Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В 2ЗО простая, а именно: (44.10) Множитель при изображении Ть(ет'), т. е. величину -аг бе (з) = й (44.11) можно понимать как передаточную функцию бо (з) цепи, включенной между входом 1*(г) и выходом Т(!) (см. блок-схему на Рис. 44.3. Преобразование мгновенного им- пульса и длительный импульс. рис. 44.3). Так как эта цепь в течение промежутка времени б со. храняет неизменным значение фушсции )(пТ), даваемое функцией гз(1), то она называется фикгируюн(ей цепью или удлинителем импульсов. Оригиналом, соответствующим изображе. нию бе(з), является весовая функция до(!) цепи, определяемая формулой де (г) = й '(и (г) — и (! — тг)].
(44, 12) График этой функции изображен на рис. 44.4. Применив теперь теорему свертывания для преобразования Лапласа, мы найдем искомую связь между функциями 7 ра йэ и 1' в виде соотношения 1(г) = де(1) е !"*(1). (44.13) Если вычислить интеграл, выражаю- й щий свертку, в явном виде, то для Рис. 44.4. и совая фуинцни 7(!) получится ранее выведенная фиисирунпцей цепи. формула (44.2). Изображение бо(з) не является дробно-рациональной функцией, поэтому удлинитель импульсов может быть реализован посредством электрической цепи только приближенно. Так как функция уь (1) однозначно определяется функцией((!) (но не наоборот), то должна существовать также возможность для вычисления изображения 2(!'(!)) = г. (ет') по изображению ь'(1(!)) = т'(з).
Прежде чем выполнить это вычисление, сделаем еще один шаг в отношении мгновенных отсчетов значений функции !(!), а именно произведем эти мгновенные от- 4 44! получение последовательности импульсным элементом 28! счеты не только в моменты времени пТ, но и в промежуточные равноотстоящие один от другого моменты пТ + т, где т имеет фиксированное значение, причем О <т < Т, Каждое фиксированное значение т дает последовательность )(пТ + т), а совокупность этих последовательностей при переменном т дает все значения функции )(!).
Последовательности 1(пТ+т) соответствует б-изображение ') Р'(з, т) = ~~", ~(пТ+т) е-и, п О (44.! 4) Для функций )*(!) = ~~~~ ! (пТ)б(г — пТ) Г' (г', т) = ~ ! (пТ + т) 6(4 — пТ вЂ” т) и О 2-изображениями будут и (Д* (г)) ~ ) (пТ) е -и㫠— и' (ет«) и О Ю о ()» (у т)) ~яр~ ~(пТ + т) е-гит+т! «е-т«Т" (ег» т) и О и*( г«П0) + ! 4(ьз и( й~) ~("")=Ъ Х Р(з+ Гп~ ("' '~ (й«Т) (44.15) (44.16) В литературе можно встретить различные выводы этих формул.
Однако в большей части случаев не оговариваются условия, при которых зти выводы возможны. В некоторых же случаях предлагаемые выводы математически просто бессмысленны. ') Некоторые авторы называют изображение г«(з, т) «модифицироваиным В-нзображением» (см., например, цитированную в сноске на стр. 208 книгу Э. Джури), причем вместо т используют величину (гл — !)Т (О< па < !). Так как Р»(з,т) есть не что иное, как настоящее В-изображенне последовательности ((лТ+ т), то указанное выше название имеет смысл только в том случае, когда обьектом преобразования является не последовательность, а функция. Лри определенных допущеншгх илгеюг место следующие соот- ноизенит 3-ПРЕОВРАЗОВАН11Е П СГО ПРИМЕНЬЧН1Я 232 1гл, в Приведем особенно простой вывод этих формул, разъясняющий одновременно их смысл.
Согласно формуле обращения преобразования Лапласа (2.8), мы имеем х.ь! и + хн 12т+и / (ПТ) ) епгзР (з) 22з ~~! ) епгпР (а) 1/з х-! ~ "'т- хэ!12т-Н при и) 1. 2х Подставив э =о+/л2 —, мы получим х+!— + г / (Л7') — ~) ЕпГаспт2п!Р (О и !Л1 ) 101 Г и 2а! т) т и х-! т откуда, имея в виду, что ептзю = 1, и обозначив переменную интегрирования снова через з, найдем к+!— и + т /(пТ) = —. ~ ~ епг"Р (а+ !Ач — ) сЬ. (44.17) -пп п к-!— г Если ряд (44, 18) в промежутке (х — / — „, х+! — ) равномерно сходится, то в равенстве (44.17) можно переменить местами суммирование и интегрирование; тогда мы будем иметь х+!— г + / (лу') — ~ епгп ~~~~~ Р '(а и /2н ) 2(э и т х-!— т Это равенство справедливо при п)~1.
Согласно сноске2) на стр. 25, формула обращения дает при ! = 0 не /(О), а /(О)/2. Следовательно, х+!+ /(о) п и и = 0 — епгх ~)~~ Р~а+/и — ) 1/апп 2 (44,19) /(ПТ) при п~~1. к !г и к+/— т ) елт«7' 4(з — ептх ) етпти 4(у г 1(о) т 1(о) г 2п( 3 2 2я 2 и «-т— т Л т 2 — при а=О, 1(о) 0 при п~)1. (44.20) Сложив равенства (44.19) и (44.20), мы получим равенство х+/— и — епт'! Т вЂ” + у Р(з+(пг — 1 >44з=*4(пТ), (44,21) т)~ и пк вп «-1— т справедливое прн всех и~~О.
Согласно формуле обраще- ния (37.7), ~(пТ) = —. ~ гп 'Г (г) 4(г, 2к/,/ причем интеграл следует взять вдоль окружности радиуса г (г = те4ч, — и < 4р (и). После подстановки г = ет' окружность переходит в вертикальный отрезок, расположенный в плоскости э на расстоянии х = 1и т!Т от оси д и имеющий ординатами своих конечных точек 4 1 —. В результате мы получим — т' и к+!в т ептвр (етв) 4(э — 1 (лТ) 2«1 (44.22) и т Левая часть каждого из равенств (44.21) и (44.22) представляет собой не что иное, как выражение для коэффициентов Фурье.
В самом деле, имея в виду, что з = г+ /у, мы можем предста- вить левую часть, например, последнего равенства в виде и к+/— т ЕнТвр'(Етв) 4(З ~ Е4«ТХ 1Епткр~(ЕТ 'кк+ПО)14(р 2л/ 2п На основании теоремы единственности для рядов Фурье из равенства коэффициентов Фурье вытекает равенство функций, 444( полтчвнив последовлтвльности имптльсным элементом ваз Далее, имея в виду, что э = г+ 1у, мы найдем а.пРеОВРАЗОЕАние и его пРимененИя (гл. в 234 представляемых этими рядами ').
Следовательно, Тг*(ег') = Т вЂ” + ~~ г"(з+)'т т ) ((0) жт ! . 2п1 м -ы но это есть не что иное, как равенство (44.!5). Аналогичным образом выводится и равенство (44.(6), причем в него значение )(О) не входит н поэтому прн и = 0 указанное выше осложнение не возникает' ). Равенство (44.17) можно понимать как представлениефункции [(ПТ) в виде изображения, полученного в результате преобразования Фурье. Поэтому из приведенного вывода следует, что изображения, получаемые в результате преобразования Фурье из некоторой функции при целочисленных значениях ее аргумента, представляют собой коэффициенты Фурье другой функции. $ 45. Импульсные системы Перейдем к рассмотрению систем, представляющих собой сочетание периодических импульсных элементов с электрическими цепями или, в более общем случае, с линейными системами.
Напомним, что линейная система характеризуется своей передаточной функцией (г'(з) или соответственно своей весовой функцией йг(1), причем символически передаточная функция изображается блоком, внутри которого помещается надпись (г'(з). Напомним также, что выходная функция У(з) [или у(1) в пространстве оригиналов], соответствующая входной функци Р(з) [в пространстве оригиналов — функции [(()], определяется при нулевых начальных значениях в пространстве изображений формулой у(з) = 6(з) Р(з), ') Если две непрерывные функнии имеют одинаковые коэффиггиенты Фурье, то эти функпии тождествеаны. Изображение сч(ет'), представляя собой степенной ряд относительно е"', непрерывно. Ряд (44лв) мы предполо. жили равномерно сходящимся, и так как его члены являются непрерывными функпнями, то и сам этот ряд также представляет собой непрерывную функцию.
') Приведенное доказательства основано на определенном допущении относительно ряда (44.18), следовательно, и относительно функции Р(з). Если дли доказательства применить формулу суммврования Пуассона, то в отношении функпин Д!) необходимо сделать следующие допущения: !] функпня ((!) имеет в каждом конечном промежутке ограниченнуго производную; 2) изображение Е (1ТЦ существует. См.
()ое1асй Сь, ()ег 2паагопзепйапя кемвсйеп беп Еар1асе-Тгапыогго!ег!еп е|пег Гной!!оп нпд бег зпаеогбпе!еп Тгерреп(нпй!!оп, Кеяе(иняз!есйп!й 5 (1957), стр. 86 — 88 импульсные системы 4 м! а в пространстве оригиналов — формулой у (1) = й (1) е г'(1) [см, соотношения (12.!О), (!2.! 1), (15.11), (15.!2), (20.8) и (20.!0)).
Линейные системы рассчитываются при помощи преобразования Лапласа, в то время как для исследования импульсных элементов наиболее удобным инструментом является 3-преобразование; поэтому для расчета импульсных систем применяются одновременно оба преобразования. Из большого числа возможных комбинаций линейных систем и периодических импульсных элементов рассмотрим только основные, !. Импульсный элемент, соэдвющвй мгновенные импульсы 1. О,нпулвгнвггт элемент расположен до линейной системвг (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
