Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Обозначим ее через у(1, т). Подставив в равенство (45.11) 1 = пТ+ т, мы будем иметь л у (пТ + т) = ~~ '1 (ч Т) г ( (45 — м) Т + т) у-е при пТ+т~(1:: пТ+т+6 0 прн пТ+ т+ 6<1<(п+!) Т+ т у(4, т) (45.1б) Положив ~ у(пТ+т)а '=у'(г, т), ~ г(пТ+т)г-л )4'(г, т), л е л о мы получим из соотношения (45.!б) описание процесса на языке Я-преобразования: (45.17) Варьируя в этом равенстве т, мы получим описание случая 1 на языке Я-преобразования.
111. Длительные нмоульем непрямоугольной формы Формулы для такого случая лишь незначительно отличаются от формул, полученных для импульсного элемента, создакнцего прямоугольные импульсы. Пусть искажение прямоугольных импульсов осуществляется посредством произвольной функции Это есть описание процесса на языке 9-преобразования. Вели- чина !7" (ет") играет роль передаточной функции линейной си- стемы, если входная функция Р до входа и выходная функция У после выхода преобразуются в длительные импульсы.
3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ ~ГЛ. 8 ф(1), определенной в промежутке О (1< Т, Тогда функция времени 1(Г) преобразуется в последовательность длительных импульсов 7(1) =1(пТ)ф(1 — пТ) при пТ ~=1<(а+1) Т, (45.18) которые будем называть ф-импульсами (рис. 44.2 яа стр. 229). Прямоугольные импульсы соответствуют случаю й при О~ 1<6, О при О<Г(Т. и+и 7 п о ~ (пТ) е «гв ~ е «Р8Р (1) Дг а В правую часть входит «конечноео Ы-изображение ) е "ф(1)аг.
о Обозначив его через Ч"(з), мы получим М Р(э) =Ч'(э) ~л~ ~1(пТ) е-"г'= Ч'(э) Р*(ет ). (45.19) о а Таким образом, единственная разница по сравнению со случаем прямоугольных импульсов состоит в том, что функция 6а(з) заменяется функцией Ч'(з), 1. Импульсный элемент расположен до линейной системы Выходная функция системы равна У(э) 6(з)Р(з)=Ч'(з) 6(э)Р*(е""). Введем обозначение Ч'(з) 6 (з) = Д (з).
(45.20) ф(г) -) / Мы имеем 2Щ=Р(э)=~' е "~(пт) ф(1 — пт) й( = пт т -' '+" ')(пТ)ф(т) а' о Импульсные сИстемы $ си Соответствующий оригинал равен г (У) = ф (г) ь К (!), причем при !)~ Т следует положить ф(!) = О; поэтому ~ ф(х)д(! — х) йх при ! < Т, ь г ) ф(х)д(! — х)йх при !)Т, ь (45.2!) В пространстве 2-изображений процесс описывается соотно- шением У (з) = И (з) г (ет') ! (45,22) откуда, как и в случае формулы (45.2), вытекает, что оригинал равен гпг~ р(г) = 2а~ г(г — УТ)((уТ) (45.23) Из сказанного по поводу формулы (45.7) следует, что рассматриваемый процесс можно описать также посредством соот- ношения ! ь у(пТ+т)= сй г((п — т) Т+т)!'(УТ) (0~(т<Т) (4524) о или на языке 3-преобразования ! (2, т) = Я (2, т) г (2) (45.25) 2, Импульсные элементы расположены до и после линейной системы Все рассуждения остаются в точности такими же, как и в случае прямоугольных импульсов, только функцию Й(з) = 0ь(з) 0(з) следует заменить функцией й(з) = Ч'(з) 0(з), Формулы (45.!3) — (45.(5), если иметь в виду новый смысл функции Й(з) илн соответственно г(!), остаются неизменными.
3-ПРЕОБРЛЗОВЛ1П1Е И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ !Гл. 8 Пример к подпункту 1 Пусть цепь представляет собой l-систему (интегрирующее звено) с передаточной функцией 0 (з) = а/з. В этом случае Я(з)=а — ' а ) лр(х)11х=-аф(1) при 1< Т, о т а ~ ф(х) 11х=аф(Т) при 1) Т, О г(1) = а ~ 1р(х)с(х=- Согласно равенству (45,23), мы имеем л-1 у(иТ+ т) - ~~~~~ г((и — т) Т+ т)) (РТ)+г(т)1(иТ) » О л-1 =-а1р(Т) ~~'.~ ~(РТ)+ а1р(т)1(иТ) (при и О, т. е. прн О <1 < Т, сумма не существует).
тт'»/ а г и г лг,гг Рис. 45.4. Длительные импульсы входной 41ункцни /(т)~/», искаженные посредством фуииции 1) (1). Если в качестве функции 1р, осуществляющей искажение прямоугольных импульсов, выбрать функцию ф=1 — —, Г (рис. 45.4), то для ф(т) и ф(Т) мы будем иметь выражения «7 г 1р(т)=т — ЕТ, ф(Т)= й, следовательно (рис. 45.5), Г «11 у(иТ+ т) = ау» ~и — + т — — ).
й ать' В частном случае, когда 1(1) ж)», мы получим «отклик на скачок» у(иТ + т) = а)О(иф (Т) + 1р(т)). ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 245 Различные изображения для рассматриваемого частного случая имеют вид 1 1 1 — ет' Чт (з) = ~ е-' ~1 — — ! Сгг = — —— 3 7 з о I )с (з) = а ~у — —. —,; — / г""(г) =! — 1, )с' (г, т) = г (т) + ~~~ г (пТ + т)г "=-а|т — — + 2Т тем' 2 / з ! т| т 1 =а(т — — +— 2Т 2 г — 1/' л ! Описанием явления в пространстве изображений на языке Я-преобразования, согласно равенству (45.22), будет 1'(з) = а!'о —, -тз 1 -Ч (з) з 1 — е а па языке Д-преобразования, согласно равенству (45.25),— т' Т 1 т г У'(г т) =-а) 1т — — -)- —— 2Т: 2 г — 1)г — 1' Если исходить не нз готовых формул (45.23) н (45.24), то необходимо перевестн в пространство оригиналов изображение У(з) нли У'(г,т).
В таком случае для У' следует воспользоваться соответствиями уЮ о1,е и. т В результате получится такое же вы- ~лХ ражение, как выше. Лля перевода в пространство оригиналов изображения У необходимо воспользоваться приводимой ниже теоремой, полезной во всех и т гт задачах импульсной техники, в кото- рых Рис.
45.5. Выходнзп фунппнп 1-системы прн возбуждении посредством длительных импульсов, пзобрзженных ив рис. 45.4. г"' (ет') = 1 — е следовательно, 1(1) = 1. Теорема 45 1. Пусть функция тр(1), определенная при значениях 0 (1( Т, периодически продолжена с периодом Т, в результате чего получается функция трр(1), определенная лри ДОБАВЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПО ЛАПЛАСУ Понятие распределения, введенное примерно в 1945 г. французским математиком Лораном Шварцем, представляет собой обобщение понятия функции.
Это новое понятие оказалось весьма плодотворным в инженерных науках и позволило придать точный математический смысл некоторым противоречивым образам, встречающимся в физике и технике, например функции Дирака б. Кроме того, теория распределений дала возможность избавиться от многих трудностей, накопившихся в классическом математическом анализе. Понятие распределения легче всего пояснить, если сначала рассмотреть классическое понятие функции с новой точки зрения. При обычном понимании под функцией у =1(х) имеют в виду соответствие между отдельными значениями у и отдельными значениями х.
Такому пониманию отвечает физическое представление о возможности установления точного значения переменной величины у, например напряжения для каждого отдельного момента времени. Между тем то, что в действительности определяется измерением, является не самим напряжением, а его воздействием на измерительную аппаратуру.
Каждое измерение дает лишь среднее или средневзвешенное значение величины по некоторому промежутку, содержащему данную точку, причем весовая функция ф(х) и промежуток измерения зависят от измерительной аппаратуры. Функции ф(х) мы будем называть в дальнейшем основными, Таким образом, измерения дают значения интегралов ) )(х) ф (х) дх, распространенных на подходящие (большие или малые) промежутки. Прн таком интегрировании играют роль не отдельные значения 1(х), а весь ход изменения значений )(х), иными д о Б А в л е! ! и е словами «распределение» г(х) пад всеми х.
Поэтому совокупность указанных интегралов называют распределением. После такого упрощенного определения понятия распределения перейдем к точному математическому определению '), т. Функционал, определяемый функцией Пусть функция )(х) определена на всей оси — оо < х ( со, которую для краткости будем обозначать через )с!.
Для того чтобы все последующие утверждения были верны в общем виде, предположим, что функция 1'(х) интегрируема по Лебегу в каждом конечном промежутке, или, как принято говорить, локально интегрируема в смысле Лебега. Это предположение вводится только ради построения обшей теории; функции, встречающиеся в технических приложениях, всегда ннтегрнруемы в смысле Римана и поэтому инженеру не следует пугаться введения более общего понятия. Основные функции гр(х) выбираются так, чтобы операции иад ними не вызывали никаких трудностей. Для этого вводится предположение, что каждая функция ф(х), хотя и определена па всей оси гг!, но вне некоторого конечного промежутка (который для разных функций ф может быть различным) равна нулю. Далее, функция ф(х) принимается бесконечно дифференцируемой.
Отсюда вытекает существенное для дальнейшего следствие; функция ф(х) и все ее производные равны нулю иа концах конечных промежутков, на которых ф определена, так как в этих точках равны нулю «внешние» производные. Совокупность всех этих ф составляет так называемое пространство функций ф, которое будем обозначать через -У. Вследствие предположения, сделанного о функции ф, интеграл 1(Х) ф (х) !ух в действительности следует распространить только на конечный промежуток, поэтому не возникает никаких трудностей в отношении сходимости в бесконечности, следовательно, интеграл суШествует для всякой функции 1 и днн всякой функции ф из пространства Я.
Этот интеграл можно понимать как «внутреннее произведение» 1 и ф, что позволяет воспользоваться обычной ') Оригинальные работы г!. Шварна предназначены для чистых математиков и требуют для своего понимания довольно больших математических знаний. Доступное введение в теорию распределешм содержится в книге: 2ет а п1а п Л. Н., 01вгт1ьи11оп 1Ьеогу апд 1гапз1огш апа1уз1з, Мсстга!«.Н111, псы Уогк, 1965, 371 стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
