Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Так, например, сразу можно сказать, что постоянная с Ф 0 или степень з" с положительным и не могут быть 6-изображениями никаких исходных функций, Однако условие Е(з)-РО при з-э+ со ни в коем случае не является достаточным для того, чтобы функция с(з) представляла собой Я-изображение. Так, например, функция е ' стремится к ну.пю на каждом луче, йаклоненном к положительной вещественной оси на угол, меньший п(2, но тем не менее она ие является Э-изображением никакой исходной функции.
Теорема 32,2 (теорема о начальном значении). Если !ппу(!) «.+О существует, то 1ппу(!) Ит зу(з) «+о 8+ао Эта теорема дает возможность, зная только изображение У(з), определить Ип«у(() =у(+ 0), но только в том случае, «-эО когда заранее известно, что у(+0) существует (хотя само значениее у (+ 0) неизвестно). Однако возможны случаи, когда существует !пп зу(з), но не существует Ищу(!).
Например, оригиналу «+о ! ! у(!) ==соз— уу соответствует изображение У (з) = 1«« —, е ™ соз )(2з. Очевидно, что Иш зу(з)= О, но Ищу(!) не существует. Б -Ь «-«о Теорема 32.3 (теорема о конечном значении). Если 1нп у(!) «.+ в существует, то Ищ у (() =- 1пп з У (з). «-Р со к.+О Эта теорема позволяет, имея изображение У(з), определить !ппу(!) =у(+ со), если только заранее известно, что у(+ьв) «+ю существует, АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОЗЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ 1гл. т При пользовании этой теоремой необходимо соблюдать ту же предосторожность, как и при пользовании теоремой 32.2.
Например, оригиналу у (!) з!п г соответствует изображение ! ( ) еч+! Очевидно, что !ипзУ(з) О, но у(+со) не существует. з.+0 3 33. Общие понятия об асимптотическом представлении и асимптотическом разложении функций Если функция ф(г) при приближении к точке гч (которая может быть также бесконечно удаленной точкой) стремится к предельному значению 1, то можно сказать, что она ведет себя вблизи гч как постоянная !. Однако часто возникает необходимость еше более точного описания функции ф(г).
Так, например, з!пг стремится к нулю при г- О, но значительно важнее то обстоятельство, что з!Пг при г- О изменяется так же, как и г, т. е. что Вт — = 1. мп 8 ч.+ 0 Иногда функция ф(г) вообще не имеет предельного значения при г- «ь но, несмотря на зто, ее поведение здесь может быть описано другой, более простой функцией.
Так, например, функция 2«~+ 32+ 4 5«+6 при г- Фо не имеет предельного значения, но она изменяется здесь так же, как функция 2«/б (ведет себя при приближении к бесконечности как 2«/б), т. е. 2«'+ 3«+ 4 . 2 Вт 5«+5 ' 5 Вообще говорят, что функция ф(г) ведет себя при г- «ч так же, как функция сравнения ф(г), или, иначе, что функция ф(г) при г- гч представляется асимптотически функцией ф(г), если имеез место соотношение — — 1 при «- г,.
ф (2) Р («) Записывается это следующим образом: ф (г) — ф (г) пйи г -У гм з и) озщие понятия оа хсимптотичаском пгадстлалании В некоторых случаях возможно подобрать для функции ~р(г) не одну функцию сравнения, а последовательность функций сравнения, имеющих вид ф,(г), Ыг)+Ф,(г), фь(г)+Ф( )+ф,( ), ..., и представляющих с возрастанием числа членов функцию ~р(г) все «лучше и лучше». Точнее, это означает следующее. Если составление функций сравнения доведено до п членов, т. е. до «-! Х,ф,(). то разность между ~р(г) и втой суммой изменяется так же, как ближайший следующий член ф„(г) (в смысле определения, сде- ланного выше), т. е.
яь(г) — Х ф, (г) — ф„ (г) при г -э гь. (33. 1) » 0 Достигнув определенной степени приближения посредством « — ~ функции ~ ф,(г) и получив таким путем «остаток», т, е. раз- » 0 ность между заданной функцией и функцией сравнения, мы можем искать для остатка свою функцию сравнения, чтобы использовать ее затем для следующего улучшения приближения. Соотношение (33.1) можно переписать в следующем виде; л-1 9(г) — ~ Ф»(а) » 0 ч«(г) или В (г) — ~ ~)» (а) » 0 1«« (2) — О, ек (2) Ф«(г) откуда в («) — ~л '1» (а) » 0 Ф («) (33.2) которое должно означать, что порядок величины функции ~~(г) меньше, чем функции )»(г).
Применив такую запись для Пусть отношение )1(г)((«(г) стремится к нулю; запишем зто в виде равенства У1 (г) = о ((з (г) ), АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЯ ~ГЛ соотношения (33.2), мы получим ф(2) Х Фу(2) О(фл(2)) ПРИ г +го (33.3) » о Следовательно, порядок величины «остатка», или «ошибки», возникающей при замене функции ф(г) суммой членов ф„(г), меньше, чем порядок величины последнего использованного члена ф (г) Если можно найти сколь угодно большое число функций ф„(г), обладающих свойством (33,! ) или (33.3), то говорят, что фУнкЦиЯ ф(г) имеет пРи г-»го асимптотическое Разложение 2".
ф„(г), что записывается следующим образом: Гр(г) — ~ ф„(г) при г-»г,. т о Примерами наиболее часто встречающихся асимптотических разложений могут служить: для конечного г,— ряды по возрастающим степеням г — г, с любыми, в том числе н ие целочисленными показателями: ф(2) Х С (2 — гь) т ( — М <йО<Х, < ...
-» + Оо); (33.4) -о " для го = оо — ряды по убглвающим степеням г с любыми пока. зателями: ф(г) - ,"~~ л' (- й < Хо< З,, < ... -> + Оо). (33.5) » ог Для таких рядов особенно отчетливо видно, какой смысл имеет асимптотическое разложение. Так, например, в случае разложения (33.5) мы имеем или л "ф() — У вЂ” '1 й р лм' лт -о г % 34! АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕИИЕ ИЗОБРАЖЕГ!ИЯ !вт Последнее соотношение показывает, что ошибка не просто стремится к нулю, но стремится столь сильно, что даже ее произведение на г «также стремится к нулю.
л Теорема 33.1. Если ряды (33.4) и (33.5) абсолютно сходятся внутри и соответственно вне некоторого круга, то они являются одновременно и асимптотическими разложениялш, К числу основных свойств преобразования Лапласа принадлежат следующие: асимптотическому разложению оригинала при 1= О соответствует некоторое асимптотическое разложение изображения при в- ОО и, наоборот, аснмптотическому разложению изображения при конечном за соответствует некоторое асимптотическое разложение оригинала при г- со').
Рассмотрению этих свойств посвящены два следующих параграфа. В практических применениях обычно бывает так, что исходный ряд дает не только асимптотическое разложение, но, кроме того, является даже сходящимся. В связи с этим при формулировке приводимых в $34 и 35 теорем мы ограничимся тольке таким случаем, 3 34. Асимптотическое разложение изображения Начнем с составления асимптотического разложения для изображения, поскольку такое составление осуществляется особенно просто. Теорема 34.1. Пусть изображение Э()) = Е(з) где-либо сходится.
Если оригинал )(1) может быть разложен в окрестности точки 1 = О в абсолютно сходящийся ряд вида г ( 1 ) ~ л ~~ с 1 л У ( 1 ( ) ( Х ( ) э-0 то изображение г" (з) имеет при з- еп асимптотическое разложение г(л,+ ц т э-а Ряд для с(з) получается почленным переходом от ряда)(!) путем преобразования Лапласа (см. пример 6 в $3).
В связи ') Теоремы 32.3 и 32Л являются простейшими следствиями этого свойства. Н самом деле, обе зги теоремы можно сформулировать в терминах иастпя- ЩЕГО ПараГрафа СдсдуЮШИМ ОбраЗОМ: ИЗ р(Г) ! Прн ! -ьо (Г-ьсе) ВЫТСКаст, Что У(з)- !)а ври з- еь (а- О) АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ ~гл. 7 !88 с этим возникает вопрос, всегда ли возможен такой почленный переход от ряда в пространстве оригиналов к ряду в пространстве изображений.
Если рассматривать ряды только с точки зрения их сходимости, то уже простейшие примеры показывают, что такой почленный переход возможен не всегда. Так, например, для функции 1(Г) = еьн интеграл Лапласа существует во всей плоскости з, и степенной ряд е =,)~~ (-1)" —, 2-2 сходится при всех й Однако если мы применим к этому ряду преобразование Лапласа и выполним его для каждого члена в отдельности, то получим ряд ' который не сходится ни для какого з, так как абсолютвые значения его членов увеличиваются, начиная с определенного номера для любого з.
Тем не менее полученный ряд не является совсем бессмысленным. В самом деле, на основании сформулированной выше теоремы он представляет собой асимптотическое разложение изображения г(з) при з- оо. Заметим кстати, что функция р(з)=е""' )ге "с(х И2 часто встречается в приложениях. Приведем пример, показывающий целесообразность асим 1тотического разложения изображения. В 5 28 мы вычислили комплексный интеграл, осуществляющий обратное преобразование Лапласа, изменив надлежащим образом путь интегрирования, и получили формулу (28.4). Эта формула представляет собой разложение температуры проводника тепла на установившиеся колебания с той же частотой, как у косннусоидального колебания, приложенного к гравице проводника, и на затухающие колебания, определяемые интегралом Лапласа и выражаемые посредством формулы (34,1) Р(з) ) е-м з!их у1 ай( и,) Р+ Ф' О Асимптотическое РАзложение ОРЯГинАлА 3 35! На основании теоремы 32.! мы знаем, что !' (3) стремится к нулю при з — Оо.
Если необходимо знать более точно, как сильна сходимость функции г'(3) к нулю, то следует воспользоваться Теоремой настоящего параграфа. Мы имеем 22+ ~ — -~ (-!)" — = ГЗ+ 3 3 3 2 2 ЗЗ Ьз! ЗЗЗЗ+3 гз 22 ,,з,з + мб при ! 3 !Саз, / К Н2 КЗ 3/2 КЗ Б/2 з)пх)2'Г = — à — — й + — р — ...
При всех ! н 3! 5! поэтому г ! у— Выполнив необходимые вычисления, мы получим асимптотическое разложение изображения Р(з) при з- ОО в следующем ( г1') , г(') , г(9) (34.3) Это разложение позволяет видеть такие свойства функции г'(з), которые нельзя обнаружить из ее определения (34.!)„а именно: функция Е(з) стремится к нулзо так же, как величина сопз(/зз'2; ошибка, возникаюп2ая при замене функции г'(з) функцией сравнения, стремится к нулю так зке, как величина сопз(/3™, и т.
д. $ 35. Асимптотическое разложение оригинала Необходимость определения оригинала по изображению возникает значительно чагце, чем обратная задача. Объясняется это тем, что при решении всех функциональных уравнений посредством преобразования Лапласа решаетсн всегда сначала изображающее уравнение, а уже затем для полученного изображения отыскивается оригинал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
