Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Задачей определения оригинала по изображению мы подробно запималнсь в гл. 6. Если методы, указанные там, не приводят к результату, то не остаемся ничего другого, как удовлетвориться по крайней мере асимптотическим разложением оригинала. Впрочем, во многих случаях практик даже и не заинтересован в том, чтобы иметь полное решение; вместо этого ему вполне достаточно знать, как ведет АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЕУИКНИЯ !гл, т себя решение при больших г, например, остается ли оно при таких г ограниченным, т. е.
имеет ли место устройчивость. В случае более сложных изображений, получающихся, например, при решении краевых задач для уравнений в частных производных, приводимая ниже теорема, основанная на сравнительно простых допущениях, часто является единственным средством для получения некоторого представления о решении. Этой теоремой следовало бы пользоваться в практических расчетах значительно чаще, чем зтс делается в современной литературе. Если желательно получить представление об оригинале у(Г) по изображению У(з), то прежде всего необходимо выразить у(г) через У(з) посредством формулы обращения хе Ьх у(!) = (Ип —. ) е"У (з) йв.
(35.!) зя/ х-Гь Пусть это сделано. Функция У(з) как результат преобразования Лапласа является аналитической функцией в праной полуплоскости, в которой проходит также путь интегрирования. Все особые точки функции У(в) лежат в левой полуплоскости. Пусть из всех особых точек точка аю расположена наиболее далеко вправо (сначала мы будем предполагать, что имеется только одна такая точка, т.
е. что ие существует нескольких особых точек с наибольшей вегцествепной частью). Допустим, что можно изменить прямолинейный путь интегрирования, определяемый абсциссой х, угловьик путем Ж, состоящим из двух лучей, образующих с положительной вещественной осью углы ч 6(п/2 ( 6 (п), и из круговой дуги, огибающей особую точку аь справа (рис.35.!). Такую замену безусловно можно сделать, если изображение У(в) в области между яатьгрхрьььяья утхь- старым и новым путями интегрирования ьняя путе . равномерно стремится к нулю прн з- со.
В самом деле, вообразим, что оба пути интегрирования соединены один с другим двумя большими круговыми дугами сверху и снизу; так как в ограниченной таким образом области функция е" У(е) аналитическая, то интеграл от нее, взятый по замкнутому контуру, равен нулю. Если мы теперь будем стремить радиус проведенных круговых дуг к бесконечности, то на основании теоремы 28.2 интегралы, взятые вдоль этих дуг, будут стремиться к нулю.
В результате за лсимптотическое гкзложгние оеигинклл !9! у(!) = —. е"У(з)дз Г 2п) (35.2) В таком случае можно сформулировать следующую теорему: Теорема 35.1. Если изображение У(з) можно разложить в окрестности точки аь в абсолютно сходящийся степенной ряд О У (з) = ~ с,(в — а,)" ( — У<хо<)ч< ... — оо) (35.3) -о с произвольными показателями (не обязательно целочисленными), то оригинал у(1), определяемый формулой (35.2),можно представить при 1- оо в виде асимптотического разложения у(!) — е'у ~е, ' 1 0 (35.4) в котором необходимо положить ! Г! х) -0 когда Э.„принимает значения О, 1, 2, ...
(как известно, Г(0) = = Г( — 1) = Г( — 2) = ... = оо). Следовательно, те члены ряда, представляющего изображение У(з), которые имеют положительные целочисленные показатели, ничего не вносят в асимптотическое разложение оригинала у(!).
Такая роль этих членов объясняется тем, что они в своей совокупности представляют аналитическую функцию, не влияющую как-либо на поведение функции У(з) в окрестности особой точки аь (именно это свойство функции У(з) в точке аь и является источником асимптотического поведения функции у(1)1 Первые показатели степени Х„могут быть отрицательнымн. Для них мы имеем соответствие хх (з -аь) ь-о — е '. о г г(-х,) у нас останется только равная нулю сумма интеграла, взятого вдоль старого пути интегрирования снизу вверх, и интеграла, взятого вдоль нового пути интегрирования сверху вниз. Но это означает, что оба эти интеграла, если в каждом из них путь интегрирования пробегается снизу вверх, равны один другому. На основании этого результата будем считать, что для апре. деления оригинала у(/) можно пользоваться вместо формулы (35.1) также формулой 192 лсимптотичвское пОВедение отнкций )гл.
7 Для положительных Л„, которые нас главным образом и интересуют, это соответствие не имеет места, так как функция при / = 0 неинтегрируема. Если же считать, что указанное соответствие формально применимо и для положительных ),„, то тогда ца ряд (35.4) можно смотреть как на результат почленного перехода от ряда (35.3) в пространство оригиналов.
В приложениях показатели 2„чаще всего равны кратному от 1/2, В этом случае с целью облегчения вычисления коэффициентов разложения (35.4) можно воспользоваться для ),, = ч — 1/2 формулой и> 1 1 — 1)" l 1 т 1-1)" (2ч)1 — 1 1(ч+ — ~ = „. (35.5) г(1 ) ~ 2~ 4" )с 12 о Рассмотрим теперь случай, когда наибольшей вещественной частью обладают несколько особых точек функции У(з), например точки ао, аь аг.
Прежде всего необходимо выяснить, можно ли заменить в формуле (35.1) прямолинейный путь интегрироваРвс. Зб.2. иия угловым путем, состояшим из двух наклоненных один к другому лучей и трех небольших круговых тегриро- дуг, обходящих особые точки справа (рис. 35.2). Конечно, как и прежде, для возможности такой замены достаточно, чтобы изображение У(з) равномерно чаи не- „и„стремилось к нулю при з оо в области между обоиосоьмх ми путями интегрирования. Если изображение У(з) точек можно разложить в окрестности точки ао в ряд по степеням з — аь, в окрестности точки а! — в ряд по степеням з — а! и в окрестности точки ссг — в ряд по степеням з — ам то для получения асимптотического разложения оригинала у(1) при 1- оо следует к каждому ит трех перечисленных рядов применить почленно обратное преобразование Лапласа и затем полученные результаты наложить один на другой.
При этом следует иметь в виду, что показательные множители еч/, е'', е ', стоящие перед рядами, хотя и различны, но все имеют одно и то же абсолютное значение, так как )хеаь=йеа! =Кеа>. Эти показательные множители при 1- +оо возрастают или убывают в зависимости от того, больше или меньше нуля Кеао, и притом значительно быстрее возрастания или убывания степеней 1 ' (возрастание имеет место для Х„( — 1, а убывание — для )., > — 1).
Следовательно, показательные множители еч/, ео~/, еои оказывают решающее влияние на поведение оригинала у(/). $3Я Асимптотическое РАзлОжение ОРиГинАлА 193 Если изображение У(е) имеет еще другие особенности, лежащие дальше влево, то для асимптотического разложения оригинала у(1) при /-Р+оо они не играют никакой роли'). Для иллюстрации изложенного метода рассмотрим опять односторонне бесконечно длинный проводник тепла, на конце которого приложена температура созшб На основании формулы (28.2) температура в точке х в момент времени 1 равна ае! и(х, 1)= —. е" — е в!*де (а)О).
2Я/,! а'+ гае 6"! Если мы вырежем около отрицательной вещественной оси нз плоскости з узкий угол, то при х) О функция е "'' во всей остальной плоскости будет равномерно стремиться к нулю при з- оо, так как там Ке Уге >О. Второй множитель з/(ва+ о!а) стремится равномерно к нулю во всей плоскости. Следовательно, можно без всяких сомнений заменить прямолинейный путь интегрирования угловым путем, состоящим из двух наклоненных один к другому лучей и трех небольших круговых дуг, обходящих справа три особые точки: оба полюса з = ч /ы и точку разветвления з = О. Все эти точки имеют одинаковую вещественную часть, равную нулю. В окрестности каждой нз этих точек изображение У(з) можно разложить в степенной ряд. Рассмотрим сначала полюс з = /ы и представим изображение У(з) в виде )' (З) — Е-хге Е-х Ух Я (З) а'+гав а — /ьт а+/го в — /та Тогда функция 2(з) в окрестности точки з=/ы будет аналитической и поэтому ее можно разложить здесь в ряд Тэйлора л(з) = Я(/ш)+ !! (з — /ш)+ 2! (з /ы) + После деления этого ряда на з — /ш (это необходимо для получения функции У(з)) все члены, начиная с третьего, будут иметь целочисленные показатели, большие нуля, а второй член будет иметь показатель, равный нулю.
Все такие члены при переходе к ряду вида (35.4) выпадут, следовательно, необходимо учитывать только первый член, равный х (/та) /ат хУ!е 1 е " -ар е а — /в !Зв + /та а — пв 2 (а — /га) ') н технической литературе иногда ошибочно утверждается противоположное. зсимптотическое повгдениг. еункции !Гл. 7 194 Так как для этого члена Ха = — 1, то соответствующий оригинал равен ! е-х Уге е/иг 2 (35.6) ! — е-'" г" е '" 2 (35.7) В точке разветвления з = О мы имеем (ср.
со сказанным на стр. !89) 5 2 х' 25 52+ аг аг аг + ав хг хг х' е-'"' =1 — — з"2+ — з — — 2572+ — з' — ... ,!! ' ю следовательно, 5 — ! Х хг х' Е-х Уг — З З272 1 22 2572 5'+ а' а' П а' 2! аг 3! а' ! ( х ~)25+ При почленном переходе в пространство оригиналов выпадают все члены с целочисленными показателями и получается асимптотическое разложение х ! -572 х ! -772 + г(- — ') ага г(- в) которое, если воспользоваться формулой (35.5), можно предста- вить в виде 1.
'Е) '(~) 2 7572 з! „2 7772 (35.8) Наложив одно на другое асимптотическне разложения (35.6), (35.?) и (35.8), мы получим полное асимптотическое разложение оригинала и(х,1) при С- оо. Функции (35.6) и (35.7) можно объединить так же, как и на стр. 161, в одну функцию вещественного переменного е "У"г' соз(ас — хч/ "— 1. У 2)' В результате мы получим для решения и(х, !) такую же формулу, как и ранее выведенную формулу (28.4) с заменой в последней интеграла Лапласа его выражением (34.3). Однако тепе. решний вывод значительно более цельный и более простой.
Аналогичным образом разложение изображения в ряд в окрест- ности точки з = — !а и последующий переход в пространство оригиналов дают исследОВАние устойчивости !95 9 36. Исследование устойчивости где р(з) есть многочлеи„определяемый равенством (!2.4). Функция У(а) представляет собой дробно-рациональную функцию, которую можно разложить иа простейшие дроби. Если все нули многочлеиа р(з) простые, то таким разложением будет ~~~А з — а ч (36.1) если же имеются нули кратности 1„то мы будем иметь (36,2) Если физическая система описывается некоторыми функциональными уравнениями (дифференциальными, разностными или комбинацией таких уравнений), то во многих отраслях знания, например в технике регулирования, иа первом плане стоит вопрос: является ли решение уравнений устойчивым, т.
е. стремится ли оно при возрастании времени ! к какому-либо конечному предельному значению или по крайней мере остается ли оио ограниченным. Ответ иа этот вопрос дает асимптотическое поведение функции, определяющей решение, при 1- аа. Если задача решается посредством преобразования Лапласа, то всегда желательно получить представление об асимптотическом поведении оригинала непосредственно по изображению, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
