Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е, так, как зто принято прн преобразования Лапласа. з) Согласно довольно трудно доказываемой теореме, каждое распределе. ние на каждом конечном промежутке / (г. е. если в (т,ср) допускаюгся только такие основные функции, носители которых лежат в /) является й-й обобщенной производной непрерывной функции. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПО ЛАПЛАСУ ЭБ7 поэтому А)6 = и(Е) и, следовательно, на основании формулы (5) Е>з6 = Ди (13) Таким образом, распределение б имеет конечный порядок.
Из распределений конечного порядка выберем подпространство м>м которое входит в состав пространства Ю+ и элементы которого удовлетворяют условиям: Функции 6(Е), определяющие рассматриваемые распределения, равны нулю при Е < О, т. е. 6(Е)=0 при Е<0, и, кроме того, для этих функций 2(6 (Е)) существует при >хе з > в. (15) Если распределение Т принадлежит к ус>з и Т=.0>6(Е), то 2-изображение этого распределения определяется равенством 2 (Т) = ззй (6 (Е)). (15) Правая часть существует при >хе з ) а и представляет там аналитическую функцию г" (з). Примеры.
Как мы у>не знаем, распределение б имеет конечный порядок, причем б = Е>'6, где 6 есть функция из предыдущего примера, удовлетворяющая условиям (!4) и (15). Следо. вательно, распределение б имеет Е-изображение, которое равно о (б) 29 (6) зй (Е) з (17) Очевидно, что б(Š— Ез) = Е>'6(Š— ЕА), следовательно, й>(б(Š— Е )) = язв(6(Š— Ео)) = зте и*9(6 (Е)) = е и (18) Далее, мы имеем й(б! )=9(П+Рй(Е))= 9(6)=,. (19) Появление степеней з с неотрицательными целыми показателями в качестве изображений распределений особенно примечательно, так как в классическом преобразовании Лапласа встречаются только степени с отрицательными показателями.
Правила выполнения преобразования Лапласа для распределений Важнейшим правилом отобра>кения операций прн классическом преобразовании Лапласа является теорема дифференцирования (правило Ч). Аналогичное правило дтя распределений гласит: Правило Ч'. Если 9(Т) = г (з) существует, ~о В" Т с-Аз"Р (з).
258 ДОБАВЛЕНИЕ Доказательство. Если Т = РАИ(1), то 0"Т = 0 чАИ(1),поэтому 2(Т)=Р(з)=з 2(И) и 2(ОТ)=з'+А2(Ь), следовательно„ 2 (О" Т) = з "Р (з). Правило Ч' отличается от классического правила Ч отсутствием начальных значений, которые для распределения, впрочем, не имели бы никакого смысла, так как распределение в каком-либо месте не имеет определенного значения.
Тем не менее правило Ч' в том случае, когда Т является функцией 1(1), совпадает с правилом Ч. В самом деле, 1(г) как распределение из ЯУ+ при 1(0 определяется как нуль, поэтому все левосторонние значения 1, Т',... в точке 1= 0 равны нулю. С другой стороны, если 1, Т',... при 1> 0 существуют в обычном смысле и имеют при 1- +О предельные значения 1(+0), 1'(+0), ..., то, согласно формуле (12), 0")=)ы~+(ы и(+0)6+ ... +((+0)бы ~. (20) Если 2(~<л)), следовательно, и 2(7) существуют в классическом смысле, то они существуют и в смысле теории распределений. Поэтому, применив к равенству (20) преобразование Дапласа и приняв во внимание равенства (17) и (19), мы получим на основании правила Ч' зл2(1) — 2((~л)) 1 (~л-н ( 1 О) 1 +1( 1 О) зл-3 т, е.
такой же результат, как и при применении правила Ч. Примеры, 1, Пусть Т и(1), следовательно, 0Т = б. Правило Ч' дает 2 (б) .= з2 (и) =- з — = 1, что совпадает с ранее полученным результатом (17). 2. Пусть Т = и(1 — 1,), следовательно, 0Т = б(1 — 1Б). На стр. 44 уже было отмечено, что правило Ч к функции и(1 — 1Б) неприменимо, так как эта функция в точке 1л недифференцируема. Однако если понимать и(1 — 1,) как распределение и применить правило Ч', то получится правильный результат; 2 (О и (1 — 1,)) = 2 (б (1 — 1,)) =- ай (и (1 — 1,)) =- з — = е ь*.
В приложениях наряду с правилом дифференцирования важную роль играет также правило свертывания. Естественно, что было бы желательно иметь такое правило также для распределений. Однако для распределений правило свертывания можно сформулировать только довольно сложным образом. Кроме РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ИХ ПРБОБРАЗОВАНИЕ ПО ЛАПЛАСУ Мв того, свертка распределений существует не во всех случаях, а правило свертывания также не носит общего характера. Однако для распределений конечного порядка из пространства и); понятие свертки можно определить простым образом и в соответствии с зтим определением можно сформулировать и правило свертывания.
Определение свертки Пусть Т, =0ай, (г) и Т, =Ауа па(1) суть два распределения из пространства Яе. Для таких распределений их свертка определяется равенством Т! а Тз = П + (й! (Г) а йз (1)), (21) в котором выражение 6! е йз следует понимать в классическом смысле, а именно: '»! "' йз ~ й! (т) йз(1 !) !(т а Такая свертка распределений существует всегда и совпадает с классической сверткой в том случае, когда Т, и Т, опре- делаютсЯ локально интегРиРУемыми фУнкциЯми 1! и гз, Равными нулю при 1( О (следовательно, принимается Т, Щ, Т, = и). Для доказательства составим функции Ь! (О = ~ ) ! (т) Ут = У! 1, йз (1) = ~ й (т) и!т - 6 1. е е Они непрерывны при всех 1 и равны нулю при ! < О.
Для последующего нам потребуется следующая оби(ая теорема; Пусть д(1) есть локально интегрируемая функция, определенная при всех й Тогда для ! 0(1) = ) д(т) с(т=-да 1 о имеет место соотношение ') 00 = д, где А понимается как распределение Ц. В самом деле, <Ва, р)== — <О, р)=- — ~ а() р (),(т. !) Если интеграл нонимаетсн в смысле Лебега, как это и необходимо в теории распределении, то обычнан производиан от 6 существует «почти везде» и «почти везде» равна а. Если же интеграл понимать в смысле Римана, то утверждение, что «г' = л, в общем случае возможно только при условна непрерывности я, довавлннин Применим к интегралу обобщенное интегрирование по частям '), Имея в виду, что ф(1) равно нулю вне некоторого.конечного интервала, получим (РР, ф)= )г д(т)ф(т)с(т=(д, ф), т.
е. Рб=д. Согласно этой теореме, Р6,=(ь Рйа=Ц следовательно, на основании определения (21) и доказанной теоремы Т~ э Те Р (6~ а 62) Р ()~ а: 1 а 12» 1) = Р ((~ а 1а Ф 1 е 1) =Д~ а 1». Применив к свертке (21) преобразование Лапласа, мы получим на основании правил Ъ" и !Х; 2 (Т! а Т.) = за«»лай (61 а 62) = яа +арй (61) 2 (6а) = = за 2 (6,) за'2(6а) = 2(Т,) 2(Та). Таким образом, мы доказали следующую теорему: Правило !Х' (теорема свертывания). Если Т, и Та суть распределения из пространства гс)о и 2(ТД =- Р~ (з), (((Та) =- га(з), то имеет место соответствие Т, * Т, Р, (н) Ра(з).
Пример. Пусть распределение Т принадлежит к пространству й2о, тогда 2(Т»6)=2(Т).2(6)=2(Т) 1=9(Т), следовательно (23) т. е. 6 играет при свертывании роль «единичного элемента». В частности, 6 аб = 6. ') 1(роме обычного правила интегрирования по частям Ь ь У()Уг()(УУ(Ь ~Ус()У()1 а а супгествуст обобщение »того правила. Пусть У(1)=~ и(т)от, У(1)=~ о(т)от. Тогда ) У (т) о (т) от = У (т) У (т) )„ — ) и (т) У (т) с(т.
!. опирлции 262 Р (е) ( (1) 12 а'Р (и) Фе — с! (!) и Р(5) !ел (- 1)" ((!) 8) (1) 14 ~"ПО а! ~ Р(а) аа ! (1) И (((1) !л 18 о Ф вЂ” ~ Р(о) аЬ 1Г 19 — ~ Р(а) аа г о 20 — Р (з) 1 21 — „Р (г) 1 и ~'(~ ° -! "ч)~ ~ о Ф-! е у(е) — — г у,е 1-.— и о еР(е) — ((+ О) л-1 ~и~~ )1О! (+0) Ел-О-~ о-о 7 (! + а) (а ~ О) у (1+ Й), причем у(!) ул при л(~1<а <1 1 ~)(ч)~И-!«) е1 о (!.,)'ю(,> Я. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Р (з) сЬ аа 49 (я — а)а (1+ аз) е' 50 1 — (а — !) е аа 5! (1+ ая)' аеа — Ьееа 52 (я а) (3 — Ь) ! ае — Ье 53 (! + аз)(! + Ьз) 1 за аЬ (а — Ь) за ! 2 54 — (е — 1- а!) 1 аа аа 55 3'(3 — а) а ае +! — а з'(1+ аз) 57 з (з — а)' 58 з (1+ аз)' 5еаа — авы — + аЬ аЬ (а — Ь) з(з — а) (з — Ь) з(1+ аз) (! + Ья) 1 61 (з- а) (з — Ь) (я — с) 62 (!+аз)(!+ Ьз)' Ь (а — Ь)а ( $ + аз) (1 + Ьз) (1+ сз) 1 (я — а) (я — Ь)а 11+(аз — «в $1 а а+! е 1 — — е а ае а -Ье ь $+ Ь вЂ” а (с — Ь) ееа + (а с) еы + (Ь а) еаа (а-Ь)(а-с) (с -Ь) а(Ь вЂ” с)е е+Ь(с — а)е я +с(а — Ь)е (а — Ь) (а — с) (Ь вЂ” с) е ' — ($+(а-Ь)!) я' (а — Ь)а а аЬе — (аЬ+ (а — Ь) !) е В.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ № [ Ь' (г) !веа! 2 1 (г — а)2 1 !2е 2а' (1+ аг)' — (1 — сова/) 1 а' г (в' + а') — (с(2 а! — 1) 1 а2 я (гв — а') б9 (5 — а) (г — Ь) (в — с) 70 (г-а)(я-Ь)(г — с) 7! (а — Ь) (Ь вЂ” с)(а — с) 72 (г — а) (г — Ь)2 (а — Ь)' (в — а) (в — Ь)2 ! в (1+ ав) (1 + Ьг)' Ь'(а — Ь)' — Ь) а![ е в (1 + аг) (1 + Ьг) аЬ2(,-Ь)2 (1+ аг) (1+ Ьв) (!+ се) (1+ ав) (1+ Ьв) (1+ ся) а (Ь вЂ” с) ее'+ Ь (с — а) ев'+ с (а — Ь) е" (а — Ь) (Ь вЂ” с) (а — с) а (Ь вЂ” с) ее!+ Ь (с а) ее!+с (а — Ь) ее! (а — Ь) (Ь вЂ” с) (а — с) ! ! ! (с — Ь)е в +(а — с)е " Ф(Ь вЂ” а)е ! Ьс(Ь вЂ” с) е " +ос(с — а) е +аь(а-Ь)е аЬс (а — Ь) (Ь вЂ” с) (а — с) аее' — [а+ Ь (а Ь) !] еы (а — Ь)2 а ев! — [2аь — Ь + Ь (а — Ь) !1 еЫ вЂ” Ь'е + [Ь'+ (а — Ь) 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
