Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Если проинтегрировать этот ряд вдоль окружности радиуса г почленно (что допустимо вследствие его равномерной сходимости), то исчезнут все члены, за исключением только тех, для которых ги — п — ! = — 1, т. е. ги = и 1ср. с доказательством формулы (37.7)).Эти члены после деления на 2п! дают сумму ~) аг г-л л о которая и является изображением последовательности („йг„.
9 39. Две теоремы о предельных значениях Для 3-преобразования существуют теоремы, аналогичные теоремам 32.2 и 32,3, имеющим место для преобразования Лапласа. Теорема 39.! (теорема о начальном значении). Если изображение Е" (г) = 3(7,) существует, то )е = )гит с (г) з-Ьт причем г может стремиться к бесконечности либо вдоль вещественной оси, либо вдоль произвольного пути, так как функция Рл(г) при г = оо аналитическая. Из этой теоремы вытекает способ обра1цения 3-преобразования (см. 9 37). Очевидно, что ряды г(Е'(г) ~е) ггг+ггзг '+ггзг + г (Е" (г) — (о (~г ') =уз+ М '+ и т.
д, также представляют собой 3-изображения; поэтому, после того как начальное значение уо будет определено на основании г) Доказательство, имеющееся в кинге и'нг! е. 1., Тьеогу апд аррнса1юп о1 1йе аигапз1опп ше1поз, АЧ11еу, Хеиг Уогй, 1964, стр. 142 — !45, 167 — 166, в высшей степени трудное и без принятия дополнительных допущений вообще незаконное.
$40! Озшии случАЙ линейнОГО РАзностнОГО уРАВнения 299 теоремы 39.1, мы получим 14 = Ив г(Е'(г) — Го), л-о ~ = Иш г'(Е'(г) — ~ — Г4г-') и т. д. Теорема 89.2 (теорема о конечном значении). Если Игп 1„ лом существует, то Ига!„= !Нп (г — 1) Е'(г). .о л-о ~+О При помощи этой теоремы можно вычислить 1пп!'„по изобл-о ражению, но только в том случае, когда можно утверждать, что это предельное значение существует, хотя и остается неизвестным. В самом деле, сформулированная теорема необратима.
Так, например, следовательно, Ига (г — ! ) 4.+ ~+о существует и равен нулю. Однако !пп( — !)л не сугцествует, 9 40. Общий случай линейного разиостного уравнения В то время как для решения дифференциальных уравнений удобным инструментом является преобразование Лапласа, для решения разностных уравнений более эффективно 3-преобразование.
Линейное разностное уравнение порядка г с постоянными коэффициентами, содержащее в левой части линейную комбинацию искомой последовательности ул и ее разностей Лу„, ... ..., а"у„, а в правой части заданную последовательность („, можно путем перехода к явным выражениям разностей привести к виду Ул+т4-С, ~Уолт,+ ... +с,У„+,+СРУл=1л (п=0, 1, ...).
(40.1) Коэффициент с„при наивысшей разности у„+, целесообразно принять, как и в случае дифференциальных уравнений, равным единице. Для того чтобы решение уравнения (40.1) получилось вполне определенным, должны быть заданы начальные значения уо, уь, у, ь Тогда, положив в уравнении (40.1) а = О, мы СУМЕЕМ ВЫЧИСЛИТЬ ИЗ НЕГО СЛЕдуЮщЕЕ За у, 4 ЗНаЧЕНИЕ ут. ДаЛЕЕ, положив в уравнении (40.1) п = 1 и имея значения у4, ..., у„, З.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ (гл.
а з)о МЫ НайдЕМ ЗНаЧЕНИЕ улл1 И т. д. СЛЕдОВатЕЛЬНО, ВСЕ ЗНаЧЕНИя ул можно вычислить последовательно, поэтому уравнение (40.1) называется также рекуррентным уравнением. Однако мы пойдем по другому пути — выведем для у, общую формулу. Проще всего это сделать при помощи В-преобразования. Согласно второй теореме смещения (38.2), разностное уравнение (40.1) после 3-преобразования переходит в изображавшее уравнение г'(у'(г) Уо У12 ' — Уг-12 м ") + ...
+С1г(у'(г) — уо) (- + с,у' (г) = с"' (г), где у'(г) = 3(у ) и Р" (г) = 3() ). Как и при решении дифференциальных уравнений посредством преобразования Лапласа, так и теперь в изображающее уравнение входят, а потому автоматически учитываются начальные значения, что является большим преимугцеством по сравнению с классическим методом решения разпостных уравнений. Введя обозначение г' + с, ,г' ' + ...
+ с,г + со р (г), мы получим решение изображающего уравнения в виде') г-1 Г у'(г) = — г"'(г)+ — )~~уз ~ слгл ' (с„=1), (40,2) 1-О Л-1Ч1 1) Здесь становится ясныы, почему при переходе от Й-преобразования к В-преобразованию мы ввели подстановку 2 = е', а не 2 = е-*, хотя последняя приводит к ряду ~ Рлз" - Ч (2) -о с положительными показателями степени, который на первый взгляд проще рида с отрицательнымн показателями степени.
Для таного ряда с положнтельпымн показателями, который можно было бы назвать преобразованием Тэ1Ь лора Й(ул), вторая теорема смешения выражается соотношением Л-1 У .л ч (2) л,'з Утз ч-о Следовательно, коэффициентом при Ч(2) в изображаюшем уравнении разностного уравнения будет 2 +Со-12 + +С12 +Со Р(2 )' т. е, не целый многочлен, а дробно.
рациональная фуниция. Из-за этого об- стоятельства все расчеты становятся иропотливее, чем при Я-преобразовании, таи иаи всюду, где при 3-преобразовании получается 2, при л'.-преобразова- нии будет получаться 2 1, $ ло) ОБщиЙ случАЙ липеи!)ОГО РАЗиостиОГО уРАниенИя я)1 Входящие в это решение функции гв/р(г) ()л = О, 1, ..., г)— аналитические вне круга, содержащего особенности многочлеиа, причем также в бесконечности, следовательно, представляют собой изображения. Соответствующие им оригиналы-последовательности изящнее всего определить следующим образом.
В частном случае ) = — 0 мы имеем однородное разностное уравнение (40.3) у„+, + с,,улл, )+ ... +с,у„+, + сзул=О, поэтому У" (г) — = О. Пусть заданы начальные значения Ус=у! = =Уг-з=О Уг-)=1. (40.4) Тогда искомой последовательности у соответствует, согласно формуле (40.2), изображение у'(г) =— р(г) ' С другой стороны, искомое решение у можно определить в явном виде на основе результатов, полученных для дифференциальных уравнений. В самом деле, положив, как н в $14, — = лг (з), р (з) мы найдем, что в области преобразования Лапласа оригинал д(1), названный тогда весовой функцией, обладает в соответствии с равенствами (14.3) н (14.4) свойствами'): д<г)(()+с, )у)г !)(1)+ ...
+с)д'(0+сод(()=0, (40.6) а(0)=д'(0)= ... =д)г-з)(0)=0, л!'-и(0) 1. (40.7) Если мы проднфференцируем уравнение (40.6) и раз н затем положим ( = О, то получим д)и+г) (0) + с, у!"."г-'! (0) + ... + с)д(л+!) (0) + соа)л) (0) = О, (408) Это соотношение означает следующее: если рассматривать у(п)(0) как последовательность, зависящую от индекса и (иными словами, мысленно опустить верхний индекс вниз), то эта последовательность будет удовлетворять разностному уравнению (40.3).
Далее, равенства (40.7) показывают, что эта последовательность имеет начальные значения (40.4). Так как решение задачи Коши единственно (это следует из упомянутого выше рекуррентного характера вычислений), то л!")(0) есть решение разностного уравнения (40.3) с начальными условиями (40.4), причем относительно этого решения мы знаем, что ему ') Раньше мы обозначали порядок уравнения через и. Теперь мы прил!сияем букву г, так как в исчислении конечиык разностей буква и используется в качестве индекса для последовательностей. 3-ПРЕОЕРЛЗОВАНИЕ И РГО ПРИМЕЕЕНИЯ соответствует изображение (40.5).
Следовательно, при 3Рпреобразованин имеет место соответствие — Е-Р д(22) (О). Р (е) Эта на первый взгляд, может быть, непривычная форма оригинала-последовательности обладает большим преимуществом: она имеет совершенно общий характер и совершенно не зависит от того, являются ли все нули многочлсна )>(г) разными илн же среди иих встречаются кратные. К этому обстоятельству мы вернемся в следующем параграфе. Для обратного перевода решения (40.2) изображающего уравненпя в пространство оригиналов необходимо найти оригиналы.последовательности, соответствующие изображениям 1(р(г) и ЕР/)>(г) (р = 1, ..., г).
Согласно первой теореме смещения (38.!), мы имеем Р (е) Р (е) =г ' — ойч -п(0), (40.10) при условии если прн и — ! (О принять а(22 п(0) = О, т. е. положить йк-2)(0) = О. Далее, согласно второй теореме смещения (38.2), Р-2 — -Е,2 22)*- ~ 2(- - 22) 22-2. 2 .2. Р (2) Так как 0 (22 <)2 — 2 ( г — 2, то на основании равенств (40.7) все д(")(0) = О, следовательно, еР— 8 + -2>(О), Р (е) причем прежде всего при )2 2, ..., г, но затем на основании соответствия (40.9) также при р = 1, а на основании соответ- ствия (40.10) также при р = О, если принять, что д~ н(0) = О.
Таким образом, — И~"+" ')(0) при р=О, 1, ...,г (а~ п(0)=0). (40.!!) а~ Р Р(е) Применив к первому члену изображения (40.2) теорему свер- тывания (соответствие (38.7)), мы получим ~ д! — !(О))„„. 22 О Однако суммирование следует вести только от индекса Р - г до и, так как д<-2)(0) = 0 и, кроме того, на основании равенств (40.7) д<'-2)(0) = 0 при 22 =!...,, г — 1: при и О, 1, ..., г — 1 4 ю) овщип случаи линниного пазностного крлвг1сиия шз указанная сумма равна нулю.
Окончательно обратный перевод решения (40.2) изображающего уравнения в пространство оригиналов приводит к результату') Я г-~ Г У„= ~~.", д1' "(0)1„,+ ~г.,' Уг ~~'„', сД1"'а '-'1(0), т=г -о агн или, если положить А — 1 — 1 = 1, е р„= ~',д< -1(0) р„„+ ~ч', д, ~ .~.~.юг +в(0) (40.12) т ~-е г-е Если нули многочлеиа р(г) известны, то функцию д(1) = = Э-г[1/)т(з)) можно вычислить одним из способов, указанных в $12. Если все нули аь ..., а, различные, следовательно, простые, то, согласно формуле (12.9), а(1) =,'~~,(„) е'".
и-1 поэтому а'м (О) = Х вЂ”." и ! В этом случае решение имеет вид л г-~ г-г-~ г и-~ -е ~-о и г (40.13) 1) Сравнив ату формулу с формулами (12.10) и (14.6), мы увидим, что последовательность к~го(0) играет для разностного уравнения такую же роль, какую функция я(1) для соответствующего дифференциального уравнения. Первая часть этой формулы дает решение неоднородного разпостного уравнения, если нсе начальные значения равны нулю, т. е. когда система, описываемая разностным уравнением, выходит из состояния равновесия под влиянием внешнего воздействия. Вторая часть формулы дает решение однородного разностного уравнения, когда система, не подверженная внешним воздействиям, при каких-то начальных значениях свободно предоставляется самой себе. В этом случае решение у„ представ.
ляет собой линейную комбинацию «собственных решений» а„". В то время как в случае дифференциальных уравнений вопрос об асимптотическом поведении собственных колебаний при 1» со решает вещественная часть величины аи, в случае зпгиовгозованив и аго пгиминнния !гл. а 214 разностных уравнений эту роль играет абсолютноезначенне вели- чины и„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
