Дёч Г. - Руководство к практическому применению преобразования лапласа и Z-преобразования (951799), страница 31
Текст из файла (страница 31)
При (-ь со он стремится к нулю (см. теорему 32.)), следовательно, изображает затухающий с увеличением времени переходный процесс, поведение которого можно описать, как будет показано в 9 34, еще более точно посредством асимптотического разложения. Таким образом, функция и(х, !) определяется в основном своим первым членом, который показывает, что температура в точке х ) О колеблется так же, как температура на границе х = О, но со сдвигом фазы х у'е/2 и с амплитудой, равной е "т "~'.
(См, в связи с этим результат (24.)9), при выводе которого переходный процесс изображался интегралом, взятым от ! до ео,) Аналогичным способом можно получить практически удобное выражение для оригинала и во многих других задачах. 9 29. Разложение в ряды Другим, очень часто применяемым на практике способом для получения функции !(!) из функции Р(з), т. е. для обратного преобразования Лапласа, является разложение функции г'(з) в ряд Р (з) =.
~ Р„ (з), ч 0 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ ~ГЛ. В члены которого Р (з) представляют собой 9-изображения, т. е. Р. (з) = 9(г'. (Г)), с последующим применением к каждому Ев(з) обратного пре- образования Лапласа. Таким путем получается ряд в пространстве оригиналов. Очевидно, что такой способ будет давать правильный результат не всегда. В самом деле, суть этого способа сводится по существу к перемене местами суммирования бесконечного ряда и вычисления интеграла (к тому же несобственного). Однако имеются некоторые виды рядов, для которых почленный переход из пространства изображений в пространство оригиналов может выполняться без всяких опасений.
Н Разложение в степенные ряды Теорема 29Л, Если изображение г" (з) лгожет быть разложено в ряд р(з) = ~~~ — о — ",, (29.1) я-о расположенный по понижающимся степеням з') и сходящийся при (з) ) тс, го возможен почленный переход в пространство оригиналов, в результате чего получается ряд 1 (у) = ~ †'„", г", л о сходящийся при всех вещественных и комплексных Е Эта теорема применима только к очень специальному классу функций. В самом деле,для осуществления разложения (29Л) изображение Р(з) должно представлять собой аналитическую функцию, обращающуюся в нуль прн з = оо, а оригинал Г'(г)— целую функцию экспоненциального типа, т.
е. функцию, допускающую оценку вида (~ (я) ) ч. Ееыг~ Я) Обратим внимание иа то, что этот ряд начинается с члена, содержа. пгего по крайней мере 1/з, следовательно, в нем отсутствует член, свободный от з. Причина этого закляочаегся в том, что любая функ гия, прсдставляюпгая собой результат преобразования Лапласа, при з-+ +во должна обязательно стреянгться к нулю (см. теорему 32Л). ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ (гл. е откуда путем почленного перехода в пространство оригиналов найдем ' и — Х вЂ”.у-~;;;стГ (т) и 0 2.
Раэложеппе в ряды по покаэательпыы фупкпяям Если изображение Р(з) представляет собой дробно-рациональную функцию Р (з) г~(э) гт(э) числитель которой Г,(з) имеет степень, меньшую степени знаме- нателя ге(з), то эту функцию можно представить в виде суммы конечного числа простейших дробей.
Если знаменатель имеет простые нули аь ае,..., а„, т. е. если г, (з) = (з — а,) ° ° ° (з — а„), то коэффициентами такого разложения будут вычеты функции Р(з) в ее полюсах а„. Согласно теореме 28.1, эти вычеты равны '(") (Если г,(а„) = О, то числитель Г2(з) содержит также множитель з — а„, следовательно, дробь Г2(з)(гэ(з) сокращается на этот множитель; это означает, что точка а„не является полюсом и поэтому для нее не получается никакого вычета1 Таким образом, изображение Р(з) может быть представлено в виде ряда (а ) Ге (ат) э — о, (29.5) г,(от) а 2 2 (от) (29.6) Если имеются кратные нули, то показательные функции необ- ходимо умножить па степенные многочлены относительно [см. формулу (12.14)).
С выражениями вида (29.6) мы неодно- Так как этот ряд содержит только конечное число членов, то можно выполнить почленный переход в пространство оригина- лов; в резульгате мы получим ряд РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ кратно встречались при решении обыкновенных дифференциаль. ных уравнений и систем таких уравнений (см. $1! и 12 и рассмотренные там примеры). При решении уравнений в частных производных вместо дробно-рациональных функций часто появляются меромарфные ()(ункцин, которые, подобно дробно-рациональным функциям, являются аналитическими во всей плоскости, за исключением изолированных полюсов.
Число зтих полюсов может быть конечным или бесконечным. Так, например, при решении уравнения теплопроводности (стр. !36) мы получили функцию 1(е(»,з), которая, если положить ! = и, имеет вид (л-х( Ух -(л- (Ух е — е с(о(» а) = В окрестности точки з = О зта функция отнюдь не двузначная, как зто может показаться на первый вгляд из-за наличия показателя ~/з в степенях.
В самом деле, после одного обхода точки з = О, т. е. после замены)(з на — )~'з, функция 1(е(»,з) становится равной е-(л-х( Ух Е(л-х( Ух е(л М(х (, (л «(У» лУ« -лУ« -«Ух лгх т. е. принимает свое первоначальное значение, Единственными особыми точками являются простые нули знаменателя, Из равенства ел Ух е-л Ух О или е""л У' ! следует, что 2я )(з х ч ° 2(ц' (т - О, ~ 1, ~- 2, ...), т, е.
Так как отрицательные т дают для з те же значения, что и положительные ч, то первые можно пе учитывать. Далее, приз = О обращаетси в нуль также числитель функции («е(», з), следовательно, точка з = О не является особой. Таким образом, мы должны учитывать только полюсы а — г' (т 1, 2, ...). ВЪ|ЧИСЛЕИИГ ОРИГИНАЛА ИО ИЗОБРАЖЕНИЮ шл,р (вв Вычет функции (/р(х, э) в равен (л-х! Уз -(л — х! Уз =(елке -1-е "! ') 2У" точке (х„, согласно теореме 28.!, Ш-х!з! -(л-х!з! ( лз(+ -лз!) 2з! 21 зи( (л — х) з 2 = — т з!и ух, л л — ррз лч з!' Следовательно, так называемой главной частью функции (7р(х,з) в полюсе (х„= — чз будет простейшая дробь 2 .
! — ч зщ чх —. л з+ зз Прн чисто формальном мышлении можно было бы думать, что мероморфная функция ()р(х, з) может быть построена, подобно дробно-рациональной функции, из простейших дробей только что указанного вида и, следовательно, может бытьпредставлена в виде ряда (7р(х, з) — „)~~ ч з!пух 2 . ! (29,7) з 1 который после почленного обратного преобразования Лапласа переходит в ряд е-з! ((! е и, (х, !) — т ч з!и ухе ~з, 2 кз (29.8) з ! определяющий оригинал. Такой способ вычисления оригинала часто встречается в технических публикациях. Между тем в рассмотренном случае он приводит к правильному результатуслучайно, в других же случаях он может давать неверные результаты.
В самом деле, прежде всего является сомнительным само разложение (29.7), относительно которого можно сказать только следующее: если нз функции (7р(х, з) вычесть Бсе главные части, то останется функция, не имеющая особых точек, т. е. целая функция. Однако определение этой целой функции, которая в рассмотренном случае случайно равна нулю, обычно представляет собой очень сложную задачу. Может случиться, что такая целая функция представляет собой важнейшую составную часть изображения. Если изображение содержит в качестве слагаемого конечное 9-изображение, например, гхзложвннв в гяды !69 аг-гу и(х, г) = !1ш —, ~ е"(У (х, з) гЬ, ! у >„2а/ а-гу (29.9) следует провести слева от вертикали, определяемой абсциссой а (рис, 29.1), вспомогательные кривые бь аь ..., начинающиеся в точках уь ум ...
вертикали над вещественной осью и заканчивающиеся в точках — ун — уь ... вертикали под вещественной осью. Эти кривые (нми могут быть полуокружностн, прямоугольники и т, д.) необходимо расположить так, чтобы между каждой из них и вертикальной прямой был расположен (эта функция является аналитически определенной также прн з = 0), то это слагаемое представляет собой целую функцию и поэтому не имеет никаких особенностей в конечной области. Следовательно, присутствие такой функции в составе изображения при рассмотренном выше способе вычисления оригиналов остается совершенно неучтенным, Сомнительность разложения на простейшие дроби становится особенно очевидной в том случае, когда мероморфная функция имеет только конечное число полюсов, не будучи в то же время рациональной функцией, что, вообще говоря, может иметь место, Если в таком Уг случае просто составить разложение на простейшие дроби, то из этого следовало пг г бы, что рассматриваемая функция представляет собой рациональную функцию.
а, Наконец, сомнительным является, как об этом уже было упомянуто в начале этого параграфа, переход от ряда (29.7) к ря- Ф ду (29.8) путем почленного обратного преобразования Лапласа. Тем не менее рассмотренный способ можно поставить на твердое основание, если -Ур воспользоваться комплексным интегралом, осуществляющим обратное преобразо- "г ванне Лапласа. Прн этом выясняется, что разложение функции суа(х, з) на простей- "г шие дроби, понадобившееся выше только как промежуточная стадия, вообще не иг- Рне 99л. Всчамагарает никакой роли, так как сразу полу- тель«ые аравыа чается разложение вида (298).
Для получе- полагаются~ полюсы ния этого разложения надо воспользоваться а„а,, ..., а„. теорией вычетов Коши, поступив следующим образом. После того как оригинал и(х, г) представлен в виде ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ [ГЛ. 6 !70 один полюс и[, ам .... Тогда мы будем иметь а+[та е"У(х, я) [(з+ —. ) е' У(х, з) а[в = сумме вычетов 2а[ 2а! аи функции е"У (х, з) в полюсах ан ..., а . Если функция У(х,з) обладает в а, простым полюсом, то ее главная часть имеет вид ь а-ал Э причем Ь, зависит от х, а вычет функции е"У(х, з) равен Ь "л! ,е Если функция У(х, з) обладает в а,.'кратным полюсом, например, третьего порядка, то ее главная часть имеет вид л — аа (л — аа)' (а — а„)' ' а вычет функции е"У(х, 3) равен (Ь, + [! (+ 2! !') е".
и(х, !) = ~ Ь,(х) е". ! (29.! 2) Итак, мы нашли искомое разложение оригинала. Однако применять это разложение можно только в том случае, когда выполняется условие (29.1!). При этом многое зависит от того, как выбраны кривые 6„, Они должны соответствовать характеру изменения функции У(х, з) в том смысле, чтобы изме- Для упрощения последующих записей предположим, что все полюсы функции У(х, з) простые. Тогда мы будем иметь а+[та л Г а ! ! à — еиУ(х, е)[(я=~Ь,(х)еа' — 2 — „; ) еиУ(х, з)!(в. (29.10) а-[тл л ! ал Если при возрастании и будет Ул- аа, а — )Г е'*У (х, в) [Ь -+ О, (29.! 1) ал то на основании формулы (29.9) мы получим РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ 171 пение У(х, з) вдоль выбранных кривых было легко обозримым. Так„например, для разложения (29.8) выполнение условия (29.1!) доказывается легче всего, если в качестве кривых Св„ выбрать параболы ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
