Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 37
Текст из файла (страница 37)
2) Ф-преобразование можно рассматривать так же, как Э-преобразование, но не функции, а распределения. В самом деле, последовательность ) = )(и), выделенная из непрерывно заданной 4о а 7 г л ,'ла 'л««л л )'У Е«л Рис. 37.1. Замена последовательности ступен- чатой функцией. функции Е'(Е), может рассматриваться как результат действия импульсов 6(Š— п), извлекающих из )(Е) в моменты времени Е = и значения )(и). Иными словами, совокупность этих импульсов, представляемая распределением Х6(Е-п), » 0 модулируется посредством функции Е(Е), в результате чего получается соотношение Е (Е) Х 6 (Š— п) = ~ )' (и) 6 (Š— и) = Е" (Е), »-о -о где )'(Е) есть распределение (см.
формулу (!()) в Добавлении). Применив к распределению Е" (Е) преобразование Лапласа, мы получим, согласно формуле ()8) Добавления, йг ~ ~ ) (и) 6 (Š— и) 1 =- ~ ( (и) ьг (6 (Š— п)) = ~~.", Е (и) е-"« = З Ц (и)). 1» 0 )» 0 »-о Следовательно, Ь()(п)) =2(Е (Е)), (37.3) ') Это название введено Я. 3.
Цыпкнным; см, его книгу; «Переходные и установившиеся процессы в импульсных цепях» (Госэнергояздат, Москва, 1951), в которой можно найти доказательства приводимых ниже теорем. [См. также г)ыпкин Я. Э., Теория линейных импульсных систем, Физматгиз, Москва, 1963, ())рин, перев.)) в.пргопихзовхпис н нго понмнннния [ГЛ. 8 202 Такое физически понятное толкование л)-преобразования как 9-преобразования некоторого распределения играет важную роль в теории импульсных элементов (ч 44). Итак, задачи, возникающие в связи с исследованием последовательностей, могут решаться либо применением преобразования Лапласа к соответствующим ступенчатым функциям, либо более кратким путем, посредством дискретного преобразования Лапласа самих последовательностей.
Однако вычисления становятся еше более простыми, если вместо переменной з ввести новую переменную г посредством подстановки е' = г. Тогда ряд (37.2) переходит в ряд по понижающимся степеням г, и преобразование принимает вид г"' (г) = ~ 1 (и) г -я = Д (~„). (37,4) ч е Мы присвоили этому преобразованию символ 3, поскольку в технической литературе, где оно стало применяться примерно с !950 г., его принято называть з-преобразованием (по букве г, выбранной для обозначения переменной).
Правда, такое название противоречит существующему обычаю называть часто применяемые преобразования по имени ученого, но поскольку оно укоренилось, его уже трудно изменить'). В дальнейшем мы будем говорить о ием, как о 3-преобразовании, применяя для обозначения готическую букву в соответствии с тем, как это принято для 6-преобразования н Ф-преобразования. 3-преобразование переводит последовательность-оригинал )„ в изображение г" (г) з).
И в этом случае вместо записи 3() ) = Р"(з) мы иногда будем пользоваться знаком соответствия („о-е Р (З). Три преобразования 6, Ф и 3 связаны между собой важными соотношениями 2 () *) = З (Ц = 3 ()'„)х,з = Р' (е'). (37.5) Как известно из теории аналитических функций, ряд (37.4) сходится вне некоторого круга в комплексной плоскости, т. е.
при )г) > тх ) О (рнс. 37.2). Необходимым и достаточным условием существования такого круга (т.е. чтобы его радиус )т не ') Было бы более уместным называть г-преобрвзоввнне преобразованием Лорана, твк кек ряд (31.4) предстввляет собой не что иное, квк ряд Лорана, в котором коэффициенты пои положительных степенях в равны нулю. ') Тзк квк при некоторых нсследоввниях 3-преобрвзоввние применяется наряду с Я-преобрвзовением, в при последнем изобрвжение обозначается буквой Р, то во избежвние йутвиицы принято обозначать нзобрвжение при ().преобразовании символом Р*.
203 пеРехОд к З.пРеОВРАВОВАнию был равен бесконечности) является наличие двух таких положительных постоянных К и й, что ]7'„[<Кй . (37.6) Изображение Р' представляет собой прн [г[ >Л. включая г = оо, аналитическую функцию, поэтому все ее особенности ле- З жат внутри круга (г[ <Й. Пример: )„=еел, Р"'(г) = ~ (е"г ')" = л о 1 з з — е а 1 — е "г прн ] г [>енса Отсюда, положив а = О, мы полу- рис. 37.2. Область сходимости чнм изображение для последо- изображения Р'(з). вательности ! — = 1; далее, путем линейных комбинаций мы найдем изображения для последовательностей созаи, с]! ап и т, д. (см. таблицу 37.1 на стр. 264). Каждой последовательности ), удовлетворяющей условию (37,6), однозначно соответствует функция Р" (г), аналитическая во внешности круга [г[ > ]с, включая со (но при этом Й~(й). Обратно, каждая такая функция однозначно ') определяет последовательность !н, которую можно найти одним из следующих способов.
') В технической литературе иногда утверждается противоположное, Так, например, в книге: Т г н х а! Л, О., йщоша1!с (еедьасК соп1го) зуыеш ауп1Лезы, Масбгаж-Н!11, )Чем Уогй, 1955 [имеется русский перевод: Траксел Лж., Синтез систем автоматического регулирования. Машгиз, Москва, 1959 (Прял. перев,)] можно прочитать, что изображению а/(г — 1) соответствует не только последовательность 1 = 1, ио также последовательность импульсов д' (1) ~чп ~5 (1 — п).
л е Это ошибочное утверждение является следствием отождествления двух различных преобразований. Правильным будет, согласно соотношению (37.5), равенство 6(1) о(л ) Счедовательно, если в дроби з)(з — 1) заменить переменную г на е' и результат рассматривать как изображение совсем другого Я-преобразования, то величина с(* будет оригиналом.
204 Е ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПР!!МЕ!!ЕНИЯ 1ГЛ. В Т а б л и ц а 37. 1. Соответствия прп,'5-преобравоваппп Р' !х) г г — 1 г г+ 1 (-!)" г (г — 1)в г — а ад (г — а)в да"-' а" в!и дт г' — 2аг сов т+ а' г(г асовт) а" сов дт — а" в!п(д — 1) т 10 аг в)! т д" вЕ д с г' — 2аг сЬ т + а' г(г — а с!! т) адсйпт 12 г' — 2аг сЬ т+ а' — о" вЬ(д — 1) т 13 14 г+ 1 1п— 17 г(г+ !) !)з ( 1)й+! агв)пт г' — 2аг сов т+ а' г(г — 2а сов т) в)п т гв — 2аг сов т+ а' г (г — 2д сЬ т) вЬ т г' — 2аг сЬ т + ав г (г — х) г' — 2хг+ 1 1 1и г — 1 © 7„(х) сов (д асс сов к) (полнном Чебышева, ср. с № 9) )в=О, ) — (д~ !) 1 д 1)д-1 )в=О, (д (а~~1) дв и! пегаход к з.йавозйазованию Обращение б-преобразования 1.
Согласно формуле для коэффициентов ряда Лорана, мы имеем 1„= —,'. ~Г(з)"- и (п=0, 1, ...), (37.7) причем интеграл следует взять по окружности радиуса г) Й нли по эквивалентной кривой, содержащей внутри себя все особенности функции Р'(г) (см. рис. 37.2 на стр. 203). Формулу (37.7) можно получить непосредственно, если вместо Р'(г) подставить степенной ряд (37.4) и затем почленно проинтегрировать его, что допустимо, поскольку этот ряд сходится равномерно.
Так как з~ аа = 0 прн всех т, кроме т = — 1, то остается только один член — ( г 'с(г=1, за) .( все же остальные отпадают. 2. Положив в формуле (37.7) г = ге~а, мы получим — Г*(ге~э)емче (а=0, 1...,), (37Я) где 1„/г" суть коэффициенты Фурье функции Р'(геМ). 3. Так как Р*(г ') представляет собой ряд по возрастающим степеням г, то, согласно формуле Тэйлора, мы имеем (37.9) 4. В практических расчетах Р'(г) часто представляет собой рациональную функцию, т.е.
отношение двух миогочленов: Р'(г) = —, Я(е) ' где степень многочлена Р(г) равна самое большее степени многочлеиа Я(г), так как функция Р" (г) при г = со должна быть аналитической. Если разделить многочлен Р(з) одним из обычных способов на Я(г), то хотя это и не даст общего выражения для 1„, ио зато'позволит элементарным численным путем определить сколь угодно большое число значений („. 5. Еще один способ определения последовательности по изображению Р*(г) дает теорема 39.!. Е.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [Гл.
о 3 38. Правила выполнения операций прн Я-преобразовании Смещение 1. Первая теорема смешения: 7л А г-АР*(г) при у=О, 1„2, ..., и при условии, что при л — Й < О принимается 1 -А = О, 2. Вторая теорема смешения: (38.!) А-1 !„+Ао г" Р'(г) — ~~о ) г-' при й 1, 2, ... (38.2) о-о Составление разностей Составлению разностей Мл=)л+! — )л, й 1л=йЬ ')л) (тн= » 2 ! 31л=У в пространстве оригиналов соответствуют операции М.-(г-1)Р (г) -М ЬЕ1л о (г — 1)о Р' (г) — )ог(г — 1) + ЬПЕ, (38.3) в пространстве изображений. Суммирование л-~ л ~~)то-л — Р'(г), ~ 1, о —,Р'(г). (38,4) ч-о ч-о Затухание а "1л™Р'(аг) (а чи Π— произвольное (38.5) комплексное число).
Дифференцирование изображений вр' (г) йо (38.6) Как н при преобразовании Лапласа, так и при 3-преобразовании для приложений важнее всего знать, какие операции в пространстве изображений соответствуют определенным операциям иад последовательностями-оригиналами, и наоборот. Доказательства приводимых ниже грамматических правил 3-преобразования весьма простые и совершенно элементарные. 5 вя пРАВилА Выполнения ОпеРАиий пРи а-пРеОБРАЗОВАнии 2О7 Свертывание и умножение ! . Свертке двух оригиналов-последовательностей соответствует умножение изображений Х),й ло Р*(г) 6'(г).
(38.7) Это соотношение представляет собой не что иное, как выражение произведения двух степенных рядов в смысле Коши, Сумма в левой части соотношения называется сверткой последовательностей 1л и Цл. 2, Произведению двух оригиналов-последовательностей соответствует комплексная свертка изображений: 1лкл~ л 2 ~ ~ Р (ь) 6 ~ лл) (38.8) Если радиусы кругов сходимости изображений г' и 6* суть соответственно )се и )сш то правая часть соотношения представляет собой изображение, определенное для ) г) ) йехие. Интеграл следует взять по окружности радиуса г, причем этот радиус должен удовлетворять условию Яр<7<в ло (при )св = О это условие принимает вид: )те<7 < ьо).
Тогда вследствие соотношений 171= >)э ~ ~ >УО г1 1г1 изображения г"'(ь) и 6'(~ — ) будут определены. 11/ Интеграл в правой части соотношения (38.8) называется комплексной сверткой изображений гл и 6* потому, что после подстановокг = е', Ь = е' и с учетом того, что Г(е ) =г" (а), 6'(е')-6(з), —. ) г" (О) 6(а — О) йо. Г 2юц',) Этот интеграл следует взять вдоль вертикального отрезка, про- стирающегося от 1п г — 1и до 1пг + /и (этот отрезок после пре- образования ь = ел, О = 1п ~ переходит В дугу окружности от ГС-1л дО ГЕ'Ал). он принимает вид комплексной свертки в обычном смысле (см. правило Х в 5 9), а именно: Е.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 1гл. в 266 Для доказательства правильности соответствия (38.8) ') учтем, что Ю р"ю ~'©~ '=,~~~,~ "~~~ д„® л е т-о Ьт-л-! -т л,т е причем в последнем ряде вследствие его абсолютной сходимости можно произвольно переставлять и объединять его члены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
