Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Это означает, что цепочная схема на выходе разомкнута. Подставив во вторую из формул (43.10) и = Л) н Уп = О, мы получим 0 = — Ес — ЕЬ Лт+ ),сЬ Лт, 1 В' откуда ли Мт о о Плскмт Внеся это значение в формулы (43.10), мы будем иметь л1! Мт с1! 1М вЂ” л) т Ео= ЕссЬ пт — Ел ЕЬ пт = Ес л сймт сЬМТ Ф ! лв Мт ЭЬ (М вЂ” а) т у = Ео ЕЬпт+Ео — сЬпт =Ел л )т аг с)! Мт )У с)! Мт (43. 12) й 44.
Получение последовательности при помощи импульсного элемента. Исследование прерывных процессов посредством Я- н Я-преобразований В некоторых областях техники в последние десятилетия получили большое значение прерывные процессы. При таких процессах проявляют себя только некоторые дискретные значения функции времени, а не все ее поведение в целом, следовательно, вместо функций приходится рассматривать последовательности.
Для исследования этих процессов 3-преобразование играет таку!о же роль, как й!-преобразование для исследования непрерывных процессов. На практике дискретные значения функций получаются при помощи так называемого импульсного элемента.
З.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 226 !гл. а Импульсный элемент представляет собой приспособление, преобразующее непрерывную входную функцию )(() в ступенчатую функцию следующих! образом: значения функции !(!) отсчитываются в дискретные моменты времени пТ (и = О, 1,...), т. е. периодически, умножаются на постоянную величину и (усиливаются) и затем каждое отсчитанное значение удерживается на постоянном уровне в течение промежутка времени О (О < О < Т). В оставшиеся промежутки времени функция 1(!) 8 47 57 57 Е 7 йт 57 7 ет .77 47 57 ет Рис. 44.!.
Преобрааование непрерывной функции в ступенчатую посредством периодического импульсного алемеита. не отсчитывается совсем, т. е. принимается равной нулю. Следовательно, выходной функцией импульсного элемента является ступенчатая функция (рнс. 44.1) ( й)(пТ) прн пТ(! <ПТ+47, О при пТ+О(г<(п+1) Т '(при О= Т вторая строка делается излишней).
Величина Т назь!вается периодом повторения импульсов, о в длительностью импульса и я — коэффициентом усиления импульсного элемента. Если ввести в рассмотрение функцию единичного скачка и(!), то ступенчатую функцию у(!) можно представить в виде )(!) = й ~~.", ЦПТ)(и(! — ПТ) — и((-пТ вЂ” 47)1. (44.2) е а е 44) получение пОследОВАтельнОсти импульсным элементОм аат Применив к этой функции преобразование Лапласа, мы получим лтаа Г(з) =,'~„'~ е-4~(1)й(= л Олт лтеа йЪ~1~( Т) е ""* — е л О л а следовательно, еаа Р( )=й —,Х1( Т) -"". (44.3) л-а При 44 = 1, Т = 1 и 6 = 1 ступенчатая функция Т (1) имеет вид, изображенный иа рис.
37.1. Площадь, ограниченная ступенчатой функцией Т(1) и осью 1, состоит из последовательности прямоугольников. Если й и т)выбраны так, что йб = 1, то площадь отдельного прямоугольника равна 'и) (пТ) 6 = ! (пТ), следовательно, в этом случае отсчитанное импульсным элементом значение !(ПТ) можно рассматривать как площадь ступени. Такое представление окажется очень удобным для понимания дальнейшего. На практике обычно выбирают длительность импульса бмалой, а коэффициент усиления й большим. Лля того чтобы сделать математическое исследование не зависящим от специального выбора значений 6 и и, идеализируют соотношения, возникаюи)ие вследствие такого вь4бора значений б и й, посредством ПрвдЕЛЬНОга ПЕрЕКОда 6-4-0, СЛЕдОВатЕЛЬНО, й-4-ео.
ТОГдафуНК- ция !Пп Т(1), получающаяся в результате этого предельного перехода, будет равна ео при значениях аргумента ПТ и нучю прн всех остальных значениях аргумента, однако прн этом площадь отдельных прямоугольников в окрестности точек ! = пТ должна сохранять свое прежнее значение )(пТ), илн на языке математики: интеграл от предельной функции при переходе через значения пТ должен изменятся скачкообразно на значение !(ПТ). Следовательно, функция !Пп 7(1) совпадает с введенным в Ч 37 распределением )л(1), получающимся в результате модулирования последовательности импульсов ~ 6(т — пТ) л а 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ !Гл. 3 функцией 7(1) (в $37 было Т = 1), т. е.
йа 7(!) =Г(1)=7(1) ~ 6(1 — пТ)= Х 7(иТ)б(! — пТ). (44 4) Осуществление предельного перехода 6- О, й- оо можно рассматривать как математическое описание физического процесса, посредством которого от функции )(1) в моменты времени ПТ берутся мгновенные отсчеты («выборки»). 2-изображение распределения )л(1), согласно формуле (18) Добавления, равно 2 (!'. (1)) = ~ )(пТ) е "г' =3()(пТ)),т„(44.5) л 0 откуда, имея в виду, что (44.6) 3 () (ПТ)) Г (г), 2 (7' (г)) — г'(е™) мы получим (44,7) Это же соотношение можно вывести из равенства (44.3) путем предельного перехода.
Так как нд = 1 и «Ю ! л-лл й =йб, — 1 при б +О, то (пп 2(! (Ф)) = йт г (з) = ~ 7 (ПТ) е-"" = г"" (ет ) (44 8) »-»о »-+о л 0 Из соотношений (44.7) н (44.8) следует, что !11п 2 (г"(г)) = 2 (г' (гн. а+о (44.9) Этот результат имеет важное значение для того случая, когда непрерывная физическая система должна приводиться в действие путем подачи дискретных значений 7(пТ), создаваемых импульсным элементом. Так как для расчета процессов, происходящих на выходе такой физической системы необходимоприменять преобразование Лапласа, то такому же преобразованию следует подвергать и входные функции.
Между тем на вход системы поступают не функции, а дискретные последовательности, применять к ноторым преобразование Лапласа бессмысленно. Эту дилемму можно разрешить следующим путем. Заменяют последовательность 1(пТ) сначала ступенчатой функцией 7(г), причем такой, для которой йб = 1, и составляют 2-изображение этой функции, т. е, 2(7) = г (з). Для того чтобы вновь вернуться й 44) получение последовдтельности импульсным элементом ойв к последовательности, совершают предельный переход !Пп Т = = (е и такой же переход по формуле (44.9) от Вгп 9(у) к х((е)'.
Это сводится к тому, что последовательность ((пТ) в целях возможности применения преобразования Лапласа заменяется распределением ((пТ)б(( — пТ) '). После появления импульсной техники слово импульс приобрело, к сожалению, двойной смысл. Во-первых, это слово уже давнс используется для бесконечно сильного удара, длящегося бесконечно малый промежуток времени, т. е. для явления, описываемого распределением б(( — пТ). В этом смысле слово импульс применялось Хевисайдом. Во-вторых, в настоящее время под словом импульс стали понимать явление, при котором какое то зна гение функции отсчитывается и затем удерживается неизменным в рнс, 44тй Длительный иьюульс иетечение конечного промежутка прямоугольной формы. времени 6 Такой импульс называют иногда прямоугольным импульсом.
В последнее время рассматривают также случай, когда отсчитанное значение функции ((пТ) в течение промежутка времени 6 не остается постоянным, а изменяется по закону, определяемому некоторой функцией ф(( — пТ) (рнс. 44.2), Для того чтобы отличать один От другого оба смысла слова импульс, можно импульс, длящийся бесконечно малый промежуток времени, называть мгновенным импульсом, а импульс, длящийся конечный промежуток времени,— д.гительным импульсом (в американской литературе длительный импульс называют пульсолг, мгновенный импульс— просто импульсом ') ).
Импульсный элемент, создающий мгновенные импульсы,преобразует входную функцию ((() в выходную функцию ("((). Импульсный же элемент, создающий длительные прямоугольные импульсы, преобразует входную функцию !'(() в выходную функцию )((). Выясним, как связаны между собой функции ("(() и Т(().
В пространстве изображений эта связь очень ') В основе этой операпии лежит перемена местами предельного перехода и интеграла Лапласа: я ()пп ( (г)) - Н гя 0 (Г(г)). Эга замена, которая в рамках илассического анализа бессмыслена, так как ~(!) не является обычной функцией, в теории распределений становится заканной. 4) Автор также пользуется этой терминологией, однако мы сочли более целесообразным сохранить прежнюю терминологию. (Прим. перев.) 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ !Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
