Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 43
Текст из файла (страница 43)
45.1). Входная функция Р(э) разбивается на импульсы; система, характеризуемая передаточной функцией 6(э), возбуждается выходной функцией г'(ет') импульсного элемента [см. сказан. ное на стр. 228 по поводу формулы (44.9)). Следовательно, на Рис. 45.1, Импульсный элемент до лвлей ной слстемы. языке преобразования Лапласа выходная функция У(э) системы определяется формулой у (э) = д (э) г' (ете) (45,1) или в явном виде ОО у (э) гт (э) ~~~~~ 1(пТ) е-лтг — ~ )'(пТ) [е-лтлсг(эн л о л-о На основании первой теоремы смещения для преобразования Лапласа изображению Г(э) соответствует оригинал у(1) =- лл 1(пТ) ьг(г — пТ), л=о причем д(1 — пТ) 0 при пТ ) й Следовательно, члены с и > ![Т отпадают, н поэтому в пространстве оригиналов мы 3 ПРСОБРЛЗОВАПИЕ И НГО ПРИМЕПЬННЯ ~ГЛ.
а имеем шт~ у (т) = ~э~ ! (ПТ) а(1 — пТ) и О (45.2) Эту формулу можно вывести также следующим образом. Согласно сказанному в п. 2 и 13, отклик па импульс мощностью в единицу, происходяший в момент времени 1 = О, равен д(~); следовательно, отклик на импульс мошностью в ((пТ), происходящий в момент времени 1 = пТ, равен !(пТ) д(г — пТ). До момента времени ! импульсы возникают в моменты О, Т, 2Т, ..., ЦТ)Т. Весовая функция д(1) есть отклик па единичный скачок, следовательно, д(0) = О, н поэтому выходная функция у(У) непрерывна также при переходных значениях ~ = ПТ, так как при этих 1 весовая функция д(( — пТ) = д(О). Описание рассмотренного процесса на языке 3-преобразования — см.
на стр. 237 в конце подпункта 3. 2. Синхронно работающие импульсньсе элементьй расположенные до и после линейной системы (рис. 45.2) Импульсный элемент, расположенный после линейной системы, приводит к тому, что выходная функция у(1) отсчитывается Рнс. 4бхь Санхронно работанннне импульсные элементы до и после линейной системы. не непрерывно, как в предыдущем случае, а только в моменты времени 1 = пТ. Формула (45.2) принимает вид у (пТ) = ~ ! (ч Т) д ((и — т) т) е-а (45.3) Положив ~х~~ у(пТ)г "= у (2), Х !(ПТ)2 "= Г(2) Х Р(пТ)г "= 6*(г), л о л о л о мы получим из формулы (45.3) после применения теоремы свертывания (38.7) для 3-преобразования соотношение (45.4) $ га) импульсггые системы йзт Это соотношение, выведенное с помощью Д-ггреобразованггя, дает очень простое описание процесса в том случае, когда он происходит прерывно и на входе, и на выходе').
Оно является аналогом соотношения у(з) = Р(э)6(з), имеющего место для непрерывного процесса, в связи с чем функцию 6*(г) можно назвать передаточной функцией для случая синхронно работающих импульсных элементов. Гслн извество, что у(пТ) при и - со стремится к установившемуся состоянию )шг у (пТ) =- у (оо), » ь то можно применить теорему 39.2, и мы получим у (оо) = 1пп (г — 1) Р' (г) 6' (г). «.+гее (45.5) 3. Несинхронно рабогагои)ие импульсные элементы, распалоэсенньге до и после линейной систелгы От входной функции импульсы берутся в моменты времени пТ, а от выходной функции — в моменты времени пТ+ т (0<т< Т).
И в этом случае можно использовать результат, полученный в подпункте 1. Достаточно подставить в соотношение (45.2) ! = пТ + т; тогда мы будем иметь » у (ггТ + т) = У, ) (у Т) а ((и — зг) Т + т) (45.6) Введя по образцу формулы (44.14) 3-изображеггия ~2~ у(пТ+т)г»=Г(г, т), ~ р(пТ+т)г-»= 6" (г, т), »-О » О мы получим из равенства (45.6) на основании теоремы свертывания (38.7) соотношение у (2, т)=Р*(2)6 (2, т) (45.7) г) В литературе соотггонгеггне (45.4) доназмваетсн нггогда Очень сложным путем, например, па основе равенства (44.)5). Мы видим, что описание процесса на языке 3-преобразования получается особенно простым, Функцию 6*(г,т) можно рассматривать как передаточную функцию для случая несинхронно работающих импульсных элементов.
Варьируя т от нуля до Т, мы получим описание случая 1 на языке 3-преобразования. Такое описание целесообразно для процессов, протекающих частично непрерывно, а частично прерывно. 3-ПРЕОБРАЗОВАИИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ ЕЗЗ ~гл. а 4. Импульсный элемент расположен между двумя линейными системами (рис. 45.3) Пусть обе системы характеризуются своими весовыми функциями уг(Г) и дг(1) или соответственно передаточными функциямн 6>(з) и 6г(з).
Если входная функция И(г) 1илн Й(з)3 Рис. 4о.з. Импульсный элемент между двумя линеанымн системамн, поступает через импульсный элемент в систему дг (или 6г), то выходной функцией будет: в пространстве оригиналов, согласно формуле (45.2), 1ПП у(г) = ~ И(пТ) д~(У вЂ” пТ), и о а в пространстве изображений, согласно формуле (45.1), Ф У(э) =- 6г(з) Н'(ег') = 6 (з) ~ И(пТ)е-'г'.
-о В нашем случае функция И(У) 1или Н(э)) является выходной функцией из системы дг (или 6,), следовательно, И(г) = д1(г) э !(г), Н($) = 6~ (э) Р (З). Таким образом, в о кот~ дг (г — ПТ) ~ д|(ПТ вЂ” т) Г (т) ат -о о У(з) = 6,(э) ~~~~ е "г' ~ д,(пТ вЂ” т)) (т) йт (45.8) (45.9) Примечание. Как мы видим, основным является случай, рассмотренный в подпункте 1. Из него простым путем получаются остальные комбинации. импульсные системы т39 зси И. Импульсный элемент, сеэлаюпсий длительные импульсы 1, Импульсный элемент расположен до линейной сисгемьс Импульсный элемент создает функцию Г(э), определяемую формулой (44.4). Эта функция возбуждает систему.
Выходная функция системы на языке преобразования Лапласа имеет вид ! -еэ 'т' (э) = тс — 6 (э) г' (е") (45.10) Функция е-еэ Ое(э) = й представляет собой Р-нзображениедлительного импульса уе(!), изображенного на рис. 44.4. Следовательно, 6е (э) б (э) = )!(э) есть 0-изображение отклика т(!) системы на длительный им- пульс де(!), рассматриваемый как возбуждение. Из равенства (45ЛО), переписанного в виде у (э) я (э) р~ (егэ) получаем для выходной функции в пространстве оригиналов формулу гутъ у(!) =- ~ [(пТ)т(! — пТ) (45,11) сходную с формулой (45.2).
Отклик г(!) системы на длительный импульс можно выразить также через более привычный отклик на единичный скачок системы, который раньше мы обозначали через ус(!), а теперь будем обозначать через Й(!). Так как йе(!) = й[и(!) — и(! — О)[, причем и(! — 6) = 0 прн ! — 0 <0, то т(!) й[й(т) — й(! — О)[, причем 6(! — 6)=-0 при ! — 0<0. Следовательно, в равенстве (45.1!) следует заменить т(! — пТ) на И (! — и Т) — й (! — пТ вЂ” 6).
Положив в последнем члене и = [!/Т), мы получим ( - 0 при ! — [![:Ьсб ! — ПТ вЂ” 6= ! — ~ЦТ[Т вЂ” 6= ! — [![ — 0 ( ~ <О при ! — [!)<6, 3-пгеовгхзовх««ив и его пг«!ме««е««ия «гл. з Так как функция й при отрицательных значениях аргумента равна нулю, то последний член суммы при ! — 1«] < 6 даеттоль- ко слагаемое А!(!«])й(! — !(]). Следовательно, окончательно мы будем иметь ют! й Х ((пТ)(й(Г-пт)-й« вЂ” пт-б)] п-ь при ! — (!]) д !ит! — 1 й Х ((пТ)Р!« — пТ) — Ь« — пТ вЂ” б)]+ л О + И (((]) й « - (г]) р — И < б (45.12) 2, Синхронно работающие импульсные элементы, распололсенные до и после линейной системы В этом случае выходная функция в формуле (45.1!) отсчитывается только в моменты времени 1= пТ и в течение длительности импульса б сохраняется постоянной. Обозначив ее через у(!), мы будем иметь (45.13) Если учесть только значения у(пТ) и составить 3-изображения последовательностей, получившихся в результате действия импульсных элементов, то после применения теоремы свертывания мы получим из первой строки формулы (45.!3) соотношение У' (г) Р'(г) Д* (г) ! (45.14) Это соотношение, представляющее собой описание процесса на языке Д-преобразования, аналогично соотношению (45.4), только теперь в правую часть вместо 3-пзобран«ения 6"(г) отклика на мгновенный импульс входит 3-изображен««е !г*(г) отклика на длительный импульс.
От соотношения (45.!4) можно перейти к преобразованию Лапласа. для этой цели сделаем подстановку г = ет* и одновременно умножим обе части соотношения (45.14) на бь(з); мы получим Се (з) у' (ет ) = т! (з) р (етт) Т(* ( т8) ИЬ4ПУЛЪСНЫЕ СИСТЕМЫ $451 откуда, имея в виду равенство (44.10), найдем у (з) = Р (з) я* (ег') * (45.15) 3. Несинхронно работающие илгпульсные элементы, распололсенные до и после линейной системы Если от входной функции длительные импульсы берутся в моменты времени пТ, а от выходной функции — в моменты времени пТ + т (О < т < Т), причем те и другие импульсы с длительностью О, то получается ступенчатая функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
