Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 45
Текст из файла (страница 45)
1'лспРеделып1я и нх ПРеоБРлзовл1п!е по ДАпллсу 949 символикой п ввести обозначение ) (х) 1р(х) Нх =(), ф). Таким образом, если функция ! фиксирована, то каждой функции ф пз пространства Ю можно сопоставить некоторое число. Это обстоятельство выражают словами: функция !" определяет на пространстве Ы функ!!ионал (!,1р), Этот функционал обладает свойством линейности, т. е. Й Ф1+Фэ) ()~ Ф1)+Ч. Фэ). (1) Основная идея теории Шварца состоит в представлении функции ! значениями функционала (!,Ф).
К сколь глубоким последствиям приводит эта идея, сразу видно из того, что она позволяет указать производную для каждой локально интегрируемой функции !(х), даже если эта функция недифференцируема. В самом деле, если функция г(х) обладает локально интегрируемой производной г'(х) в классическом смысле, то, согласно сказанному выше, эта производная представляется функционалом +Ю (!', 1р) = ) !'(х)1р(х) дх. Если преобразовать этот интеграл посредством интегрировании по частям, то вклады, даваемые концами промежутков, отпадут, так как там ф исчезает, и остается только (!', 1р) — ~ ) (х) 1р'(х) нх = — (!, 1р').
Правая часть этого равенства имеет для каждой локально интегрируемой функции ! вполне определенный смысл н представляет собой функционал на пространстве Я. Поэтому сама собой напрашивается мысль приписать каждой такой функции 1обобщенную производную, Для того чтобы отличать обобщенную производную от обычной (классической) производной, будем обозначать ее через Р.
Таким образом, мы можем написать (пР, р) .= — (Р, р ). (2) Обратим внимание на то, что введение такого условия только устанавливает, какое значение лу! сопоставляется с каждой функцией ф. Следовательно, обобщенная производяая О) в отличие от классической производной Г'(х) не имеет смысла числа. довлвление П ример.
Пусть 1(х) есть функция единичного скачка, т. е. 0 при х(~0, и (х) 1 прн х) О. В классическом смысле эта функция неднфференцируема, так как в точке х = 0 оиа претерпевает разрыв. По-другому обстоит дело с точки зрения теории распределений. В самом деле, + "7 М (Ои, ф) — (и, ~р')= — ~ и(х) ср'(х) сЕх= — ~ <р'(х) дх=<р(0). (3) о Следовательно, функционал, представляющий обобщенную про- изводную Ои, имеет для каждой функции ~р из пространства Ы значение ~р(0).
Чго это означает, станет ясно из дальнейшего. Повторяя указанный процесс, мы придем к определению й-й обобщенной производной Й" функции 1': ( М р ) ( 1 ) ( ~ ц ~ ~ ~ ) ( ~ 1 ~ ) ( Каждая локально интегрируемая функция сколь угодно раз может быть днфференцируема в обобщенном смысле, Пример: ( (тт'и, <р) (-1)" (и, р'") =(-1)')г ~рш (х)4х=(-1)ь '<р~ь-п(0). О Новое понятие дифференцнруемости охватывает старое понятие, т. е. если функция 1(х) имеет й-ю производную )т">(х), то эта производная определяет тот же функционал, что и обобщенная производная 11"). 1!.
Распределение Предыдущие объяснения имели своей целью подготовить переход от классического анализа к современной теории распределений. Исходя от частного случая — от функционала, определяемого функцией 1 и сопоставляющего каждой функции ~р из пространства Я значение (1, ц), рассмотрим теперь абстрактный функционал Т, сопоставляющий каждой функции ц~ из Я число, которое будем обозначать через (Т, ~р). При этом потребуем, чтобы этот функционал был линейным (определение такое же, как и выше; см. соотношение (1)) и неирерывным. Последнее свойство требует специального определения.
Будем ориентироваться при этом на определение непрерывности обычной функции у(х). Последняя называется непрерывной в точке х, если для каждой сходящейся к х последовательности хн (н = О, 1, ...) имеет место равенство 1пп и (х„) у (х). РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПО ЛАПЛАСУ З51 Смысл выражения «х„при и- Оо сходится к х или в символической записи 1пп х„х» должен быть известен читателю из и~а классического анализа.
Что же касается смысла выражения 1ип ф„=ф в пространстве мх, то, конечно, сначала необходимо определить этот смысл. Введем следующее определение. Последовательность ф из пространства )к) сходится при п-+ оо к ф из пространства Ж, если все ф„, лежащие вне фиксированного отрезка г, равны нулю и если для каждого отдельного й = О, 1, ... выполняется условие: ф„'а' при и- оо стремится на отрезке г' равномерно к фсл)(х). Для того чтобы четко различать это понятие сходимости от понятия х„-+х классического анализа, будем писать 11гп (л)) ф„= ср. и -ь а Теперь, аналогично понятию непрерывности обычной функции д(х), мы можем ввести определение: Функционал Т называется непрерывным в элементе ф из пространства )а>, если для каждой сходящейся к ф последовательности ср имеет место равенство Бгп (Т, ср„) =(Т, ср), Теперь мы имеем все необходимое для следующего определения: Определенный над пространством ге) функционал Т, линейньгй и во всех элементах ф пространства 2> непрерывный, называется распределением.
Приведем конкретный пример этого абстрактного понятия. Можно доказать'), что функционал (г, ф), определенный локально интегрируемой функцией ~(х), представляет собой распределение. Будем называть такое распределение регулярным распределением и обозначать его через 1, а в тех случаях, когда надо отличить его от фушсции 1 в классическом смысле,— через [Д. Множество всех распределений можно рассматривать как пространство, которое будем обозначать через мх' (пространство, двойственное по отношению к пространству )а)).
Это пространство содержит все регулярные распределения, но безусловно также другие элементы, как сейчас мы это покажем на конкретном примере. Выше [см. формулу (3)] мы установили, что ') Н этом месте необходимо предпологкение об интегрируемостн функции 1(х) по Лебегу, так как иитегрируемостн по Римаиу а общем случае не. достаточно дли донаэательстаа непрерыаиости. 282 довдвлнння обобщенная производная единичного скачка и(х) обладает свой- ством (0и, ф) =ф(0). Ои есть функционал, так как он сопоставляет каждому ф число, а именно ф(0). Очевидно, что функционал Ои не только линейный, но и непрерывный, так как когда ф„в определенном выше смысле сходится к ф, то фи(0) тривиальным образом стремится к ф(0).
Следовательно, 0и есть распределение. Будем обозначать его буквой 6. Для этого распределения справедливы соотношения; 6- 0и, (5) (6, ф) = ф (О). (5) Тем не менее 6 безусловно не является регулярным распределением. В самом деле, если бы 6 представляла собой функцию 6(х), то должно было бы соблюдаться равенство 6 (х) ф (х) ах =- ф (О). (7) Однако не существует локально интегрируемой функции 6(х), которая обладала бы таким свойством ').
Теперь понятно, почему мы обозначили распределение, определенное равенством (б), буквой 6, т. е. той букной, которой уже давно принято обозначать образ, введенный Дираком. Этот образ должен был иметь именно то свойство, которое выражается соотношением (7), хотя было ясно, что такой образ не мог существовать в виде функции в классическом понимании. Этот образ представляли себе в виде предельного понятия, как об этом было разъяснено в $ 1 и в п.
2 й !3, Естественно, что когда этим в действительности не существующим образом оперировали по правилам классического анализа как функцией, то покидали твердую почву точной математики. Напротив, понимая 6 как распределение, которому можно было бы дать и старое название «ямпульс», мы получаем в наше распоряжение непротиворечивый математический объект, позволяющий достигать именно того, чего раньше напрасно ожидали от «функцин» 6(х), «Выведение» значения ф(0) из функции ф(х) теперь следует понимать в смысле равенства (б), причем, однако, образ (б,ф) иельзи понимать как интеграл. Равенство (5) совершенно точно выражает и другое свойство, которое раньше приписывалось «функции» Дирака 6, ') См., например, книгу: Г е н н ф а н д И.
М. и Ш и а о в Г. Г, Обобщенные функкии и действия аад ними, фнаматгиа, Москва, 1988, га. 1, Э 1, (Прим. перев.) РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПО ЛАПЛАСУ 253 а именно, б является «производной» от функции и(х), причем эта «производная» равна нулю всюду, кроме точки х = О, а в точке х = 0 она равна бесконечности. «Производную» те. перь следует понимать в смысле обобщенной производной, Обобщением распределения б является распределение бм определяемое равенством (б„, ф) ф(6). (8) Распределение б» соответствует постулированному в прежнее время понятию импульса, действующего не в точке х = О, а в точке х = й (сдвиг б-функции).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
