Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Вернемся к обшей теории. Кроме сложения распределений, определяемого посредством равенства (т, + т,, ф> =(тн ф)+(т,, ф>, нас интересует умножение двух распределений. Специально для регулярных распределений Оно должно было бы определяться равенством У4ь ф>= ~ ~,(х)6з(х)ф(х) ах.
Однако этот интеграл имеет смысл не всегда, так как произведение двух локально интегрируемых функций не всегда является локально интегрируемым (пример: х-'* ° х-ч = х-'). Поэтому произведение двух распределений не допускает определения в общем виде. Приходится ограничиваться случаем, когда одно из распределений является функцией. Произведение распределения Т на функцию а(х), бесконечно дифференцируемую на У, определяется равенством (а(х) Т, ф) (Т, аф).
(9) Обратим внимание на следующее: поскольку а(х) предполагается принадлежащей пространству Я, то этому же пространству принадлежит и аф, и в частном случае, когда Т = ), определение произведения сводится к тривиальному равенству ~ [а(х)[(х)[ф(х)дх ) ((х)[а(х)ф(х))дх. В частном случае, когда Т = б, мы получаем (а(х) б, ф) =(б, аф) =а(0)ф(0) =(а(0) 6, ф', следовательно, а (х) б = а (О) б. (10) Это соотношение раньше считалось для «функции» Дирака б само собой понятным и притом для каждой функции а(х). З54 ЛОБАвлепие Для того чтобы на основе понятия о распределении можно было построить соответствующий анализ, необходимо, естественно, ввести для распределений понятие дифференцирования.
Это можно сделать на базе соотношения (4). Хотя это соотношение установлено для функций, оно сразу допускает распространение на случай распределений. Производная й-го порядка распределения Т определяется равенством (ПьТ, ф (х)) =( — 1)~ (Т, фса (х)). (1 1) При таком определении производной каждое распределение может быть сколь угодно раз проди4ферениировано. Пример. Для Т = б, согласно формуле (6), мы имеем (О"б, ф(х)) =( — 1) (б, фна(х)) =( — 1) ф~м(0). Таким образом, мы получили точное определение производных распределения б, тех производных, которые раньше влачили не.
определенное существование (под названием диполя и т. и.). В общем случае мы будем обозначать производные символом П. Однако для производных распределения 6 будем пользоваться — в виде уступки обычаю, принятому в физике в течение десятилетий, †обозначени, принятым для обычных производных, т. е.
посредством верхнего индекса, причем иногда одновременно будем указывать в скобках и соответствующую переменную на Й', например 6(х), бсн(х) или 6(Г), бсн(4). Соответственно этому будем писать 6(х — 6) вместо бк. Если функция 1(х) я раз дифференцнруема на всей осн Р', то регулярное распределение, определяемое Й-й производной рм(х) (в предположении ее локальной интегрируемости), совпадает с обобщенной производной Вк!', в чем легко убедиться, если записать (рч~, ф) в виде интеграла и й раз проинтегрировать этот интеграл по частям. Важно отметить, что между рю(х) и Пк) также существует связь, если имеет место следующий, часто встречающийся в приложениях случач. Пусть функция !'(х) имеет одну-единственную особую точку а, в которой ~<ю(х) не существует, в то время как 1(х) при х( а и х ) а обладает производными до й-го порядка включительно; далее, пусть 1(х), )'(х), ..., )а-п(х) имеют в точке х = а только разрывы первого рода, следовательно, они имеют слева и справа от х = а предельные значения: ((а — О), ~'(а — О), ..., ~<4-п(а — О); )(а+ О), )'(а+О), ..., рм н(а+ О).
Как уже было сказано, )Оч(х) обозначает А-ю производную функции ((х), существующую везде, кроме как в точке х = а. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПО ЛАПЛАСУ 255 В таком случае имеет место соотношение .0А< =- У<А< (х)]+ [<<А п(а+ 0) — [<А-н(а — 0)]б(х — а)+ + [[<А-'>(а+ 0) — )<А-м(а — 0)]б'(х — а)+ ... + Ц(а+ 0) — )(а — 0)]б<А н (х — а). (12) В первой части мы применили для []«А<(х)] полное обозначение с целью четко показать, что в обе части соотношения входят только распределения.
В самом деле, распределение может быть равно только распределению. Правда, иногда для краткости говорят, что распределение в открытом промежутке ! равно функции. Под этим подразумевается следующее. Распределение (Т, ф) равно (1, ф) для каждого ф, равного пулю вне промежутка Е В этом смысле можно, например, сказать: распределение б равно функции нуль в промежутках — ос < х < 0 и 0 < х < со, В самом деле, если ф, например, вне промежутка — оо <х < О, т. е. в промежутке 0.<х < оо, равно нулю, то (б, ф) = ф(0) = О. С другой стороны, (О, ф) = О, следовательно, (б, ф) = (О, ф), т. е.
б = 0 в промежутке — оо < х< О. (См. в связи с этим сказанное в разделе! П по поводу «носителя».) !!!. Преобразование распределений по Лапласу Классическое преобразование Лапласа применимо к функциям, определенным только при ! )~ О. Если же рассматривать функции на всей оси ! (что целесообразно, например, при использовании комплексного интеграла, осуществляющего обратное преобразование Лапласа), то при ! < 0 их следует принять равными нулю.
Что касается преобразования по Лапласу распределений, то в соответствии со смыслом этого преобразования оно возможно только для таких распределений, которые обладают аналогичным свойством. Для точной формулировки этого свойства необходимо ввести следующие понятия. Носителем непрерь<вной на «< функции ф(х) называется наименьшее замкнутое множество, содержащее в себе точки х, для которых ф(х) ФО, т.
е. он представляет собой множество значений х, удовлетворяющих условию ф(х) ФО. Дополненное предельными точками. Иными словами, носителем функции ф(х) является наименьшее замкнутое множество, вне которого ф(х) = О. Для того чтобы сформулировать аналогичное понятие для распределений, прежде всего необходимо найти для распределения аналог понятия о равенстве нулю функции.
Распределение принимается равным нулю иа открытом множестве 7, если (Т, ф) 0 для всякой функции ф, носитель кото- йбй довавлгчгпзе рой лежит в /. Введение такого понятия позволяет сформулиро- вать определение: Носителем распределения Т является наименьшее замкнутое множество, вне которого Т О. Прищер, Распределение (6, ср) = ср(0) равно нулю для всех 1р, носители которых лежат на открытом множестве ) х! > О, так как в этом случае ср(0) = О. Следовательно, 6 = 0 па открытом мно- жестве )х! > О. Дополнительным множеством к )х) ) 0 яв- ляется точка х = О. Она представляез ссзбой наименьшее замк- нутое множество, впе которого 6 = О. Таким образом, 6 имеет в качестве носителя единственную точку к = О.
То же самое имеет место и для бсьй Распределение определено всегда на всей оси //г, но преоб- разование Лапласа возможно только для таких распределений, носители которых лежат на полуоси 0 4/ < оо '). 11ространство этих распределений обозначается через сс)+. Этому пространству принадлежат те понимаемые как распределешгя функции, кото- рые при / < 0 равны пулю. Я-изображение распределения можно определить различ- ными способами, каждый из которых пригоден для некоторого подпространства пространства Я+.Мы выберем такое определе- ние, которое применимо к распределениям конечного порядка.
Так называются распределения Т, которые являются обобщен- ной производной конечного порядка й непрерьгвной на Л' функ- ции й(/), т. е. Т = /)ь/г(/) з). Пример. Как мы знаем, 6 = Ои. Однако этого равенства не- достаточно, чтобы считать распределение 6 имеющим конечный порядок, так как функция и(/) не непрерывна. Необходимо со- ставить еще интеграл й(/) от функции и(/), причем й(/) = О при /(О, Ь(/) =/ при /) О, Эта функция на й' непрерывна. В точке / = 0 она недифферен- цируема, но зато существует /)/г. В самом деле, Ю (/)й, р) = — (/г, р') = — ~ Ггв' (/) с// = — Гф (/) )," + ( р (/) д/ = о о Ю + ОЭ = 0 + ) ф (/) г// = ) и (/) гр (/) с// = (и, гр)„ 1) Начиная отсюда мы будем обозначать переменную иа и' вместо к через Г, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
