд дает некоторую часть гочлога реглелпя, получаемого при помоши преобразования Лапласа, плгенно ту часть точного решения, которая определяет асимптотическое поведение рассматрнваелшй системы, или, выражаясь языком техники, ее установившееся состояние.
Однако все это справедливо только при условии, что нули много- члена !/О(з) [в случае системы уравнений — нули определителя (205)[нлгеют отрицательные вешественные части. Если рассматривается только переменный ток и определяется только установившееся состояние, то при сделанном предположении относительно нулей можно спокойно применять метод комплексных амплитуд, поскольку он сокращает вычислительную работу. 2-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ !Гл. э 222 применить метод комплексных амплитуд.
Мы могли бы воспользоваться уравнениями (43.4), составленными для электрической цепи. Однако для упрощения вычислений заменим контуры, образующие цепочную схему, так называемыми Т-образными четырехполюсниками (рис. 43.2). Прн этом для ещеболь.
щего упрощения вычислений целесообразно г, г, дополнить начало и конец цепочной схемы до полных Т-образных четырехполюсииков, вследствие чего там окажется только по половине контура. Число четырехполюсников пусть равно У, текущий номер четы. рехполюсника будем обозначать буквой п.
Пусть комплексное напряжение на выходе из п-го четырехполюсника и, следовательно, одновременно на Входе в (п + 1)-й четырехполюсник равно Е„, а соответствующий комплексный ток пусть равен 7 . Приняв во внимание направления контурных токов, отмеченные па рис. 43.1 стрелками, мы получим для левой и правой половины 1'а + 1)-го четырехполюсника следующие уравнения Кирхгофа: (г, + г,) Т„- г,Т„„= Е„, + ) (и=0, 1,..., М вЂ” 1). (435) Таким образом, мы имеем 2М линейных уравнения, связывающих между собой 2)У + 2 величины !ы ..., /„, Еы, Е„.
Если две из этих величин заданы, то остальные 2М величин могут быть вычислены. Вместо того чтобы выполнить такое решение обычным приемом при помощи определителей, поступим следующим образом: будем рассматривать оба уравнения (43.5), справедливые для любого индекса и = О, 1, ..., Ж вЂ” 1, хак систему двух разиостных уравнений первого порядка с двумя неизвестными последовательностями Е„ и /„, причем будем различать две возможные постановки задачи решения этой системы, а именно задачу Коши и краевую задачу.
1. Задачи Коши Так как оба уравнения системы (43.5) первого порядка, то для каждой неизвестной необходимо задать одно начальное значение, в нашем случае ЕВ и 7ы Задача Коши соответствует следующей технической задаче: заданы напряжение и ток на входе цепочной схемы, требуется найти напряжение и ток на выходе из произвольного контура цепочной схемы.
Обозначим б-изображения последовательностей Е„, 1„через Е*(г), 1" (г) н применим к уравнениям (43.6) вторую тео. рему смещения (38.2); мы получим (Е! + 35) Г (г) — Евг1! (г) 1о) = Е (г)~ 35Г (г) — (Е! + 35) г (Г (г) — Ц г (Е' (г) — Ео) нли Е* (г) — (г! + 3, — г ) Г (г) ~оДг, гЕ' (г) — (35 — (3! + 25) г) Г (г) = Ег + 15 (Е! + Яв) г. ! (43.6) Определитель атой системы уравнений, линейной относительно Ев и Р, равен Р (г) = — (Лв — (2! + 25) г) + (Е! + Ев — Ягг) г = — У,го+ 2 (Я, + 2~) г — Еь (43.7) Для того чтобы коэффициент прн старшем членеэто определителя в дальнейшем был равен единице, разделим при вычислении Е" и 14 числитель и знаменатель на — Ев.
В результате мы получим Но ~ -(г +!)1-1ог, ~г4+а) 5 Е' (г) вв — 2( — '+ !) в+ ! ~го — Ео — 5 +!45 [в — ( — ' + ! ) ~ Г(г) г г, 55 — 2 ~ — -Ь ! ) 5 4. ! гк, '1г, (43.6) Так же, как н в $41, введем величину т посредством соотношения с(! т — '+ 1. (43.9) г Тогда, воспользовавшись соответствиями 1Чо 11 и !2 из таблицы 37.! (положив в ннх а 1), найдем последовательность- оригинал Е ЕосЬТЙ вЂ” 153, ( — + 2)— (г~ т ввтв в о 4 (гв ) вы отвечающую изображению Е'(г). Множитель при — 1о можно преобразовать следующим образом: Е! ~ — '+ 2) =35~( — '+ 1) — 11=75(с)4вт — 1) 2551!от. Таким образом, окончательно для Е„и („мы получим Е„Ео с)4 ти — 153~ ЕЬ т ЕЬ ти, ~ 1 = — Ео —,— +1осЬта.
) ! 5Ь 544 (43.10) л г 5 45! СИСТЕМА СОВМЕСТНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 2ЕЗ [гл. В Е-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ Вряд ли можно было бы вывести эти изящные формулы решением системы 2Л/ уравнений (43.5) при помощи определителей. В формулах (43.10) букву и можно рассматривать либо как текущий индекс, либо как индекс й! последнего контура цепочной схемы. В последнем случае Е„ и /„ будут представлять собой комплексное напряжение на выходе и комплексный ток на выходе.
Формулы (43.10) удобны для численных расчетов. Величины 2, = Е,(/м) и ЕВ = ЛВ(!м) суть комплексные числа, следовательно, т также представляет собой комплексное число. Для гиперболических функций комплексного аргумента существуют подробные таблицы. Отметим, что определитель системы уравнений (43.!О) с)з тп — РВ з)В т ВЬ тп Бь = спз тп — ВЬ' тп сЬ тп г ьт равен единице. Этим свойством обладают все пассивные четырехполюсники. Как было отмечено выше, решения (43.10) относятся к случаю, когда входное напряжение и входной ток изменяются по аакону синуса и отыскивается тольно установившееся состояние.
Если же рассматривается цепочная схема (первоначально находящаяся в состоянии покоя) с произвольными входными напряжением и током и требуется найти полное решение (включая и переходной процесс), то в формулах (43.!О) следует заменить Е„, 1„, 21(!Вз), УВ(!Вз) на Е„(з), У„(з), 2,(з), е.з(з) идля полученных таким путем функций з определить последовательности-оригиналы посредством преобразования Лапласа. П. Краевая задача Предположим, что цепочная схема состоит из й! четырехполюсииков, причем !У есть фиксированное число. Пусть теперь заданы не начальные значения, а для одной переменной — начальное значение и для нее же или другой переменной — конечное значение.
Другими словами, пусть заданы два граничных значения, например ЕВ и Ея или ЕВ н Ъи. Ограничимся рассмотрением технически наиболее важного случая, когда правое граничное значение равно нулю. Первый подслучай: ЕВ произвольное, "„ = О. Это означает, что цепочная схема на выходе коротко замкнута. Используем формулы (43.10), в которых для сокращения записи положим е,з)з т = (р' (волновое сопротивление). Э М) ПОЛУЧЕНИЕ ПОСЛРДОВЛТЕЛЬНОСТП ИМПУЛЬСЕ!ЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ЯЭ5 Для того чтобы исключить нз этих формул неизвестное значение 1,, подставим в перву!о формулу и = Л! и Еп = 0; мы получим 0 = Ел сЬ Л!т — /с Ч)г ЕЬ Лт. Отсюда найдем си Мт 0 Ео )т,ьМ и формулы (43.10) примут вид сЬ Мт М! (М вЂ” л) т 1 Е» = ЕосЬ пт — Ел ь мт ЕЬ пт = Ео 1 Рл = — Ел р ЕЬ пт+ Ел и, „СЬ пт Е, (43.11) Второй подслрчай: Ел произвольное, !'» О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
