Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 39
Текст из файла (страница 39)
В самом деле а" при и- оо либо стремится к нулю, либо стремится к бесконечности, либо колеблется в зависимости от того, будет ли (а„~( 1 или > 1 или = 1. ф 4!. Разностиое уравнение второго порядка улоо+ с~уп+1+ соуп [а (41.1) В качестве начальных значений пусть заданы уо и уь Изображающим уравнением на основании второй теоремы смещения будет г~[У" (г) — уо — у,г ']+ с,г[У'(г) — уо)+соу (г) =Р (г). Введя для сокращения записи обозначение г', с,г+с,=р(г), мы получим в качестве решения изображающего уравнения У'(г)= — Р'(г)+уо ' +у,—.
(41.2) р(о) л(г) л(ю Пусть Р (г) = (г — а,) (г — ао) и пусть ни один из нулей а~ и ао не равен нулю, так как иначе было бы со = О, и уравнение (41.1) свелось бы к уравнению пер- вого порядка для у эь Выполним разложение на простейшие дроби сначала для множителя при уь Мы получим ( — „— — а) при а, Фаз я (г) ( а,)о при а, =аз На практике приходится иметь дело чаще всего с разностными уравнениями второ~о порядка, т.
е. со случаем г = 2. Поэтому выполним решение для этого случая еще раз, и при этом полностью. Для перевода изображения в последовательность- оригинал используем способ разложения иа простейшие дроби. Этот способ применим и к разностным уравнениям более высоких порядков, однако тогда необходимо особо рассматривать случай, когда многочлен р(г) имеет кратные нули. Кроме того, этот способ покажется некоторым читателям более легким, чем способ, изложенный в предыдущем параграфе.
Разностное уравнение второго порядка имеет вид РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА $44] 215 Согласно таблице 37.1, № 5 и 6, мы имеем ал — ал ! 2 !. при а, -а2 а,-аа ла", ' при а, =а, =д ° (41.3) Так как да = О, то на основании второй теоремы смещения (38.2) 22 2 — = Š— В-Од Р (2) )! (2) а+!' (41.4) а на основании первой теоремы смещения (38.1) ! ! г — ! — 4-4! п Р (2) Р (2) (41.5) при условии что д ! принимается равным нулю. Тогда на основании теоремы свертывания (38.7) оригиналом-последовательностью для изображения (41.2) будет уа = ~4 д, 47„Т+уа(д„а4+ с,да)+у!да. =о Так как д ! — — да = О, то суммирование в действительности сле- дует произвести только от индекса У = 2 до н.
При л = О и п = 1 эта сумма равна нулю. В раскрытом виде решение (41.6) при и! Ф аэ имеет вид а ' — а ' )г аа+' — аа+' ал — ал 1 а а л 2 Если учесть, что с! = — (а!+ а2) и а!аз = со, то для случая, когда а, Фаэ, вместо этой формулы мы получим более простую; У-! У ! ал-! аа-! (41,7) Аналогичным образом для а! = и2 найдем (41,8) В случае разностного уравнения второго порядка обратное преобразование решения из пространства изображений в пространство оригиналов можно осу4цествить, не прибегая к разложению на простейшие дроби [так же, как это было сделано для З.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 216 1гл. в дифференциального уравнения второго порядка, см, формулы (11.6) — (11.9)). При этом, однако, нет смысла рассматривать случай а, = ссв, имеющий место при с,— с1/4= 0, так как он ие допускает дальнейшего упрощения формулы (41.8), Предположим, что а на О и ЗЬ т Ф О, и воспользуемся соответствиями № !1 и 13 из таблицы 37.1, которые перепишем в следующем виде: л 2 Вита (41.9) г' — 2аг си т+ а' ви т г(2 — 2а си т) л вь т (л — 1) вв — 2агсь 2+ ар ви т На основании второй теоремы смещения (38.2) нз соответствня (41.9), если его правую часть при п = О положить равной нулю, получаем 2 вы(л — 1) (41.11) [при п = 1 правая часть соответствия (41.9) сама собой равна нулю1 Знаменатели в соответствиях (41.10) и (41.11) совпадут с многочленом р(г), если положить — 2асйт=сн ар=с,.
(41. 12) Тогда мы будем иметь 2 с, — — =. ав(1 — с)2 т) = — а' з)222. с~ 4 Так как с,— ср/4ФО (случай а~ Ф ав), то также з)2 т Ф О, поэтому формулы (41.7) — (41.9) имеют смысл, Теперь решению (41,2) изображающего уравнения соответствует в пространстве оригиналов последовательность л Ул 1 ~ ~ав З)рт(~ !)1л — л т 2 — р,а" з)2 т (и — 1) )- р,ал ' з)2 тн ~ (4!.13) причем а и т в соответствии с равенством (41.12) должны быть выражены через коэффициенты ср и сь Формула (41.13) более удобна для численных расчетов, чем формула (41.6), особенно в тех случаях, когда коэффициенты ср и с, суть комплексные числа, что может иметь место, например, в случае задачи, ко.
торой посвящен $42. Гиперболические функции табулированы также для комплексных аргументов. Соответствия (41.9) — (41.11) прилвенимы также для разностных уравнений с порядком вьппе второго, если при разложе-, э 4я кзчгзхя злдлчх для ялзностного кя-ния втоеого погядкл 2~7 иии на простейшие дроби кроме линейных знаменателей получаются также квадратичные знаменатели, как это имеет место, например, при объединении сопряженных комплексных линейных множителей многочлена р(г) в один квадратичный множитель. ф 42.
Краевая задача для разностиого уравнения второго порядка В приложениях часто бывает, что значения неизвестной последовательности у„, определяемой разностным уравнением, требуются не для всех а~О, а только для конечного числа индексов О ~ и( йГ. В таких случаях, для того чтобы сделать решение разностного уравнения определенным, обычно задают не начальные значения, а другие. В наиболее часто встречающемся случае, когда порядок разиостного уравнения равен двум, задают, как правило, два значения уг и уз, т.
е. граничные значения, вследствие чего рассматриваемая задача решения разностного уравнения называется краевой задачей. Однако могут быть и другие возможности; например, в теории цепочных схем, составленных из четырехполюсников, иногда задается линейное соотношение между у, и У1 и такое же соотношение между уз 1 и уз. Рассмотрим следующую задачу. Дано разностное уравнение второго порядка у„эз+ с,у„.„+ с,у„= 7„ (42.1) и два граничных значения уэ и уз (конечно, должно быть И ~ 2).
Будем считать, что нули а~ и аэ многочлена р (г) = з' + с,г + с, различные (случай одинаковых нулей проще, и на нем мы не будем останавливаться). Для решения этой задачи не требуется каких-либо новых приемов, достаточно использовать общее решение (4Б7) задачи Коши, которое для случая а~ чьаз принимает внд ч~~ „ч1 ~ „ч Учсо „„+ У1 о „(и) 2). (42,2) В это решение мы должны ввести вместо неизвестного значения у, заданное значение уз.
Для этого подставим в равенство (42,2) а =' йГ. Тогда мы получим соотношение между уо, у1 и уз, З.ПРЕОБРАЗОВАПИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЙ 21В !ГЛ. 2 из которого определим у! в зависимости от ул и ун! ! а! 2 Внеся это значение у! в формулу (42.2), мы будем иметь ул втв (а2-! ал-!) ~ ! ч 2 (42.3) 2 +, „(у (а",а" — а",а")+ ул(а",— а")) ! Это решение справедливо прежде всего для 2 ( и "' Ф, однако правильный результат получится также для и = 0 и л = 1, если только первую сумму для а = 0 и л = 1 заменить нулем. Конечно, полученное решение имеет смысл только в том случае, если ан! — ан Ф О.
Если заданная длина промежутка 22' так связана с постоянными, входящими в разностное уравнение, что ан — ан О, то рассматриваемая краевая задача в общем случае не имеет решения. В этом случае в полной аналогии с известными соотношениями, получающимися при решении дифференциальных уравнений, появляются собственные значения и собственные решения, которые представляют интерес также для практики, но на которых здесь мы не имеем возможности останавливаться. й 43. Система совместных разностных уравнений с нвчальнымн или граничными условиями (цепочная схема) Предварительное замечание Продолжим исследование электрических цепей, начатое в $ 20.
Там мы рассмотрели сначала отдельный контур и составили интегро-дифференциальное уравнение (20 1) для определения тока 2(1), вызванного включением напряжения е(1) со. СИСТЕМА СОВМЕСТНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИИ 2!9 Подставив сюда т(1) = 1е!"' и е(1) = Ее!"', будем иметь') 1 (1. (1а)е+ Ца+ — ) елм = Е)ае!"', ! т С1 или + С'а) (43.!) Введя импеданс Е(з), определенный равенством (20.2), мы приведем это уравнение к виду Е(1~)1 Е, (43,2) где Е ()а) = Ца+ )т+ —,: (43.3) Уравнение (43.2) формально совпадает с уравнением (20.3), связывающим между собой $-изображения 1(л) и Е(л) произвольного тока ю(!) и произвольного напряжения е(!), т. е.
таких тока и напряжения, которые выражаются функциями общего вида. Только теперь в уравнение вместо 1(з) и Е(в) входят постоянные 1 и Е, которые принято называть комплексными токо.ч и напряжением, а вместо импеданса Е(з) общего вида — его ') если мы подставили бм е(т) ее' непосредственно в уравнение /е! (20.!), то получили бы в ием расходиитийси интеграл ) Те)еевт. ° е вершенно произвольного вида. Для связи между изображениями Е(з) и 1(з) мы получили линейное алгебраическое уравнение (20.3). При расчетах переменного тока методом комплексных амплитуд ограничиваются специальным случаем переменного напряжения е(1) = Ее! ' и принимают, что такое напряжение вызывает переменный ток с той же частотой, т.
е. полагают, что т(1) = 1е!"' (здесь Е и 1 суть комплексные постоянные, определяющие амплитуду и начальную фазу). Строго говоря, это возможно только для установившегося состояния ( — со <( < +ьь). В том же случае, когда происходит включение напряжения, т. е. когда возникает переходный процесс (О л,.1 < со), установившееся состояние достигается только спустя достаточно длительный промежуток времени (выражаясь математически, включение напряжения вызывает асимптотическое поведение, см.
в связи с этим 5 (3). Продифференцировав уравнение (20.!) по 1, мы получим 3-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [гл. в 220 специальное значение Е()чв). В случае тока г'(() общего вида мы должны были от изображения 1(э) = Е(э)/Х(э) перейти к оригиналу (((). Теперь же при расчете переменного тока методом комплексных амплитуд вычисления заканчиваются на составлении уравнения (43.2), так как единственной неизвестной является комплексная постоянная г', которая зависит от частоты гп и для которой из уравнения (43.2) получается значение Е I = —. г()ы) ' Метод комплексных амплитуд может быть распространен на электрические цели типа, рассмотренного в 5 20.
Только теперь за напряжение в н-м контуре следует принять не произвольную функцию е„((), а функцию специального вида ст(() = Е„е)нг, следовательно, частота во всех контУРах бУдет одинаковая. В установившемся состоянии токи в контурах будут представлять собой колебания с одной и той же частотой, т.
е. будут выражаться функциями вида („(() = г'„е)"г. Легко видеть, что при подстановке этих выражений для тока и напряжения в интегро-дифференциальные уравнения электрической цепи получается система линейных алгебраических уравнений, которая формально совпадает с системой (20.4), полученной для 6-изображений токов н напряжений произвольного вида. В самом деле, теперь мы имеем Ен()ю)1~+ " +2,.()ю)у.=ЕП (43.4) Еа~ (!ю) 1~ + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
